SKKN HƯỚNG dẫn học SINH lớp 8 GIẢI bài TOÁN PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

PHẦN I : SƠ YẾU LÝ LỊCH.Họ và tên: Nguyễn Văn Điệp Ngày, tháng, năm sinh: 20/6/1973 Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ: Chủ tịch Công

PHẦN I : SƠ YẾU LÝ LỊCH.

Họ và tên: Nguyễn Văn Điệp

Ngày, tháng, năm sinh: 20/6/1973

Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

Chức vụ: Chủ tịch Công đoàn trường

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 GIẢI BÀI TOÁN

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

PHẦN II: NỘI DUNG A.MỞ ĐẦU.

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1.Thực trạng của vấn đề.

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm các lớp 8, lớp 9 ở trường THCS ĐìnhCao, và qua quá trình kiểm tra đánh giá (bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, học kì).Tôi nhận thấy kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử ở các em còn nhiều hạnchế Đa số các em chỉ làm được các bài phân tích đa thức thành nhân tử ở mức

độ dễ khi áp dụng các phương pháp đơn giản như PP đặt nhân tử chung, PPdùng hằng đẳng thức PP nhóm… mà không làm được các bài tập đòi hỏi kĩnăng tổng hợp các PP Thực tế khi giải một bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử hay có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử thì không phải đơnthuần như vậy mà đòi hỏi các em phải có kĩ năng nhìn nhận tìm hướng đi chomột bài toán; có kĩ năng tổng hợp, khéo léo sử dụng phối hợp các PP đã học Với những khó khăn của học sinh, đòi hỏi cần đưa ra việc hướng dẫn họcsinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sao cho hiệu quả, giúp cho các

em tháo gỡ được những khó khăn, tạo điều kiện cho các em tiếp thu được cáckiến thức về phần này được dễ dàng hơn góp phần nâng cao kết quả học tậpcũng như tình cảm đối với bộ môn Toán

2.Ý nghĩa và tác dụng của việc hướng dẫn học sinh học giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Giáo dục nước nhà đã dần có những thay đổi, từ việc đổi mới sách giáokhoa cho đến việc đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp, để đáp ứngnhu cầu của xã hội, đào tạo ra những con người mới có đầy đủ kiến thức, có khảnăng giải quyết các vấn đề thực tế cuộc sống mắc phải Giáo dục không còn đơnthuần chỉ truyền thụ kiến thức theo một hướng thầy thuyết trình, học sinh bịđộng tiếp thu kiến thức Việc dạy học theo hướng đổi mới, học sinh là trung tâm,giáo viên là người định hướng, điều khiển hoạt động của học sinh để học sinh cóthể chiếm lĩnh kiến thức, vận dụng kiến thức đã học, biến kiến thức đã học thànhcủa mình

Đối với việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử các em được học ởlớp 8, và thường xuyên được sử dụng để giải toán ở lớp 8 cũng như lớp 9 nhưmột kiến thức công cụ Do vậy việc học tốt bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử sẽ góp phần đắc lực cho các em nâng cao kết quả học tập năm lớp 8cũng như các năm học tiếp theo Việc các em có định hướng tốt khi giải toán, có

kĩ năng giải toán linh hoạt, mềm dẻo… sẽ giúp các em tích cực, chủ động, tự tin,sáng tạo trong học tập cũng như trong cuộc sống đáp ứng các yêu cầu của conngười mới mà xã hội đòi hỏi

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.

a Đối tượng nghiên cứu:

Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 THCS

b Phạm vi nghiên cứu.

Trong phạm vi nghiên cứu của sáng kiến này, tôi chỉ nghiên cứu và ápdụng giảng dạy cho học sinh ở lớp 8B, 8D trường THCS Đình Cao trên cơ sở

các bài toán về “ phân tích đa thức thành nhân tử” của Chương I - Đại số

Toán 8 tập 1, các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong một số sáchtham khảo

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

a Cơ sở lí luận:

Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nội dung rấthay và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc tư duy linh hoạt cho học sinh.Đây là những kiến thức cơ bản làm nền móng cho việc tiếp thu kiến thức ở cáclớp trên

Việc giải quyết tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ đắclực cho việc giải phương trình, rút gọn biểu thức hữu tỉ, biểu thức chứa căn ởlớp 8 và 9

Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới phương pháp giảng dạy đối với bộmôn toán 8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chứchướng dẫn để các em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của người thầy

Mặt khác, kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ sung kiến thức, tìm tòi các phương pháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là điềucần thiết, nó tạo cho các em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” và hình thànhthói quen tự học.

Hơn thế nữa, toán 8 là một mắt xích quan trọng trong trục chương trình,không những nó giúp các em học toán tốt hơn ở những năm học sau này, mà còngiúp các em học tốt hơn cả những môn học tự nhiên khác

Khi giải quyết được vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyết đượcnhiều mặt khác như :

+ Củng cố kiến thức

+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp,

+ Phát triển tư duy

+ Tạo ra một “lưng vốn kiến thức” cho những năm học sau này

Từ những tâm huyết và trăn trở nêu trên, tôi đã xây dựng một đề tài mang

tên “Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử ”.

b Cơ sở thực tiễn:

Về mặt phương pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu, các phươngpháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử Việc vậndụng các phương pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và không hệ thống.Bắt đầu thực hiện đề tài này tôi cho các em làm bài kiểm tra khảo sát chấtlượng Kết quả bài kiểm tra đạt chất lượng thấp, cụ thể có khoảng trên 50% đạtđiểm dưới trung bình, gần 10% đạt điểm giỏi Như vậy chưa đáp ứng được chỉtiêu, yêu cầu của bộ môn trong năm học

2 Các biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.

a Các phương pháp tiến hành.

Ngay từ đầu năm học, nhận thấy vấn đề tồn tại của học sinh khi họcmảng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Tôi đã tiến hành thu thập dữliệu, phân tích dữ liệu, đề ra cách khắc phục các khó khăn, với các phươngpháp sử dụng như :

- Phương pháp kiểm tra đánh giá.

- Phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp so sánh

- Phương pháp tổng quát hoá

- Phương pháp phỏng vấn, trao đổi

b Thời gian nghiên cứu

Từ ngày 5 tháng 9 năm 2015 đến 15 tháng 3 năm 2016 tiến hành nghiêncứu và hoàn thiện sáng kiến này

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI.

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toánphân tích đa thức thành nhân tử tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có nhữngkiến thức vững vàng về mảng kiến thức này, xây dựng niềm yêu thích say mêhọc tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời cho các em.Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năngcủa mình trong quá trình học tập Đề tài này giúp người học bổ sung lại cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, có kỹ năng quan sát đánh giá đểđịnh hướng cách giải bài toán đồng thời được mở rộng nâng cao kiến thức Quasáng kiến này giúp giáo viên có cách nhìn đầy đủ từ đó có những biện phápgiảng dạy hiệu quả khi dạy bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp họcsinh học và tiếp thu phần này dễ dàng hơn

II GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.

1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết sẽ giúp các emgiải quyết bài toán một cách thuận lợi và dễ dàng hơn Kiến thức cơ bản làxương sống để từ đó phát triển mở rộng các phương pháp giải bài tập

Từ những quan điểm trên tôi trang bị cho học sinh những kiến thức sauđây:

1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán 8 tập 1)

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

- Phối hợp các phương pháp

- Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử

3 Nghiệm của đa thức

Nếu f(a) = 0 thì x- a là nhân tử của đa thức f(x)

Khi đó f(x) = (x-a)g(x) trong đó g(x) là đa thức

1 1

b a

b a

b a

n n

n n

5. Cho đa thức n biến A(x1,x2, ,xn)

Nếu: tại x1=a1 mà A(x1,x2, ,xn)= 0

Nếu f(a) = 0 thì f(x) = (x-a)g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức

Quy tắc: tách một số hạng tử thành một số hạng tử khác làm xuất hiện nhân

tử chung hoặc hằng đẳng thức từ đó bài toán được giải quyết

2.1.2 Các bài toán

*Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

A = x2 - 4x+3

Phân tích tìm lời giải:

Ta phải tách một trong ba hạng tử thành các hạng tử mới để gộp với haihạng tử còn lại trở thành các nhóm, mỗi nhóm xuất hiện nhân tử giống nhau,nhờ thế bài toán được giải quyết

Lời giảiCách 1: (Tách hạng tử giữa)

A = x2 - x - 3x +3 = x(x-1)-3(x-1) = (x-1)(x-3)

Cách 2: (Tách hạng tử cuối)

A=x2-4x-1+4 = x2-1-4x+4 = (x-1)(x+1)-4(x-1) = (x-1)(x+1-4) = (x-1)(x-3)Cách 3: (Tách hạng tử cuối)

A=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1 = (x-2+1)(x-2-1) = (x-1)(x-3)

Cách 4: (Tách hạng tử cuối)

A=x2-4x-9+12 = x2-9-4x+12 = (x-3)(x+3)-4(x- 3)=(x-3)(x+3-4) = 1)

(x-3)(x-Bài toán trên không phức tạp các em có thể dễ dàng tiếp thu Tôi muốn đưa

ra bài toán này để giúp các em có học lực yếu cũng có thể nhận thức được Việcgiải bài toán theo nhiều cách giúp các em biết xem xét bài toán ở nhiều góccạnh từ đó các em có cái nhìn phong phú hơn

A = x2-2x-2x+3 = x2-2x+1-2x+2

*Bài toán 2: Phân tích đa thức B = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử

Lời giảiCách 1 :(Tách hạng tử thứ hai)

B=4x2+2x- 6x-3=2x(2x+1)- 3(2x+1)=(2x+1)(2x-3)

Cách 2 :(Tách hạng tử thứ ba)

B = 4x2- 4x+1-4 =(2x-1)2- 4 =(2x-1-2)(2x-1+2) = (2x+1)(2x-3)

Nhận xét :

Việc tách hạng tử với mục đích tạo ra các hệ số tỷ lệ từ đó xuất hiện cácthừa số chung, nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.

2.1.3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2- 6x+8

b) 9x2+ 6x- 8

c) x + 3 x - 4 (với x không âm )

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b- c)

Gợi ý: tách a- c=(a-b)+(b-c)

a) (x- y)-x3(1- y)+y3(1- x)

Gợi ý: tách 1- y=(x- y)+(1- x)

2.2 Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “thêm và bớt

cùng một hạng tử”

2.2.1 Cơ sở : thêm và bớt cùng một hạng tử vào đa thức làm xuất hiện các

nhóm có nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức từ đó cho ra kết quả

2.2.2 Các bài toán

*Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x4+81

Phân tích tìm lời giải:

Ở bài toán này chúng ta chưa thể sử dụng được bất kỳ hằng đẳng thức nào,mặt khác cũng chưa có nhân tử chung vì thế cần thêm bớt như thế nào đó để cóhằng đẳng thức Đến đây, tôi đặt câu hỏi cho học sinh : “Nếu sử dụng hằngđẳng thức a2+2ab + b2 thì thiếu bộ phận nào”

toán này các em sẽ có những kiến thức và kinh nghiệm mới cho việc giải bàitoán phân tích đa thức thành nhân tử

*Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x6-1

Phân tích tìm lời giải :

Ta thấy x6-1 có thể phân tích thành (x3)2 - 1 hoặc (x2)3-1 để sử dụng ngayhằng đẳng thức mặt khác ta cũng có thể thêm bớt để xuất hiện các hằng đẳngthức hoặc để nhóm

Lời giải :Cách 1: (Nối từ x6 đến 1)

Các cách làm trên có những cách rất đơn giản nhưng cũng có những cáchphức tạp song tôi muốn dẫn dắt các em theo nhiều hướng khác nhau với mụcđích để các em sẽ có cái nhìn phong phú hơn, khi đứng trước một bài toán các

em có kỹ năng nhận biết cách nào đơn giản nhất, từ đó có định hướng đúng choviệc giải bài tập

Mặt khác, việc đưa ra nhiều cách làm là tạo cho các em có một “lưng vốnkiến thức” để khi gặp một bài toán có thể “làm cách này không được thì làmcách khác”

* lưu ý: những đa thức có dạng x3 n 2 + x3 m 1 +1 luôn chứa thừa số x2+ x+1

2.3.2 Các bài toán

*Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a A = (x2+x)2+4(x2+x)-12

b B = (x2+x+1)(x2+x+2)-12

Phân tích tìm lời giải:

a) Dễ dàng nhận thấy x2+x lặp đi lặp lại

b) x2+x+2 = (x2+x+1)+1

x x x

2 2

2

12

1

x x y

x x

y y

Tôi muốn đưa ra bài toán trên cho học sinh không phải chỉ để làm phongphú cách làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho các em kiến thức để sau nàykhi giải phương trình bậc 4 dạng đối xứng các em có thể giải quyết nhanh gọn.

1 1

b a

b a

b a

n n

n n

2.4.2 Các bài toán

Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

x4-6x3+12x2-14x+3 (1)

Phân tích tìm lời giải: Ta thấy, 3 có các ước 1, 3 nhưng không là

nghiệm của 1, vậy việc tìm ra nghiệm rất khó khăn và cũng có thể không cónghiệm, vì thế việc định hướng để phân tích ra nhân tử bậc 1 rất khó khăn Nếu(1) phân tích được thì sẽ có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d)

Lời giảiGiả sử (1) phân tích được thành nhân tử, ta có

bd

bc ad

d b ac

c a

Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4

Vậy ta có dạng đã phân tích của (1) là (x2-2x+3)(x2-4x+1)

Đây là bài toán khó, dạng toán phức tạp chỉ có một số ít các em làm được.Mục đích tôi đưa ra bài toán này là giúp học sinh khá giỏi giải quyết các bài toántương tự, từ đó mở ra một định hướng mới cho việc phân tích đa thức thànhnhân tử bài toán có ý nghĩa như một chìa khoá cho việc giải các bài toán khóphân tích Mặt khác việc làm tốt phương pháp này, tạo thuận lợi cho các em họctốt hơn ở các lớp học tiếp theo

Vì đây là dạng toán khó, nên đại bộ phận học sinh trong lớp không làmđược, nếu tiếp tục đưa vào các bài tập dạng này sẽ gây tâm lý hoang mang,choáng váng cho học sinh có lực học trung bình và yếu Vì thế tôi nhanh chóngchuyển sang dạng toán khác

2.4.3 Bài tập tự luyện

Dùng phương pháp hệ số bất định, phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức A(x1,x2, ,xn) thành nhân tử

Nếu: tại x1=a1 mà A(x1,x2, ,xn)= 0

c b

b a

vào (1) thì P = 0 -> a-b, b-c, c-a là những nhân tử của P

Mặt khác P có bậc 3 Vậy P = k(a-b)(b-c)(c-a) (2) với k là hằng sốNếu thay a = 1, b = 2, c = 0 và biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= k(a-b)(b-c)(c-a), ta có k = 1

Đây là dạng toán phức tạp nhưng tôi cố gắng chọn ra bài toán thật đơngiản, nếu đưa bài toán phức tạp thì vừa mất thời gian lại không hiệu quả

2.5.3 Bài tập tự luyện

Phân tích đa thức thành nhân tử

M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

N = a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

2.6.Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp “tìm nghiệm

của đa thức”

2.6.1.Cơ sở:

- Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)

Khi đó f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức

- Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm là x x1 , 2 thì phân tích được thành

a x x x x

- Đối với đa thức một biến x : nếu tổng các hệ số bằng không thì đa thức

có một nghiệm là 1 do đó có nhân tử là x - 1 Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằngtổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức có một nghiệm là -1 do đó có nhân tử là x+1

2.6.2 Các bài toán

Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x3+3x2-4

Phân tích tìm lời giải:

Dễ nhẩm thấy x=1 là nghiệm của đa thức -> đa thức chứa nhân tử x-1, vậy

ta phải biến đổi đa thức làm xuất hiện nhân tử x-1

Mặt khác, tôi muốn đưa ra dạng toán này để các em sớm tiếp cận và làm quen với nghiệm của phương trình đặc biệt là phương trình bậc hai mà các em sẽ

học rất nhiều ở lớp 9 và các năm học sau này Vấn đề của bài toán tuy không “totát” song bài toán đã hé mở cho các em một ý tưởng mới.

A = b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2

=(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc) (thêm bớt abc)

Bài toán 2: Chứng minh rằng

623

3

n n

A   là số nguyên

Phân tích tìm lời giải: Ta quy đồng biểu thức thành một phân thức nếu

phân thức là số nguyên thì tử chi a hết cho mẫu Vậy bài toán trở về việc chứngminh tử chia hết cho mẫu sau khi đã quy đồng

Lời giải:

6

3 2 6 2

3

3 2 3

2n+3n2+n3 = n(2+3n+n2) = n[(n2+n)+(2n+2)] = n[n(n+1)+2(n+1)] = n(n+1)(n+2).

Vì nZ nên n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp -> có một thừa

số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 -> n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Bài toán giải quyết được vấn đề mới đồng thời có sự liên hệ với kiến thức

cũ qua đó các em được củng cố kiến thức thấy được sự liên hệ, tính hệ thống, móc xích và thống nhất của chương trình

Chắc chắn rằng qua các bài tập trên, các em sẽ hiểu sâu sắc hơn, có cái nhìn toàn diện và đặc biệt có hệ thống phương pháp tốt để làm bài tập, từ đó tôi cho các em làm các bài tập sau:

3– Khả năng thực hiện, lợi ích của sáng kiến và những kết quả bước đầu đạt được.

3.1.Khả năng ứng dụng của đề tài.

Đây là một đề tài có khả năng ứng dụng trong chương trình giảng dạy toán 8 dễdàng, nó không chỉ dùng cho giáo viên giảng dạy toán 8 mà cũng rất hiệu quả