cam nang on vao 10 - 2

Bài toán 4: Chứng minh biểu thức luôn lớn nhỏ … hơn một giá trị nào đó hoặcso sánh giá trị của biểu thức với một số hoặc giá trị của một biểu thức cho trước A với điều kiện cho trước của

Bài toán 4: Chứng minh biểu thức luôn lớn (nhỏ) … hơn một giá trị nào đó hoặc

so sánh giá trị của biểu thức với một số hoặc giá trị của một biểu thức cho trước

A với điều kiện cho trước của biểu thức rút gọn, điều kiện của biểu thức A.

Bước 1: Xét hiệu của biểu thức rút gọn với số đã cho hoặc biểu thức đã cho, tính hiệu và biến đổi hiệu thích hợp và viết lại điều kiện của bài toán rút gọn và tìm điều kiện của biểu thức so sánh A.

Bước 2: So sánh hiệu với số 0 với điều kiện của biến tìm ở bước 1.

(Nhận xét dấu của tử và mẫu của hiệu biến đổi được ở bước 1 từ đó so sánh được hiệu với số 0)…

Bước 3: Kết luận (suy ra điều phải chứng minh hoặc so sánh được giá trị biểu thức với số hoặc giá trị biểu thức đã cho)

Ví dụ 1: Cho biểu thức: x + x +1

A =

x với x > 0 và x ≠ 1 Chứng minh rằng A > 3 với mọi x > 0 và x ≠ 1

Giải

x + x +1

A =

x với x > 0 và x ≠ 1

Bước 1: Xét hiệu và tính hiệu rồi biến đổi hiệu tính được một cách hợp lý để có thể

so sánh được với số 0.

1

x + x +1 x + x +1 3 x x 2 x +1

3

−

x

với x > 0 và x ≠ 1 (Ở đây cần nhận biết được biểu thức x 2 x +1− là hằng đẳng thức bình phương của

một hiệu: ( )2

1

−

x và

0

1 0

 >





− >



x

x với mọi x > 0 và x ≠ 1; x ≠ 1 ⇒ x≠1

⇒ x− ≠1 0) Một số khác 0 hoặc một biểu thức nhận giá trị khác 0 khi bình phương lên sẽ nhận giá trị dương, A ≠ 0 ⇒ A2 > 0

Bước 2: Nhận xét dấu của tử và mẫu của hiệu biến đổi được ở bước 1 và so sánh

hiệu đó với số 0 với điều kiện đã tìm ở bước 1.

1

− = x >

A

x với mọi x > 0 và x ≠ 1; (Vì ( )2

0

1 0

 >





− >



x

x với mọi x > 0 và x ≠ 1)

Bước 3: Kết luận: Suy ra điều phải chứng minh

⇒ A – 3 > 0 với mọi x > 0 và x ≠ 1

+) Vậy A > 3 với mọi x > 0 và x ≠ 1(đpcm)

Ví dụ 2: Cho biểu thức: x + x + 2

B=

2 x 1+ với x > 0 và x ≠ 1 Chứng minh rằng B > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1

Bước 1: Xét hiệu và tính hiệu rồi biến đổi hiệu tính được một cách hợp lý để có thể

so sánh được với số 0.

+) Xét B – 1 =

2

1

 −  +

x

với x > 0 và x ≠ 1 (Ở đây cần nhận biết được biểu thức x− x +1 được tách thành tổng của bình

phương của một biểu thức với một số dương:

2

1 3

2 4

 −  +

 x  và

2

2 1 0

1 3

0

2 4

 + >



 −  + >

 ÷



x x

với mọi x > 0 và x ≠ 1)

Lưu ý: Biến đổi biểu thức: x− x +1 làm xuất hiện thừa số 2 ở hạng tử chứa x và hạng tử số: 1 = 1 3

4 4+ như sau: x 2 x +1 1 3

2 4 4

Bước 2: Nhận xét dấu của tử và mẫu của hiệu biến đổi được ở bước 1 và so sánh

hiệu đó với số 0 với điều kiện đã tìm ở bước 1.

2

1 3

2 4

2 x 1

 −  +

+

x

B với mọi x > 0 và x ≠ 1; (Vì 2

2 1 0

1 3

0

2 4

 + >



 −  + >

 ÷



x

x với mọi x > 0

và x ≠ 1)

Bước 3: Kết luận: Suy ra điều phải chứng minh

⇒ B – 1 > 0 với mọi x > 0 và x ≠ 1

+) Vậy B > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1(đpcm)

Ví dụ 3: Cho biểu thức: 2 x +9

C=

x 3+ với x ≥ 0 và x ≠ 9 Chứng minh rằng C > 2 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 9

Bước 1: Xét hiệu và tính hiệu rồi biến đổi hiệu tính được một cách hợp lý để cĩ thể

so sánh được với số 0.

+) Xét C – 2 = 2 x +9 2 x +9 2 x 6 3

2

với x ≥ 0 và x ≠ 9 (Trong trường hợp này sau khi tính được hiệu ta khơng cần phải biến đổi hiệu tiếp nữa mà nhận xét ngay dấu của tử và mẫu để so sánh được hiệu với số 0: 3 0

x 3 0

>



 + >



với mọi x ≥ 0 và x ≠ 9)

Bước 2: Nhận xét dấu của tử và mẫu của hiệu và so sánh hiệu đĩ với số 0 với điều

kiện đã tìm ở bước 1.

3

x 3

− = >

+

C với mọi x ≥ 0 và x ≠ 9; (Vì 3 0

x 3 0

>



 + >

 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 9)

Bước 3: Kết luận: Suy ra điều phải chứng minh

⇒ C – 2 > 0 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 9

+) Vậy C > 2 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 9 (đpcm)

Ví dụ 4: Cho biểu thức: P a= − a với a > 1 Hãy so sánh P và P

Nhận xét: Để so sánh P và P ta cần áp dụng cơng thức : với A 0

với A 0

≥



=− <



A A

A Như vậy để so sánh P và P ta cần so sánh P với số 0.

Bước 1: Biến đổi P thành tích

ĐK: a > 1

( 1)

Bước 2: So sánh P với số 0

Ta so sánh từng thừa số của P với 0 với điều kiện cho trước của a: a > 1

1 0

 >  >

> − >

a a ⇒ P > 0 ⇒ P = P

(Ở đây ta cần nhận thấy với điều kiện của a để so sánh P với số 0 ta cần biến đổi P thành tích)

Bước 3: Kết luận: +) Vậy P = P với a > 1

Nhận xét: +) Trong bài tốn so sánh trên ta khơng xét hiệu P – P vì ta khơng tính được hiệu này ngay mà phải xét các trường hợp P ≥ 0 và P < 0 nên bài tốn trở nên phức tạp rất nhiều

+) Ta cần nhận biết thực chất so sánh P và P là so sánh P với số 0.

+) Khơng phải bài tốn so sánh giá trị biểu thức hay chứng minh giá trị biểu thức lớn (nhỏ) … hơn một số … nào cũng đi xét hiệu để giải bài tốn đĩ

Ví dụ 5: Cho biểu thức: M 3 a 1

a 2

+

= + +

a với a ≥ 0 và a ≠ 1 Hãy so sánh M và M

Bước 1: So sánh M với 0 và 1

ĐK: a ≥ 0

+) Ta có: 3 1 0

2 0

 + >





+ + >



a

a a với a ≥ 0 và a ≠ 1

⇒M 3 a 1 0

a 2

+

= >

+ +

a với a ≥ 0 và a ≠ 1 (1)

a 1

3 a 1 2 3 a 1 2 a 1

1 M 1

−

a 1

a 2

−

− = >

+ +

a với a ≥ 0 và a ≠ 1 ⇒ M < 1 (2)

Từ (1) và (2) 0 < M < 1

Bước 2: So sánh M và M với điều kiện: 0 < M < 1

1 0

 >  >

< − <

⇒ M− M 0< ⇒ M< M

(Ở đây ta cần nhận thấy để so sánh M và M ta cần so sánh M với số 0 và 1 rồi xét hiệu M – M và so sánh hiệu này với số 0 với điều kiện của M tìm được)

Bước 3: Kết luận:

+) Vậy M< M với a ≥ 0 và a ≠ 1

Bài toán 5: Tìm giá trị nguyên

Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

a x +b A=

m x +n

TH1: Nếu a chia hết cho m

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2 : Biến đổi A từ dạng A= a x +b

m x +n về dạng A= K + k

m x +n với a, b, m, n, K, k đều là số nguyên (tổng của một số nguyên với một phân thức có tử cũng là số nguyên)

Bước 3: Lập luận: +) Với x nguyên mà x vô tỉ ( x không là số chính phương)

=> A vô tỉ (loại)

+) Với x nguyên mà x nguyên ( x là số chính phương) ⇒m x +n nguyên

Khi đó: A nguyên ⇔ m x + nk nguyên ⇔ k ⋮ (m x + n)

⇔ (m x + n)∈Ư(k) = {±1; ±k }

Lưu ý: +) Xét giá trị biểu thức m x + nvới điều kiện x ≥ 0 … để loại bớt các giá trị ước

+) Xét xem k là số nguyên tố hay hợp số

Bước 4: Lập bảng giá trị tìm x (nếu có nhiều ước số của K)

Bước 5: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x ∈ Z

+) Trả lời bài toán

Đề bài yêu cầu tìm giá trị nguyên của biểu thức khi đó, phải làm thêm bước tính giá trị của biểu thức A

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để biểu thức: A 1

3

+

=

−

x

x với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 nhận giá trị

nguyên

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9

Bước 2: Biến đổi A (lấy tử chia cho mẫu hoặc tách tử theo mẫu: x+ =1 ( x− +3) 4 rồi áp dụng A +B A + B

M =M M từ dạng một phân thức tử là một tổng của hai biểu thức thành dạng tổng của hai phân thức)

Ta có: 1 ( 3) 4 4

− + +

x x

Bước 3: Lập luận (tất cả các bài tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

đều có hai câu lập luận sau)

+) Với x nguyên mà x vô tỉ ( x không là số chính phương) ⇒ A vô tỉ (loại)

+) Với x nguyên mà x nguyên ( x là số chính phương) ⇒ x−3 nguyên

(Lập luận phải dẫn đến mẫu nhận giá trị nguyên)

Khi đó: A nguyên ⇔ 4

3

−

x nguyên (vì 1 ∈ Z) ⇔ 4 ⋮ ( x−3)

⇔( x−3) ∈ Ư(4) = {±1;±2; 4± }

Bước 4: Lập bảng giá trị (bài toán có nhiều ước số)

Ta có bảng sau:

3

−

+) Bảng gồm ba hàng: hàng x−3; hàng x ; hàng x

+) Khi x nhận giá trị âm ta không được bình phương mà loại ngay.

Bước 5: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x ∈ Z

+) Trả lời bài toán

+) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 và x ∈ Z ta được: x ∈ {1; 16; 25; 49}

+) Vậy x ∈ {1; 16; 25; 49 là các giá trị cần tìm}

Ví dụ 2: Tìm x nguyên để biểu thức: B 5

5

−

= +

x

x với x ≥ 0; x ≠ 25 nhận giá trị

nguyên

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25

Bước 2: Biến đổi A (lấy tử chia cho mẫu hoặc tách tử theo mẫu:

− = + −

x x rồi áp dụng A +B A + B

M =M M từ dạng một phân thức tử là một tổng của hai biểu thức thành dạng tổng của hai phân thức)

Ta có: 5 ( 5 10) 10

+ −

−

x x

Bước 3: Lập luận (tất cả các bài tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

đều có hai câu lập luận sau)

+) Với x nguyên mà x vô tỉ ( x không là số chính phương) ⇒ B vô tỉ (loại)

+) Với x nguyên mà x nguyên ( x là số chính phương) ⇒ x+5 nguyên

(Lập luận phải dẫn đến mẫu nhận giá trị nguyên)

Khi đó: B nguyên ⇔ 10

5 +

x nguyên (vì 1 ∈ Z) ⇔ 10 ⋮ ( x+5)

⇔( x+5) ∈ Ư(10) = {±1;±2; 5; 10± ± }

Bước 4: Lập bảng giá trị

Ta có: 5 5

5 10

 + ≥





+ ≠



x

x với x ≥ 0; x ≠ 25

Do đó ta có: x+5 = 5 ⇔ x= ⇔ =0 x 0

+) Số nguyên 10 là hợp số có tất cả 8 ước số

+) Trong bài toán này ta cần nhận biết được từ ĐK của biến x là: x ≥ 0; x ≠ 25 để loại bớt các ước

+) Bài toán này sau khi đã loại các ước của mẫu đi chỉ còn một ước duy nhất thỏa

mãn ĐK nên ta không cần lập bảng giá trị mà ta cho mẫu x+5 bằng ước số 5 rồi giải tìm x

Bước 5: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x ∈ Z

+) Trả lời bài toán

+) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25và x ∈ Z ta được: x = 0

+) Vậy x = 0 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Tìm x nguyên để biểu thức: P x= − x với x > 0 và x ≠ 1 nhận giá trị

nguyên

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x > 0 và x ≠ 1

Bước 2: Trong bài tập này ta không phải biến đổi biểu thức P x= − x mà ta lập

luận ngay

+) Với x nguyên để P x= − x nguyên ⇔ x nguyên ⇔ x là số chính phương

(hay ⇔ x = k với k ∈ Z và k ≥ 0)

⇔ x∈{0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; } (hay ⇔ x = k2 với k ∈ Z và k ≥ 0)

Bước 3: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x ∈ Z

+) Trả lời bài toán

+) Kết hợp với ĐK: x > 0 và x ≠ 1 và x ∈ Z, ta được:

{4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; }

∈

x

(Hay x = k2 với k ∈ Z và k > 1)

+) Vậy x∈{4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; } là các giá trị cần tìm.

(Hay x = k2 với k ∈ Z và k > 1)

Nhận xét: Trong bài toán trên ta cần nhận thấy biểu thức P x= − x nhận giá trị nguyên chỉ phụ thuộc vào giá trị của căn thức x

Ví dụ 4: Tìm x nguyên để biểu thức: C x= −2 x−1 với x > 1 nhận giá trị nguyên

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x > 1

Bước 2: Trong bài tập này ta không phải biến đổi biểu thức C x= −2 x−1 mà ta lập luận ngay

+) Với x nguyên để C x= −2 x−1 nguyên ⇔ x−1 nguyên ⇔ x – 1 là số chính phương ⇔ x− ∈1 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; { }

(hay ⇔ x−1= k với k ∈ Z và k ≥ 0)

⇔ x∈{1; 2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82; 101; }

(hay ⇔ x – 1 = k2 ⇔ x = k2 + 1 với k ∈ Z và k ≥ 0)

Bước 3: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x ∈ Z

+) Trả lời bài toán

+) Kết hợp với ĐK: x > 1 và x ∈ Z, ta được:

{2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82; 101; }

∈

x

(hay x = k2 + 1 với k ∈ Z và k > 0)

+) Vậy x∈{2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82; 101; } là các giá trị cần tìm.

(Hay x = k2 + 1 với k ∈ Z và k > 1)

Nhận xét: Trong bài toán trên ta cần nhận thấy biểu thức C x= −2 x−1 nhận giá trị nguyên chỉ phụ thuộc vào giá trị của căn thức x−1

TH2: Nếu a khơng chia hết cho m

a x +b A=

m x +n

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Tìm BCNN(a;m) : a = k và tìm biểu thức phụ kA

Bước 3: Tìm x nguyên để biểu thức kA nguyên làm tương tự như dạng bài trên

Bước 4: Kết hợp với ĐK suy ra các giá trị của biến số và thử lại: Tính giá trị của A ứng với những giá trị tìm được của x và xét xem biểu thức A nhận giá trị nguyên hay khơng nguyên và chọn giá trị của biến x

Bước 5: Kết luận

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để biểu thức: K 2 5

−

=

+

x

x với x ≥ 0; x ≠ 25 nhận giá trị

nguyên

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25

Bước 2: Tìm biểu thức phụ 3K và biến đổi biểu thức phụ 3K

+) Ta cĩ: K 2 5

−

=

+

x

−

=

+

x x

Biến đổi biểu thức 3K (lấy tử chia cho mẫu hoặc tách tử theo mẫu:

6 x− =15 2 3 x+ −5 25 rồi áp dụng A +B A+ B

M =M M từ dạng một phân thức tử là một tổng của hai biểu thức thành dạng tổng của hai phân thức)

Ta cĩ: 2 5 2 3( 5) 25 25

+ −

−

x x

Bước 3:Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên

Lập luận (tất cả các bài tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên đều cĩ hai câu lập luận sau) giải bài tốn phụ: Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên

+) Với x nguyên( x khơng là số chính phương) ⇒ x vơ tỉ ⇒ K vơ tỉ (loại)

+) Với x nguyên ( x là số chính phương) ⇒ x nguyên ⇒ 3 x+5 nguyên

(Lập luận phải dẫn đến mẫu nhận giá trị nguyên)

Khi đĩ: 3K nguyên ⇔ 25

3 x+5 nguyên (vì 2 ∈ Z) ⇔ 25 ⋮ (3 x+5)

⇔(3 x+5)∈ Ư(25) = {±1; 5; 25± ± }

Ta cĩ: 3 x+ ≥5 5 với x ≥ 0; x ≠ 25

Do đĩ ta cĩ: 3 5 5

3 5 25

 + =

 + =



x

3 20



=



x

0 20 3

 =



 =



x

0 400

9 (loại)

=





 =



x x

+) Số nguyên 25 là hợp số cĩ tất cả 6 ước số

+) Trong bài toán này ta cần nhận biết được từ ĐK của biến x là: x ≥ 0; x ≠ 25 để loại bớt các ước

+) Bài toán này sau khi đã loại các ước của mẫu đi chỉ còn một ước duy nhất thỏa

mãn ĐK nên ta không cần lập bảng giá trị mà ta cho mẫu 3 x+5 bằng ước số 5 hoặc 25 rồi giải tìm x

Bước 4: Đối chiếu với ĐK ⇒ các giá trị của x và thử lại

+) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25và x ∈ Z ta được: x = 0

Với x = 0 ⇒K 2 0 5 1

3 0 5

−

Bước 5: Kết luận: Trả lời bài toán

+) Vậy x = 0 là giá trị cần tìm

Nhận xét: Bài toán trên (TH2) ta phải làm thêm hai bước so với bài toán ở TH1:

+) Bước 1: Tìm biểu thức phụ

+) Bước 2: Thử lại: Kiểm tra xem với giá trị tìm được của biến số thì biểu thức có

nhận giá trị nguyên không bằng cách thay giá trị của biến tìm được vào biểu thức rồi thực hiện phép tính xét kết quả tính được có phải là giá trị nguyên không

Ví dụ 2: Tìm x nguyên để biểu thức: K 29

−

=

+

x

x với x ≥ 0; x ≠ 25 nhận giá trị

nguyên

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25

Bước 2: Tìm biểu thức phụ 3K và biến đổi biểu thức phụ 3K

+) Ta có: K 29

−

=

+

x

−

=

+

x x

Biến đổi biểu thức 3K (lấy tử chia cho mẫu hoặc tách tử theo mẫu:

3 x− =87 3 x+ −4 91 rồi áp dụng A +B A + B

M =M M từ dạng một phân thức tử là một tổng của hai biểu thức thành dạng tổng của hai phân thức)

Ta có: 3 87 (3 4 91) 91

+ −

−

x x

Bước 3:Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên

Lập luận (tất cả các bài tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên đều có hai câu lập luận sau) giải bài toán phụ: Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên

+) Với x nguyên( x không là số chính phương) ⇒ x vô tỉ ⇒ K vô tỉ (loại)

+) Với x nguyên ( x là số chính phương) ⇒ x nguyên ⇒ 3 x+4 nguyên

(Lập luận phải dẫn đến mẫu nhận giá trị nguyên)

Khi đó: 3K nguyên ⇔ 91

3 x+4 nguyên (vì 1 ∈ Z) ⇔ 91 ⋮ (3 x+4)

⇔(3 x+4) ∈ Ư(91) = {±1; 7; 13; 91± ± ± }

Ta có: 3 x+ ≥4 4 với x ≥ 0; x ≠ 25

Do đó ta có bảng:

+) Số nguyên 91 = 7.13 là hợp số có tất cả 12 ước số.(Ở đây ta nhận biết được 2009

là một hợp số tránh nhầm lẫn là số nguyên tố và một số trường hợp khác 2009 =

72.41 là hợp số …)

+) Trong bài toán này ta cần nhận biết được từ ĐK của biến x là: x ≥ 0; x ≠ 25 để loại bớt các ước

Bước 4: Đối chiếu với ĐK ⇒ các giá trị của x và thử lại

+) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25và x ∈ Z ta được:

{1;9;841}

∈

x

Với x = 1 ⇒K 1 29 4

3 1 4

−

Với x = 9 ⇒K 9 29 2

3 9 4

−

Với x = 841 ⇒K 841 29 0

3 841 4

−

Bước 5: Kết luận: Trả lời bài toán

+) Vậy x∈{1;9;841} là các giá trị cần tìm

Nhận xét: Bài toán trên (TH2) ta phải làm thêm hai bước so với bài toán ở TH1:

+) Bước 1: Tìm biểu thức phụ

+) Bước 2: Thử lại: Kiểm tra xem với giá trị tìm được của biến số thì biểu thức có

nhận giá trị nguyên không bằng cách thay giá trị của biến tìm được vào biểu thức rồi thực hiện phép tính xét kết quả tính được có phải là giá trị nguyên không

Dạng 2: Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên

a x +b A=

m x +n hoặc 1 1

1 2

a x+b x +c A=

a x+b x +c

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Tìm giá trị nguyên của biểu thức A trước bằng cách:

+) Chứng minh k A K (Áp dụng cách giải bài toán tìm GTLN và GTNN)≤ ≤

+) A ∈ Z

Suy ra: Các giá trị của biểu thức A

Bước 3: Cho biểu thức A nhận lần lượt các giá trị đó và giải các phương trình nhận được suy ra giá trị của biến

Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ)

Ví dụ 1:Tìm x để biểu thức B 3 x

x 1

= + với x ≥ 0 và x ≠ 16 nhận giá trị nguyên.

Bước 1: Tìm đkxđ

ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 16

Bước 2: Biến đổi biểu thức B thích hợp để chứng minh giá trị của biểu thức B bị

chặn hai đầu (chặn đầu và chặn cuối)

+) Ta có: B 3 x 0

x 1

+ (1) với x ≥ 0 và x ≠ 16 (vì

3 x 0

x 1 0



 + >

 với x ≥ 0 và x ≠ 16)

Ở đây ta cần suy luận ngay từ đề bài toán với đề bài cho như vậy thì chắc chắn biểu thức B sẽ có giá trị: k B K (k, K là các số cho trước) nên ta nhận xét dấu của tử và≤ ≤ mẫu của B để suy ra ngay được B ≥ 0

+) Ta có: 3( x 1 3) 3

+ −

+ + (2) với x ≥ 0 và x ≠ 16 (vì

3

x 1+ > 0 với x≥0 và x ≠ 16)

Ở đây ta có suy luận số 3 trừ đi một biểu thức nhận giá trị dương thì kết quả sẽ nhỏ hơn 3

+) Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ B < 3

Mà B ∈ Z

⇒B∈{0;1;2}

Bước 3: Xét các trường hợp: Cho B = 0; B = 1; B = 2

+) TH1: B = 0 ⇔ 3 x 0 3 x 0 x 0 x 0

x 1= ⇒ = ⇔ = ⇔ = +

+) TH2: B = 1 ⇔ 3 x 1 3 x x 1 2 x 1 x 1 x 1

x 1= ⇒ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = +

+) TH3: B = 2 ⇔ 3 x 2 3 x 2 x 2 x 2 x 4

x 1= ⇒ = + ⇔ = ⇔ =

+

Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ)

+) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 16 ta được: 0; ;41

4

x