TRƯỜNG THCS THÚY SƠNSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH TÁCH HẠNG TỬ MÔN TOÁN 8, TRƯỜNG THCS THÚY SƠN TRONG NĂM HỌC 2016-2017 N
Trang 1TRƯỜNG THCS THÚY SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH TÁCH HẠNG TỬ MÔN TOÁN 8,
TRƯỜNG THCS THÚY SƠN TRONG NĂM HỌC 2016-2017
Người thực hiện: Trịnh Thị Mến Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thúy Sơn SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2017
Trang 2MỤC LỤC 1.Mở đầu Trang
1.1.Lý do chọn đề tài 2
1.2.Mục đích nghiên cứu 2
1.3.Đối tượng nghiên cứu 2
1.4.Phương pháp ngiên cứu 2
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3
2.3.Giải pháp và tổ chức thực hiện 3 -
12 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh ngiệm đối với hoạt động giáo dục với bản
thân đồng nghiệp và nhà trường 12 - 13 3 Kết luận , kiến nghị 14
- Kết luận
- Kiến nghị
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy toán ở THCS, khâu truyền thụ kiến thức cơ bản là rất quan trọng, bởi vì kiến thức cơ bản là vốn sống động nhất, phải có và luôn tồn tại trong mỗi một con người học toán và làm toán Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu các bài toán khó, các loại toán hay, trong một chừng mực nào đó, có thể quên đi nhưng các vấn đề cơ bản về kiến thức thì không được phép nhầm lẫn Trong những năm gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy Nội dung chủ yếu của vấn đề là: Phải coi học sinh là nhân vật trung tâm của mỗi tiết học Những giáo viên dạy giỏi lại những chính là những người giáo viên quan tâm nhất đến vấn đề trên thực tiễn đã giúp họ nhận thức rõ khâu quan trọng: Truyền thụ kiến thức cơ bản
Bằng đổi mới phương pháp dạy học Đưa ra được các tình huống tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu nhất là trong việc khai thác, phát triển, phát huy
óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập cho học sinh giáo viên luôn khuyến khích cho học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh phát triển trí tuệ , phương pháp tự tìm tòi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên
1.2 Mục đích nghiên cứu
Với thực tế là trường ở vùng nông thôn, các em học sinh ở đây ít được phụ huynh quan tâm trong việc học hành Đó cũng chính là sự khó khăn của các thầy
cô giáo dạy ở các trường này, vì các em còn lười học Nên việc bồi dưỡng học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn Là một giáo viên dạy vùng nông thôn , tôi luôn trăn trở tìm tòi, học hỏi những phương pháp hay để gây hứng thú cho học sinh và từ đó
để phát hiện ra những em có tố chất để bồi dữơng thêm cho các em có thể tham gia thi học sinh giỏi cấp trường , cấp huyện Trong quá trình giảng dạy nhất là luyện tập các bài tập trong sách giáo khoa nếu biết khai thác, phát triển ta có thê xây dựng được các dạng bài tập hoặc hệ thống các bài tập sử dụng bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi Sau đây tôi xin trình bày " Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 " mà bản thân tôi
đã áp dụng dạy học tại trường THCS Thúy Sơn
1.3 Đối tượng ngiên cứu
Học sinh khối 8 trường THCS Thúy Sơn
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
-Nghiên cứu tài liệu
-Nghiên cứu các pp phân tích đa thức thành nhân tử:
-Thông qua thực tế giảng dạy
-Tham khảo các đề thi học sinh giỏi
Trang 42 NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong các định hướng giáo dục hiện nay càng đi theo hướng dạy lấy học sinh
làm trung tâm, giáo viên là người định hướng tổ chức, các em là người khám
phá,tìm tòi
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử trong chương
trình toán 8 chỉ có 1 tiết nhưng nó lại có tầm ảnh hưởng lớn, có thể vận dụng vào rất nhiều bài toán hay, là sự kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều lời giải hay độc
đáo
Học sinh có thể vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào
việc giải các bài toán khác có liên quan, qua đó phát triển kĩ năng kĩ xảo trong đại
số
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thúy Sơn là một xã thuần nông, các gia đình ở đây chủ yếu là làm ruộng và đi làm thuê Mấy năm gần đây đời sống nhân đân ở đây dần được nâng cao hơn Các gia đình cũng quan tâm đến việc học của các em nhiều hơn Tuy nhiên vẫn có nhiều gia đình để con ở nhà với ông bà để đi làm ăn xa nên việc học hành của con gửi cho nhà trường và các thầy cô dạy dỗ Việc dạy học các em gặp rất nhiều khó khăn Các em ở nhà không có ai nhắc nhở, đôn đốc học bài Tài liệu sách tham khảo của nhà trường còn hạn chế Từ lòng yêu nghề tôi thiết nghĩ mình cần phải vượt qua những khó khăn đó Vì thế trong từng bài giảng tôi luôn tìm tòi những phương pháp đơn giản dễ hiểu để gây hưng thú cho các em tạo sự ham thích đối với môn học và phát triển những em có khả năng học toán tốt để các em tham gia
đội tuyển toán của nhà trường
Qua điều tra những tiết học đầu tôi thu được kết quả như sau
STT Lớp
SL % SL % SL % SL %
1 8A 34 12 35,2% 8 23,8% 7 20,5% 7 20,5%
2 8B 36 10 27,7% 10 27,8% 7 19,4% 9 25,1%
Từ những kết quả đó tôi nghĩ cách tiến hành thực nghiệm và cũng thu được kết quả khả quan
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện
Trước hết phải nghiên cứu phần lí thuyết đã được học, phải xác định rõ ràng các kiến thức cơ bản và trọng tâm, kiến thức nâng cao và mở rộng cho phép, bước tiếp theo là nghiên cứu các bài tập trong SGK Sách bài tập Toán, sách nâng cao theo yêu cầu và tự mình phải giải đáp những yêu cầu này
Trang 5Cách giải từng loại, từng bài toán như thế nào? Có bao nhiêu cách giải bài
toán, loại toán này, phương pháp giải nào là hay hơn, thường gặp hơn
Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì ?
Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào Học sinh học và rút ra
được gì từ kiến thức ấy
Sau khi nghiên cứu kĩ tài liệu, định hướng cụ thể mới tập trung xây dựng nội
dung của đề tài " Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 "
Với mục tiêu củng cố, nâng cao mức độ phổ thông cho phép đối với phần lí
thuyết thông qua hệ thống một số bài tập, gồm các bài tập trong sách giáo khoa,
sách bài tập, hoặc các bài tập tự chọn, tự sáng tạo của giáo viên Với đề tài "Rèn
luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
của học sinh lớp 8 " có thể cấu trúc theo nhiều cách khác nhau tuỳ theo chủ định
của người dạy, ở đây tôi xin đưa ra cấu trúc như sau để các đồng chí tham khảo và
góp ý
Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức dưới dạng tích của các đơn thức và
đa thức
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
-Đặt nhân tử chung
-Dùng hằng đẳng thức
-Nhóm hạng tử
-Tách hạng tử
-Thêm bớt hạng tử
-Đổi biến
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp nêu trên
*Dạng I: Dạng tam thức bậc hai : ax2
+bx+c=0 (a 0)
Dạng này có nhiều cách tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử khác song 2 cách tách sau
là thông dụng nhất:
+Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử ,rồi dùng phương pháp nhóm
hạng tử và đặt nhân tử chung mới.Khi thực hành ta làm như sau:
-Bước 1: Tìm tích a.c
-Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 số nguyên bằng mọi cách
-Bước 3: Chọn 2 thừa số có tổng bằng b
Trang 6+Cách 2: Tách hạng tử tự do c thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về dạng tổng, hiệu 2
bình phương
b.x2-7x+12;
Trước hết ta thấy rằng ba hạng tử của các đa thức trên không có nhân tử chung , củng không lập thành hằng đẳng thức.Vì vậy ta nghĩ đến tách hạng tử
Câu a:
Cách 1:
Bước 1: a.c=-72
Bước2: -72=-6.12=-1.72=-2.36=-4.18=-8.9=(thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn để có tổng bằng 6)
Bước 3: -6+12=6
Giải:
=3x(3x-2)+4)3x-2) =(3x-2)(3x+4)
Cách 2: 9x2+6x-8 =9x2+6x+1-9 =(3x+1)2-32
=(3x+1+3)(3x+1-3)
=(3x+4)(3x+2)
Câu b:
(Đối với dạng này /b/=/-7/=7(số lẻ) ta nên làm cách 1 vì làm cách 2 sẽ dài hơn bởi
Qua các ví dụ trên ta thấy để tách 1 số hạng thành các số hạng khác
*Nhận xét:
thường nhằm mục đích :
-Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ , nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung
-Có thể xác định được 1 đa thức có phân tích được thàng nhân tử hay không
(bậc 3 và 4)
Đa thức bậc cao
:
*Dạng II
Với các đa thức có từ bậc 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ , người
ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức
Trang 7+ Đa thức có nghiệm nguyên:
-Khái niệm nghiện của đa thức :Số nguyên a được gọi là nghiệm của đa thức f(x)
nếu f(a)=0.Khi x=a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa nhân tử (x-a)
Ta chứng minh rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do
có nghiệm x=a (a Z)
1.Với hệ số tự do có ít ƣớc :
-x2-x-2
Dễ thấy : f(1) 0 ; f(11) 0 ; f(-2) 0
Giải:
Chú ý:
Khi xét nghiệm riêng của đa thức cần lưu ý:
Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức,khi đó nó chứa thừa số (x-1)
Trang 8=(x-1)(x2+3x+2)=(x-1)(x+1)(x+2).
Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức Khi đó đa thức chứa thừa số (x+1)
2.Đối với đa thức mà hệ số tự do có nhiều ƣớc:
Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức
ta có:
0 thì: 1)
-0; f(
Nhận xét: nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1)
Cách 1:
1
) 1 (
a
f
và
1
) 1 (
a
f
là số nguyên
Giả sử x=a là nghiệm của đa thức f(x)
Chứng minh:
a
f
1
) 1 (
tức là
1
) 1 (
a
f
là số nguyên
Tương tự x=-1 ta có:
1
) 1 (
a
f
là số nguyên
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải:
f(1)=5 ; f(-1)=15 f(1) 0 , f(-1) 0
Dễ thấy :
1 4
5
;
1 2
5
;
1 8
5
nghiệm của f(x).Chỉ còn -2 và 4.Mà -2 không là nghiệm của f(x) ,vì f(-2) 0 Vậy f(x) có nghiệm là -4
Trang 9Ư(-18)= 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
Ta có:
1 2
40
; 1 18
24
; 1 9
24
; 1 6
24
không là nghiệm của g(x) Chỉ còn -2; 3;9
= 2x2(x2-9)-x(x2-9)+2(x2-9)
Sử dụng lược đồ Hooc ne
: Cách 2
Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức (x- ) với số dư r ta có:
f(x)=(x- )P(x)+r
Ta chia theo bảng sau:
Ta chia theo bảng sau:
bn+an-1
bn-2=
bn-1+an-2
r=
Sử dụng lược đồ Hooc ne
1 -9 26 -24
1 1 -8 18 -6
-1 1 -10 36 -60
2 1 -7 12 0
Ta chỉ cần thử đến giá trị 2 thì thấy r=0
Trang 10=(x-2)(x2-3x-4x+14)=(x-2)(x(x-3)-4(x-3))
=(x-2)(x-3)(x-4)
+ Đa thức có nghiệm hữu tỉ
Đối với đa thức không có nghiệm nguyên nó có thể có nghiệm hữu tỉ
(nếu có) phải có dạng ong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ
Tr
Định lí:
q
p
, trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước của hệ số cao nhất
: Chứng minh
q
p
(p;q Z,q>0,(p;q)=1)
Thế thì: a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an
=(qx-p) ( b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+… +bn-1)
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Giải:
Xét
2
3
;
2
1
Ta thấy
f(-2
1
x=-2
1
là nghiệm của đa thức f(x).Hay f(x) chứa thừa số (2x+1)
Xét
27
1
; 9
1
;
3
1
thì f(
3
1
3
1
là nghiệm của g(x) , hay g(x) khi phân tích có chứa (3x-1)
Trang 11= 27x3-9x2-18x2+6x+12x-4
ành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm hữu tỉ không Khi phân tích đa thức th
Chú ý:
phải tính toán phức tạp và nhiều lần thử , khi có một giá trị của x làm cho đa thức có giá trị bằng 0 ta tách hạng tử làm xuất hiện nhân tử đó để hạ bớt bậc của đa thức , rồi phân tích tiếp
* MỘT SỐ VÍ DỤ
)
2013 -(Đề thi HSG cấp huyện năm 2012
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
B=
2
2
2 3
x x x
x
Thấy x=2 là nghiệm của f(x) nên ta phân tích đa thức f(x) bằng cách tách hạng tử như sau:
f(x) =x3-x2-x-2
2
2
2 3
x x x
x
=
) 1 )(
2 (
2
2
x x x x
=
1
1
2
x x
2
1
+
4
1
+
4
3
=(x+
4
3 4
3 ) 2
4
3
khi
x=-2
1
Vậy giá tri lớn nhất của B=
3 4
4 3
1
khi
x=-2 1
Trang 12
Ví dụ 2:
Ta giải phương trình bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử
(x+1)(x2-x-6)=0
0 3
0 2
0 1
x x
x
3 2 1
x x x
2000)
-(Đề thi HSG cấp huyện năm học 1999
3:
Ví dụ
Tính giá tri của biểu thức M=
b a
b a
Ta coi vế trái là tam thức bậc hai ẩn a và b là hằng số
2
2
a
a a a
a a b a
b a
Ví dụ 4 : (Đề thi HSG năm 2000-2001)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Trang 13
*BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sâu thành nhân tử:
a x2-3x+2; b x3-3x+2 c x2+5x-6
Bài 2: Rút gọn biểu thức: P=
2 3 3
6 5
2 3 2
x x x
x x
Bài 3:
Cho biểu thức : P=
16 16 8 4
16
2 3 4
4
x x
x x
x
a.Tìm giá trị của x để P vô nghĩa
b Rút gọn P
Bài 4:
3
) 3 ( 4 ) 3 ( 4 ) 3 (
6 7
x x
x x
x
x x
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh ngiệm đối với hoạt động giáo dục với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
a Kết quả :
Để dạy một tiết học phù hợp với các đối tượng học sinh thì phải thực hiện các vấn đề sau
- Thiết kế bài dạy phù hợp với nhiều đối tượng học sinh
Giáo viên phải nắm bắt đối tượng học sinh và phân loại rõ ràng, chính xác
- Điều hành tổ chức hoạt động của học sinh trên lớp
+ Giáo viên cần đưa ra hệ thống bài tập câu hỏi sát với từng đối tượng học sinh
+ Điều hành các hoạt động của học sinh linh hoạt
Với cách làm trên đây chúng ta cần phải tạo ra tình huống (chuẩn bị các tình huống) dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính Tuy nhiên để học sinh làm được điều đó giáo viên phải tốn không ít thời gian chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình Muốn cho chất lượng học tập của học sinh ngày một nâng cao trong những biện pháp tốt nhất giáo viên phải đầu tư suy nghĩ thật nhiều vào nội dung chương trình bài dạy, tìm tòi khai thác mỗi phần, mỗi phương pháp với mỗi phương pháp ấy thì có thể giải quyết bài toán như thế nào, ở dạng nào? phù hợp với đối tượng học sinh nào? phương pháp, tình huống đưa ra
Trang 14có phù hợp bài chưa Đó là quan tâm hàng đầu của người giáo viên Nếu thật sự
mong muốn chất lượng học tập của học sinh ngày một nâng cao
Thông qua giảng dạy, khi ôn tập, làm các bài tập dạng rèn luyện kỹ năng, tính
toán cơ bản đa số các em đều thể hiện năng lực tư duy sáng tạo, thậm chí nhiều
em giải được nhiều bài khó, câu khó thông qua hướng dẫn
b Đánh giá kết quả học tập theo từng đối tượng học sinh
Sau quá trình thử nghiện tôi đã thu được kết quả khá khả quan
Qua việc theo dõi, kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh qua bài kiểm tra 15
phút, 1 tiết, vở bài tập Kết quả là ở 2 lớp 8A và 8B Kết quả cụ thể như sau:
STT Lớp
Sỉ số G-K TB Y K
SL % SL % SL % SL %
1 8A 34 13 38,2% 17 50% 4 11,8% 0 0
2 8B 36 14 38,8% 17 47,2% 5 14% 0 0
c Bài học kinh nghiệm
Để chất lượng học tập của học sinh ngày càng nâng cao người giáo viên cần
nắm vững kiến thức bài dạy, kiến thức chương trình phải tốn thời gian tìm tòi suy
nghĩ tạo ra những tình huống dấn dắt học sinh để các em học tập bằng cách tự học
là chính Trong quá trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết
tích luỹ rút ra nhiều điều bổ ích cho mình Bên cạnh đó cần phải thường xuyên
kiểm tra nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp, tham
gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng và nghiên cứu các chuyên đề để bổ sung
một cách hợp lí chắc chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua các bộ môn nói
chung và môn Toán nói riêng là một việc làm có thể
- Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến phương pháp
phân tích thành nhân tử
- Trong các phương pháp, các dạng bài tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn
thận, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích và áp dụng Yêu thương tôn trọng học
sinh
- Thường xuyên dự giờ đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho mình