cam nang on vao 10 - 6

CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng: ax by c a 'x b'y c'   phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp

CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng: ax by c

a 'x b'y c'





phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ phương trình (thường áp dụng phương pháp cộng đại số)

Bước 2: Giải hệ phương trình nhận được bằng phương pháp cộng đại số (hoặc thế)

Phương pháp cộng đại số: +) Nhân hoặc chia cả hai vế của mỗi phương trình của hệ phương trình với một số thích hợp khác 0 để hệ số của cùng một ẩn (ẩn x hoặc ẩn y) bằng nhau hoặc đối nhau

+) Trừ hoặc cộng hai vế của hai phương trình của hệ phương trình để được phương trình một ẩn, giải phương trình này tìm được một ẩn và giữ lại một phương trình với

hệ số đơn giản, thay nghiệm của ẩn đã tìm được vào phương trình được giữ lại để tìm ra ẩn còn lại được dễ dàng

Hoặc dùng phương pháp thế: +) Từ một phương trình của hệ rút một ẩn biểu diễn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình một ẩn +) Giải phương trình một ẩn đó tìm ra được ẩn đó rồi thay nghiệm tìm được vào hệ thức biểu diễn ẩn này theo ẩn kia để tìm ẩn còn lại

Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình:

+) Nếu hệ phương trình vô nghiệm, ta kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

+) Nếu hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm, ta kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm tìm ra nghiệm tổng quát hoặc viết tập nghiệm của hệ phương trình chính là viết nghiệm tổng quát hoặc tập nghiệm của phương trình: ax + by = c +) Nếu hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất, ta kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: (x; y) = (x0; y0)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:    

x y x y

x y x y







Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng: ax by c

a 'x b'y c'







Ta có:    

x y x y

x y x y













x y x y

x y x y (nhân bỏ dấu ngoặc)





 



x y

x y (thu gọn các hạng tử đồng dạng ở

cả hai phương trình của hệ phương trình)

Lưu ý: Nếu hệ phương trình đã cho mà đã có dạng là: ax by c

a 'x b'y c'





phải làm bước 1 mà bắt đầu làm từ bước 2

Bước 2: Giải hệ phương trình: 2 3 2





 



x y

x y bằng phương pháp cộng đại số





 



x y

x y 







x y

x y (nhân cả hai vế của phương trình thứ hai của hệ

4x y 1 với 3 để hệ số của ẩn y bằng nhau trong trường hợp này ta nên chọn tìm ra

ẩn x trước rồi giữ lại phương trình 4x y 1 để tìm y vì hệ số của ẩn y trong phương trình này bằng 1)







 



x

x y 

1

1

2







x

x y y

Bước 3: Kết luận

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:  ;  1; 1

2

  

x y

Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình

Bài toán: Cho hệ phương trình: ax by c

a 'x b'y c'





 có hệ số có chứa tham số

Bước 1: Từ hai phương trình của hệ biến đổi bằng phương pháp cộng đại số hoặc

phương pháp thế để được một phương trình có dạng: Ax = B ( hoặc Ay = B)

Ta có:    

 

ax by c 1

I

a 'x b'y c' 2







+) Dùng phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình của hệ rút ẩn này biểu diễn theo ẩn còn lại rồi thay vào phương trình còn lại, nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (đổi dấu các hạng tử trong ngoặc nếu có dấu “ –” đằng trước), các hạng tử chứa ẩn chuyển sang VT, các hạng tử không chứa ẩn chuyển sang VP (rút gọn các hạng tử đồng dạng ở từng vế để đưa được phương trình về dạng: Ax = B +) Hoặc dùng phương pháp cộng đại số: Nhân cả hai vế của hai phương trình của hệ với các số thích hợp để cho hệ số của cùng một ẩn chẳng hạn ẩn y bằng nhau hoặc đối nhau rồi trừ hoặc cộng vế với vế của hai phương trình của hệ và biến đổi phương trình nhận được để đưa phương trình về dạng: Ax = B

Bước 1: C1:

+) Từ phương trình (1) ta có: y ax +c

b





+) Thay y ax +c

b



 vào phương trình (2) ta được: a 'x b' ax +c c'

b



ngoặc ta được: a 'x ab'x b'c c' a ' ab' x c' b'c

 Ax = B  *

C2: Ta có:    

 

ax by c 1 ab'x bb'y b'c ab' a 'b x b'c bc' I

a 'bx bb'y bc'





 Ax B * 

a 'x b'y c'









Bước 2: Lập luận và tìm ra nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp hệ phương

trình có nghiệm

Dựa vào tính chất:

+) Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất +) Hệ phương trình (I) vô nghiệm  Phương trình (*) vô nghiệm

+) Hệ phương trình (I) có vô số nghiệm  Phương trình (*) có vô số nghiệm

TH1: Nếu A ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất là: x B x0

A

 

0

a.x +c

b



Khi đó hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất là: (x; y) = (x0; y0)

TH2: Nếu A 0

B 0









 thì phương trình (*) vô nghiệm, khi đó hệ phương trình (I) vô nghiệm

TH3: Nếu A 0

B 0









 thì phương trình (*) có vô số nghiệm, khi đó hệ phương trình (I)

có vô số nghiệm

Tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của phương trình: ax by c 

ax +c

b



Bước 3: Kết luận

Nếu A ≠ 0 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất là: (x; y) = (x0; y0)

Nếu A 0

B 0









 thì hệ phương trình (I) vô nghiệm

Nếu A 0

B 0









 hệ phương trình (I) có vô số nghiệm

Tập nghiệm của hệ phương là: S x; ax +c / x R

b



Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau    

 

mx y 1 1 I

4x my 2 2

 





Nhận xét: Trên đây là TH1: dạng bài tốn tìm điều kiện của tham số để hệ phương

trình cĩ nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số của cả hai ẩn x và

y đều cĩ chứa tham số nên để giải loại bài tập này đơn giản dễ ghi nhớ các bước

làm ta nên dùng phương pháp thế và thường giải theo 3 bước như sau:

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương pháp thế để dẫn đến được

phương trình dạng: Ax = B

+) Từ phương trình (1) ta cĩ: y mx 1 , thay vào phương trình (2) ta được:

4x m mx 1 2    4x m x m 2   (nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc)

4 m x 2 m2

    (chuyển các hạng tử chứa ẩn x sang VT và đặt nhân tử chung là

x ra ngồi dấu ngoặc, các hạng tử cịn lại khơng chứa ẩn x sang VP) và phân tích hê số: 4 m 2 2 m 2 m    thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

2 m 2 m x 2 m *    

Bước 2: Xét các trường hợp và tìm nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp hệ

phương trình cĩ nghiệm (xét các trường hợp của phương trình (*) để suy ra hệ phương trình (I))

+) Nếu 2 m 2 m   0 2 m 0 m 2

  thì phương trình (*) cĩ nghiệm duy nhất

   

x



Khi đĩ hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất x; y 1 ; 2

2 m 2 m

+)Nếu

2 m 0

hoặc 2 + m = 0 hoặc m = 2



thì phương trình (*) trở thành 0x = 4, phương trình này vơ nghiệm

Khi đĩ hệ phương trình (I) vơ nghiệm

+) Nếu

m 2

2 m 0

hoặc 2 + m = 0 hoặc m = 2



thì phương trình (*) trở thành 0x = 0, phương trình này cĩ vơ số nghiệm

Khi đĩ hệ phương trình (I) cĩ vơ số nghiệm Tập nghiệm của hệ phương trình (I) là:

S x; 2x 1 / x R  

Bước 3: Kết luận

+) Nếu m 2









 thì hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất x; y 1 ; 2

2 m 2 m

+) Nếu m 2 hệ phương trình (I) vơ nghiệm

+) Nếu m 2 hệ phương trình (I) cĩ vơ số nghiệm Tập nghiệm của hệ phương trình (I) là: S x; 2x 1 / x R    

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau  I 2x my 5

3x y 0





 

 với m là tham số

Nhận xét: Trên đây là TH1: dạng bài tốn tìm điều kiện của tham số để hệ phương

trình cĩ nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số của ẩn x khơng cĩ chứa tham số cịn hệ số của ẩn y chứa tham số nên để giải loại bài tập này đơn

giản dễ ghi nhớ các bước làm ta cĩ thể thực hiện như sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số x

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến được

phương trình dạng: Ax = B

Biến đổi hệ phương trình (I) nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình mới: 6x 3my 15

6x 2y 0





 rồi trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được phương trình: 3m 2 x 15   và giữ lại phương trình thứ hai của hệ mà số của ẩn x, y khơng chứa tham số m: 3x y 0  , ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình (I): 3m 2 x 15 *  

3x y 0





 



Bước 2: Xét các trường hợp và tìm nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp hệ

phương trình có nghiệm (xét các trường hợp của phương trình (*) để suy ra hệ phương trình (I))

+) Nếu 3m 2 0 m 2

3



    thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 15

3m 2





 y 45

3m 2





Khi đó hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x; y 15 ; 45

3m 2 3m 2

+)Nếu 3m 2 0 m 2

3



    thì phương trình (*) trở thành 0x = 15, phương trình này

vô nghiệm

Khi đó hệ phương trình (I) vô nghiệm

Ở đây không có trường hợp thứ 3 của phương trình Ax = B là: A 0

B 0









 (vì hệ

số B=15 ≠ 0) nên ta không phải xét trường hợp thứ ba này

Bước 3: Kết luận

+) Nếu m 2

3



 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x; y 15 ; 45

3m 2 3m 2

+) Nếu m 2

3



 hệ phương trình (I) vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình sau  I x y 1

2x my m

 





 với m là tham số

Nhận xét: Trên đây là TH1: dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số của ẩn y có chứa tham số còn hệ số của ẩn x không chứa tham số nên để giải loại bài tập này đơn

giản dễ ghi nhớ các bước làm ta có thể thực hiện như sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số x

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến được

phương trình dạng: Ay = B

Biến đổi hệ phương trình (I) nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được

hệ phương trình mới: 2x 2y 2

2x my m





 rồi trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được phương trình: m 2 y m 2    và giữ lại phương trình thứ nhất của hệ mà số của ẩn x, y không chứa tham số m: x y 1  , ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình (I):

x y 1

m 2 y m 2 *

 







Bước 2: Xét các trường hợp và tìm nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp hệ

phương trình có nghiệm (xét các trường hợp của phương trình (*) để suy ra hệ phương trình (I))

+) Nếu m 2 0  m 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất ym 2m 2 1



 x 0

Khi đó hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x; y 0;1

+)Nếu m 2 0   m 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 0, phương trình này có

vô số nghiệm

Khi đó hệ phương trình (I) có vô số nghiệm Tập nghiệm của hệ phương trình (I) là:

S x; x 1 / x R  

Ở đây không có trường hợp thứ 2 của phương trình Ay = B là: A 0

B 0









 (vì hệ

số A = B = m – 2) nên ta không phải xét trường hợp thứ hai này

Bước 3: Kết luận

+) Nếu m 2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x; y 0;1

+) Nếu m 2 hệ phương trình (I) có vô số nghiệm Tập nghiệm của hệ phương trình (I) là: S x; x 1 / x R    

Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau  I x y 1

2x my m 3

 





Nhận xét: Trên đây là TH1: dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số của ẩn y có chứa tham số còn hệ số của ẩn x không chứa tham số nên để giải loại bài tập này đơn

giản dễ ghi nhớ các bước làm ta có thể thực hiện như sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số x

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến được

phương trình dạng: Ay = B

Biến đổi hệ phương trình (I) nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được

hệ phương trình mới: 2x 2y 2

2x my m 3





 rồi trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được phương trình: m 2 y m 1    và giữ lại phương trình thứ nhất của hệ mà số của ẩn x, y không chứa tham số m: x y 1  , ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình (I):

x y 1

m 2 y m 1 *

 







Bước 2: Xét các trường hợp và tìm nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp hệ

phương trình có nghiệm (xét các trường hợp của phương trình (*) để suy ra hệ phương trình (I))

+) Nếu m 2 0  m 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất ym 2m 1



 xm 23



Khi đó hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x; y 3 ;m 1

m 2 m 2

+)Nếu m 2 0  m 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 3, phương trình vô nghiệm Khi đó hệ phương trình (I) vô nghiệm

Ở đây không có trường hợp thứ ba của phương trình Ay = B là: A 0

B 0









 (vì hệ

số A= m – 2 ; B = m + 1 không bao giờ đồng thời bằng không được) nên ta không phải xét trường hợp thứ ba này

Bước 3: Kết luận

+) Nếu m 2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất x; y 3 ;m 1

m 2 m 2

+) Nếu m 2 hệ phương trình (I) vô nghiệm

Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ phương trình sau  I mx y 2m 1

mx y m 1





  

Nhận xét: Trên đây là TH1: dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số của ẩn x có chứa tham số còn hệ số của ẩn y không chứa tham số nên để giải loại bài tập này đơn

giản dễ ghi nhớ các bước làm ta có thể thực hiện như sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số y

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến được

phương trình dạng: Ax = B

Biến đổi hệ phương trình (I) trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được phương trình: 0x m 2  và giữ lại phương trình thứ hai của hệ

mà số của ẩn x, y đơn giản hơn ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình (I): 0x m 2 * 

mx y m 1

 





  



Bước 2: Xét các trường hợp và tìm nghiệm của hệ phương trình trong trường hợp hệ

phương trình có nghiệm (xét các trường hợp của phương trình (*) để suy ra hệ phương trình (I))

Ở đây không có trường hợp thứ nhất của phương trình Ax = B là: A 0 (vì hệ

số A= 0) nên ta không phải xét trường hợp thứ nhất này

+) Nếu m 2 0  m 2 thì phương trình (*) vô nghiệm

Khi đó hệ phương trình (I) vô nghiệm

+)Nếu m 2 0   m 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 0, phương này trình có

vô số nghiệm

Khi đó hệ phương trình (I) có vô số nghiệm Tập nghiệm của hệ phương trình là:

S x; 2x 3 / x R  

Bước 3: Kết luận

+) Nếu m 2 thì hệ phương trình (I) vô nghiệm

+) Nếu m 2 hệ phương trình (I) có vô số nghiệm Tập nghiệm của hệ phương trình là:

S x; 2x 3 / x R  

Ví dụ 6: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 2 4 5







x y m (m là tham số)

Nhận xét: Trên đây là TH2: dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số của cả hai ẩn x và

y đều không có chứa tham số nên để giải loại bài tập này đơn giản dễ ghi nhớ các

bước làm ta nên dùng phương pháp cộng đại số như sau:

Ở đây ta giải hệ một cách bình thường như chúng ta vẫn giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm x, y theo tham số m

+) Ta có:

 Với mọi m  R thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất là:

x y;  2m1; m2

Bước 2: Kết luận

Vậy với mọi m  R thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất là:

x y;  2m1; m2 Trong trường hợp này ta không làm bước 2 xét các trường hợp vì chỉ có một trường hợp duy nhất xảy ra là sau khi biến đổi hệ phương trình ta luôn được phương trình dạng Ax = B (hoặc Ay = B) với hệ số A ≠ 0

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

thoả mãn điều kiện cho trước (thoả mãn một đẳng thức, bất đẳng thức, cách đều

hai trục toạ độ, thuộc các trục toạ độ, nằm trong các góc phân tư, đối xứng qua các trục toạ độ hoặc gốc toạ độ, thuộc (P): y= ax 2 hoặc đường thẳng (d): ax + by = c…; biểu thức đạt GTLN, GTNN, không phụ thuộc vào tham số, có giá trị nguyên…; sao cho M(x; y) cách gốc toạ độ một khoảng a hoặc thuộc đường tròn O; a …)

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tính

nghiệm duy nhất (x; y) theo tham số (dựa theo bài toán giải và biện luận hệ phương trình)

Bước 2: Thay x; y tính được theo tham số vào điều kiện cho trước và giải điều kiện

để tìm ra giá trị của tham số

Bước 3: Kết luận

+) Đối chiếu với điều kiện của tham số

+) Trả lời giá trị của tham số cần tìm