104 SKKN 8 phân tích đa thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁPHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC TRƯỜNG THCS THÚY SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH TÁCH HẠNG TỬ MÔN T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC TRƯỜNG THCS THÚY SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH TÁCH HẠNG TỬ MÔN TOÁN 8, TRƯỜNG THCS THÚY SƠN TRONG NĂM HỌC 2016-2017

Người thực hiện: Trịnh Thị Mến Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Thúy Sơn

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

MỤC LỤC 1.Mở đầu Trang

1.1.Lý do chọn đề tài 2

1.2.Mục đích nghiên cứu 2

1.3.Đối tượng nghiên cứu 2

1.4.Phương pháp ngiên cứu 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3.Giải pháp và tổ chức thực hiện 3

-12 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh ngiệm đối với hoạt động giáo dục với bản thân đồng nghiệp và nhà trường 12 - 13 3 Kết luận , kiến nghị 14

- Kết luận

- Kiến nghị

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy toán ở THCS, khâu truyền thụ kiến thức cơ bản là rất quan trọng, bởi vì kiến thức cơ bản là vốn sống động nhất, phải có và luôn tồn tại trong mỗi một con người học toán và làm toán Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu các bài toán khó, các loại toán hay, trong một chừng mực nào đó, có thể quên đi nhưng các vấn đề cơ bản về kiến thức thì không được phép nhầm lẫn Trong những năm gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy Nội dung chủ yếu của vấn đề là: Phải coi học sinh là nhân vật trung tâm của mỗi tiết học Những giáo viên dạy giỏi lại những chính là những người giáo viên quan tâm nhất đến vấn đề trên thực tiễn đã giúp họ nhận thức rõ khâu quan trọng: Truyền thụ kiến thức cơ bản

Bằng đổi mới phương pháp dạy học Đưa ra được các tình huống tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ, dễ hiểu nhất là trong việc khai thác, phát triển, phát huy

óc sáng tạo, rèn luyện phương pháp suy nghĩ độc lập cho học sinh giáo viên luôn khuyến khích cho học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh phát triển trí tuệ , phương pháp tự tìm tòi, nghiên cứu để học sinh tiếp tục học lên

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với thực tế là trường ở vùng nông thôn, các em học sinh ở đây ít được phụ huynh quan tâm trong việc học hành Đó cũng chính là sự khó khăn của các thầy

cô giáo dạy ở các trường này, vì các em còn lười học Nên việc bồi dưỡng học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn Là một giáo viên dạy vùng nông thôn , tôi luôn trăn trở tìm tòi, học hỏi những phương pháp hay để gây hứng thú cho học sinh và từ đó

để phát hiện ra những em có tố chất để bồi dữơng thêm cho các em có thể tham gia thi học sinh giỏi cấp trường , cấp huyện Trong quá trình giảng dạy nhất là luyện tập các bài tập trong sách giáo khoa nếu biết khai thác, phát triển ta có thê xây dựng được các dạng bài tập hoặc hệ thống các bài tập sử dụng bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi Sau đây tôi xin trình bày " Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 " mà bản thân tôi

đã áp dụng dạy học tại trường THCS Thúy Sơn

1.3 Đối tượng ngiên cứu.

Học sinh khối 8 trường THCS Thúy Sơn

1.4

Phương pháp nghiên cứu

:

- Nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu các pp phân tích đa thức thành nhân tử

:

- Thông qua thực tế giảng dạy

- Tham khảo các đề thi học sinh giỏi

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong các định hướng giáo dục hiện nay càng đi theo hướng dạy lấy học sinh

làm trung tâm, giáo viên là người định hướng tổ chức, các em là người khám phá,tìm tòi

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử trong chương

trình toán 8 chỉ có 1 tiết nhưng nó lại có tầm ảnh hưởng lớn, có thể vận dụng vào rất nhiều bài toán hay, là sự kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều lời giải hay độc đáo

Học sinh có thể vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào

việc giải các bài toán khác có liên quan, qua đó phát triển kĩ năng kĩ xảo trong đại số

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Thúy Sơn là một xã thuần nông, các gia đình ở đây chủ yếu là làm ruộng và

đi làm thuê Mấy năm gần đây đời sống nhân đân ở đây dần được nâng cao hơn Các gia đình cũng quan tâm đến việc học của các em nhiều hơn Tuy nhiên vẫn có nhiều gia đình để con ở nhà với ông bà để đi làm ăn xa nên việc học hành của con gửi cho nhà trường và các thầy cô dạy dỗ Việc dạy học các em gặp rất nhiều khó khăn Các em ở nhà không có ai nhắc nhở, đôn đốc học bài Tài liệu sách tham khảo của nhà trường còn hạn chế Từ lòng yêu nghề tôi thiết nghĩ mình cần phải vượt qua những khó khăn đó Vì thế trong từng bài giảng tôi luôn tìm tòi những phương pháp đơn giản dễ hiểu để gây hưng thú cho các em tạo sự ham thích đối với môn học và phát triển những em có khả năng học toán tốt để các em tham gia đội tuyển toán của nhà trường

Qua điều tra những tiết học đầu tôi thu được kết quả như sau

Từ những kết quả đó tôi nghĩ cách tiến hành thực nghiệm và cũng thu được kết quả khả quan

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Trước hết phải nghiên cứu phần lí thuyết đã được học, phải xác định rõ ràng các kiến thức cơ bản và trọng tâm, kiến thức nâng cao và mở rộng cho phép, bước tiếp theo là nghiên cứu các bài tập trong SGK Sách bài tập Toán, sách nâng cao theo yêu cầu và tự mình phải giải đáp những yêu cầu này

Cách giải từng loại, từng bài toán như thế nào? Có bao nhiêu cách giải bài toán, loại toán này, phương pháp giải nào là hay hơn, thường gặp hơn

Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì ?

Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào Học sinh học và rút ra được gì từ kiến thức ấy

Sau khi nghiên cứu kĩ tài liệu, định hướng cụ thể mới tập trung xây dựng nội dung của đề tài " Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 "

Với mục tiêu củng cố, nâng cao mức độ phổ thông cho phép đối với phần lí thuyết thông qua hệ thống một số bài tập, gồm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc các bài tập tự chọn, tự sáng tạo của giáo viên Với đề tài "Rèn luyện kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử của học sinh lớp 8 " có thể cấu trúc theo nhiều cách khác nhau tuỳ theo chủ định của người dạy, ở đây tôi xin đưa ra cấu trúc như sau để các đồng chí tham khảo và góp ý

Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức dưới dạng tích của các đơn thức và

đa thức

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

:

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm hạng tử

- Tách hạng tử

- Thêm bớt hạng tử

-

Đổi biến

Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp nêu trên

*Dạng I: Dạng tam thức bậc hai : ax2+bx+c=0 (a≠0)

Dạng này có nhiều cách tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử khác song 2 cách tách sau

là thông dụng nhất:

+

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử ,rồi dùng phương pháp nhóm

hạng tử và đặt nhân tử chung mới.Khi thực hành ta làm như sau :

- Bước 1: Tìm tích a.c

- Bước 2: Phân tích a.c thành tích của 2 số nguyên bằng mọi cách

- Bước 3: Chọn 2 thừa số có tổng bằng b

Cách 2: Tách hạng tử tự do c thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về dạng tổng, hiệu 2

bình phương

Ví dụ: PTĐT sau thành nhân tử: a.9x2+6x-8

;

b.x2-7x+12

;

Trước hết ta thấy rằng ba hạng tử của các đa thức trên không có nhân tử chung ,

củng không lập thành hằng đẳng thức.Vì vậy ta nghĩ đến tách hạng tử

Câu a

:

Cách 1

:

Bước 1: a.c=-72

Bước2: -72=-6.12=-1.72=-2.36=-4.18=-8.9=(thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn để có tổng bằng 6

.(

Bước 3: -6+12=6

Giải

:

9x2+6x-8=9x2-6x+12x-8 =(9x2-6x)+(12x-8

(

= 3x(3x-2)+4)3x-2) =(3x-2)(3x+4

.(

Cách 2: 9x2+6x-8 =9x2+6x+1-9 =(3x+1)2-32

)=

3x+1+3)(3x+1-3

(

)=

3x+4)(3x+2

.(

Câu b

:

x2-7x+12

) Đối với dạng này /b/=/-7/=7(số lẻ) ta nên làm cách 1 vì làm cách 2 sẽ dài hơn bởi cần biến đổi để xuất hiện 2ab trong hằng đẳng thức (a-b)2

.(

Vậy : x2-7x+12=x2-3x-4x+12=(x2-3x)-(4x-12)=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4

.(

* Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy để tách 1 số hạng thành các số hạng khác

thường nhằm mục đích

:

- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ , nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung

-

Có thể xác định được 1 đa thức có phân tích được thàng nhân tử hay không

* Dạng II: Đa thức bậc cao (bậc 3 và 4

.(

Với các đa thức có từ bậc 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ , người

ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức

+

Đa thức có nghiệm nguyên

:

-Khái niệm nghiện của đa thức :Số nguyên a được gọi là nghiệm của đa thức f(x)

nếu f(a)=0.Khi x=a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa nhân tử (x-a

.(

Ta chứng minh rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do

Thật vậy, Giả sử: f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an (hệ số a0;a1;… ;anlà số nguyên (

có nghiệm x=a (a∈Z

(

Khi đó f(x)= a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an =(x-a)(b0xn-1+b1xn-2+……+bn-1

(

) Trong đó b0;b1;… ;bn-1 là số nguyên

.(

Khi đo số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải là: -a.bn-1.Còn số hạng có bậc thấp nhất ở vế trái là :an ⇒an=-a.bn-1⇒ a là ước của an

1

Với hệ số tự do có ít ước

:

Ví dụ: f(x)=x3-x2-x-2

Ư(2

=(

}

{± 1 ; ± 2

Dễ thấy : f(1)≠0 ; f(11)≠0 ; f(-2)≠0

f(2)=23-22-2-2=0⇒f(x) có nghiệm là 2 ⇒f(x) chứa thừa số (x-2

.(

Giải

:

Cách 1: f(x)=x3-2x2+x2-2x+x-2

=

x2(x-2)+x(x-2)+(x-2

(

)=

x-2).(x2+x+1

.(

Cách 2: f(x)=x3-8-x2+4x-4-5x+10

)=

x-2)(x2+2x+4)-(x-2)2-5(x-2

(

)=

x-2)(x2+2x+4-x+2-5)=(x-2)(x2+x+1

.(

Chú ý

:

Khi xét nghiệm riêng của đa thức cần lưu ý

:

Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức,khi đó nó

chứa thừa số (x-1

.(

Ví dụ: g(x)=x3+2x2-x-2

Ta có: 1+2+(-1)+(-2)=0⇒g(x) có nghiệm bằng 1 ⇒g(x) chứa thừa số (x-1

.(

g(x)=x3-x2+3x2-3x+2x-2

=

x2(x-1)+3x(x-1)+2(x-1

(

)=

x-1)(x2+3x+2)=(x-1)(x+1)(x+2

.(

Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số

hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức Khi đó đa thức chứa thừa số (x+1

.(

Ví dụ: h(x)=x3-5x2+3x+9

Ta thấy : 1+3=-5+9 ⇒h(x) chứa thừa số (x+1

.(

h(x)=x3+x2-6x2-6x+9x+9

=

x2(x+1)-6x(x+1)+9(x+1

(

)=

x+1)(x2

-6x+9)=(x+1)(x-3 (

2

Đối với đa thức mà hệ số tự do có nhiều ước

:

Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức

ta có

:

Cách 1: Nhận xét: nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1)≠0; f(-1)≠0 thì

:

1

) 1 (

−

a

f

và

1

)

1

(

+

−

a

f

là số nguyên

Chứng minh: Giả sử x=a là nghiệm của đa thức f(x

.(

Ta có: f(x)=(x-a).Q(x) ; f(1)=(1-a).Q(1) Do f(1)≠0 ,⇒a≠1

⇒ Q(x)=

a

f

−

1

)

1

(

tức là

1

) 1 (

−

a

f

là số nguyên

Tương tự x=-1 ta có:

1

) 1 (

+

−

a

f

là số nguyên

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

:

a, f(x)=x3+2x2-6x+8 b, g(x)=2x4-x3-16x2+9x-18

Giải

:

Câu a: Ư(8

=(

} {± 1 ; ± 2 ; ± 4 ; ± 8

f(1)=5 ; f(-1)=15 f(1)≠0 , f(-1)≠0

Dễ thấy :

1 4

5

− ; 2 1

5

−

5

−

± không là số nguyên nên :±1;−2;4;±8 không là

nghiệm của f(x).Chỉ còn -2 và 4.Mà -2 không là nghiệm của f(x) ,vì f(-2)≠0

Vậy f(x) có nghiệm là -4

Ta có: f(x)=x3+4x2-2x2-8x+2x+8

=

x2(x+4)-2x(x+4)+2(x+4)=(x+4)(x2-2x+2

.(

Câu b : g(x)=2x4-x3-16x2+9x-18

Ư(-18

=(

} {± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6 ; ± 9 ; ± 18

g(1)=2-1-16+9-18=-24 ⇒ g(1)≠0

g(-1)=2+1-16+9-18=-40⇒ g(-1)≠0

Ta có:

1 2

40

; 1 18

24

; 1 9

24

; 1 6

24

+

−

−

±

−

−

−

−

−

±

−

không là số nguyên Vì vậy :

2

; 18

;

9

;

6

;

±

không là nghiệm của g(x) Chỉ còn -2;±3;9

Kiểm tra thấy g(x) có nghiệm ±3 ⇒ g(x) có chứa thừa số (x+3)(x-3) ,hay x2-9

Ta có: g(x)= 2x4-x3-16x2+9x-18

= 2x4-18x2-x3+9x+2x2-18

= 2x2(x2-9)-x(x2-9)+2(x2-9

(

)=

x2-9)(x2-x+2)=(x-3)(x+3)(x2-x+9

.(

Cách 2 : Sử dụng lược đồ Hooc ne

Cho đa thức : f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+… +a1x+a0

Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-α ) với số dư r ta có

:

f(x)=(x-α)P(x)+r

r=0 ⇒ f(x) (x-α .) ⇒ α là nghiệm của f(x

.(

r≠0 ⇒ f(x) không chia hết cho (x-α) ⇒ α không là nghiệm của f(x

.(

Ta chia theo bảng sau

:

Ta chia theo bảng sau

:

α abnn=an a=n-1bn-1 an-2 a1 a0

α

bn+an-1

bn-2

=

α

bn-1+an-2

… =b1

= α

b2+a1

r

=

= α

b1+a0

) trong đó bn ;bn-1 ;bn-2 ;….;b1 là hệ số của P(x

.((

Ví dụ: Phân tích đa thức f(x)=x3-9x2+26x-24 thành nhân tử

Ta có: Ư(24

=(

} {± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 ± 6 ; ± 8 ; ± 12 ; ± 24

Sử dụng lược đồ Hooc ne

1

- 9

26

-

24

1

1

- 8

18

-

6

- 1

1

- 10

36

-

60

2

1

- 7

12

0

Ta chỉ cần thử đến giá trị 2 thì thấy r=0

Vậy : f(x)=x3-9x2+26x-24=(x-2)(x2-7x+12

(

)=

x-2)(x2-3x-4x+14)=(x-2)(x(x-3)-4(x-3

((

)=

x-2)(x-3)(x-4

.(

+

Đa thức có nghiệm hữu tỉ

Đối với đa thức không có nghiệm nguyên nó có thể có nghiệm hữu tỉ

Định lí: Trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng

q

p

, trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước của hệ số cao nhất

Chứng minh :

Thật vậy , giả sử đa thức a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an

)

a0; a1; a2;…; an-1; an là số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x=q p (p;q∈Z,q>0,(p;q)=1 (

Thế thì: a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an

)=

qx-p) ( b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+… +bn-1

.(

⇒ -p.bn-1 =an ; q.b0=a0 ⇒p là ước của an;q là ước của a0

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a f(x)=2x3x2+5x+3

b g(x)=27x3-27x2+18x-4

Giải

:

Câu a: Ta thấy ± 1 ; ± 3 không phải là nghiệm của f(x

(

Xét

2

3

;

2

1

±

± .Ta thấy

f(-2

1

)=0 ⇒

x=-2

1

là nghiệm của đa thức f(x).Hay f(x) chứa

thừa số (2x+1

.(

f(x) =2x3x2+5x+3 = 2x3-x2 -2x2-x+6x-3

=

x2(2x+1)-x(2x+1)+3(2x+1

(

) = 2x+1)(x2-x+3

.(

Câu b: Xét ± 1 ; ± 2 ; ± 4 không là nghiệm của g(x

(

Xét

27

1

; 9

1

; 3

± thì f(

3

1

)=0 ⇒x=

3

1

là nghiệm của g(x) , hay g(x) khi phân tích có

chứa (3x-1

(

g(x)=27x3-27x2+18x-4

= 27x3-9x2-18x2+6x+12x-4

= 9x2(3x-1)-6x(3x-1)+4(3x-1

(

) = 3x-1)(9x2-6x+4

.(

Chú ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm hữu tỉ không

phải tính toán phức tạp và nhiều lần thử , khi có một giá trị của x làm cho đa

thức có giá trị bằng 0 ta tách hạng tử làm xuất hiện nhân tử đó để hạ bớt bậc

của đa thức , rồi phân tích tiếp

*

MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: (Đề thi HSG cấp huyện năm 2012-2013

.(

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

:

B

=

2

2

2

3 − − −

−

x

x

x

x

Xét đa thức f(x)=x3-x2-x-2

Ta có : Ư(2

=(

}

{± 1 ; ± 2 ;

Thấy x=2 là nghiệm của f(x) nên ta phân tích đa thức f(x) bằng cách tách hạng tử

như sau

:

f(x) =x3-x2-x-2

=

x3-2x2+x2-2x+x-2

=

x2(x-2)+x(x-2)+(x-2

(

)=

x-2)(x2+x+1

(

⇒ B

=

2

2

2

3 − − −

−

x x x

x

=

) 1 )(

2

(

2

2 + +

−

−

x

x

x

x

=

1

1

2 +x+

x

Biểu thức B có giá trị lớn nhất ⇔ g(x)=x2+x+1 có giá trị nhỏ nhất