SKKN vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử giải các bài toán

Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toánA.. Cho nên tôi đã tìm tòi và học hỏi đồng nghiệp, tài liệu tham khảo … để hướng dẫn học sinh biết vận dụng sáng tạo, có hiệu

Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán

A Đặt vấn đề:

Toán là môn học cơ bản trong chương trình phổ thông Học toán hay giải toán là yêu cầu thường xuyên của mọi hoạt động và suy nghĩ Do đó trong dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán đại số nói riêng người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi học xong lý thuyết để vận dụng vào việc thực hành có hiệu quả Người giáo viên phải biết cách phân tích và lựa chọn các dạng bài tập Qua đó bản thân tôi là một giáo viên dạy toán luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh nắm được bài, hiểu bài và biết vân dụng và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi Cho nên tôi đã tìm tòi và học hỏi đồng nghiệp, tài liệu tham khảo … để hướng dẫn học sinh biết vận dụng sáng tạo, có hiệu quả “Giải bài toán vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán” loại bài toán này quen thuộc với học sinh nhưng để biết cách phân tích mới là khó Đó là điều băn khoăn trăn trở của tôi trong quá trình giảng dạy Từ đó tôi nghĩ đế việc vận dụng sáng tạo, có hiệu quả giải bài toán vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử là một phương pháp hay mà các em học sinh chưa được biết và sử dụng

B Nội dung:

I Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C)

2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức :

Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức

1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2

2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2

3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )

4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3

5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3

6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)

7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)

3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

4) Phối hợp các phương pháp cơ bản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

5)Phương pháp tìm mghiệm của đa thức:

6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

7) Phương pháp tách hạng tử:

8) Phương pháp đặt biến phụ:

9)Phương pháp hệ số bất định:

10.Phương pháp dự vào số mủ:

II Một số dạng toán thường gặp:

Dang 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Dang 2: Tính chia hết.

Dang 3: Tìm nghiệm nguyên.

Dang 4: Rút gọn phân thức.

Dang 5: Giải phương trình.

Dang 6: Chứng minh.

Dang 7: Bài toán tìm cực trị.

III Bài tập vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

1) Các phương pháp thông thường.

a, Cách làm:

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử

+ Phối hợp nhiều phương pháp

b, Ví dụ:

Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử

A = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2

= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)

= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử

B = a2 - b2 - 2a + 2b

= (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)

= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

C = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

C = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 (Nhóm các hạng tử)

C = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2 (Đặt NTC)

C = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 (Đặt NTC)

C = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] (Đặt NTC)

C = (a + b)(8a – 2b)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

D= 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy

D = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) (Đặt NTC)

D = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)] (Nhóm các hạng tử)

D= 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] (Dùng hằng đẳng thức)

D = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) (Dùng hằng đẳng thức)

2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác.

a) Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

* Cách làm: Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung, hằng đẳng

thức

* Ví dụ:

Ví dụ 1 :

x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)

Ví dụ 2 :

x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)

) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

*Cách làm: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên

Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1

⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có

x = -1

⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)

+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ số tự do d (hệ số không đổi) Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là nghiệm

*Ví dụ:

Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4

Ta nhìn thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4± ± ± , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2 Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

Cách 1:

x3 – x2 – 4 = (x3−2x2) (+ x2−2x)+(2x− =4) x x2( − +2) x x( − +2) 2(x−2) =

(x−2) (x2+ +x 2)

Cách 2:

( ) ( )

x −x − =x − −x + = x − − x − = −x x + + − −x x x+

= (x 2)(x2 2x 4) (x 2) (x 2)(x2 x 2)

Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5

Nhận xét: 1, 5± ± không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x = 13 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1 Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =

3x −x −6x + +2x 15x− =5 3x −x − 6x −2x + 15x−5

= 2x (3x− −1) 2 (3x x− +1) 5(3x− =1) (3x−1)(x2− +2x 5)

Vì 2x − + =2x 5 (x2− + + = −2x 1) 4 (x 1)2+ >4 0 với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa

Ví dụ 3 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4)

= x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ví dụ 4 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Nhận xét: Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)

Và x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy

a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x1 = 1

E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )

Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp

E1 = (x - 1) (x + 2)2

Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử

E2 = x3 - 3x + 2 Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2

⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2

c ) Phương pháp đặt ẩn phụ

* Cách làm:

- Làm xuất hiện nhân tử chung

- Làm xuất hiện hằng đẳng thức

* Ví dụ:

Ví dụ 1 :

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128

Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng

(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)

= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )

Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1

Ta thấy 0 không phải là nghiệm của đa thức

Ta có: x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – 6x + 1 2

= x2 [(x2 + 1 2

x ) + 6(x -

1

x ) + 7 ]

Đặt x - 1

x = y thì x

2 + 1 2

2 + 2, do đó

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 1

x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )

= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2

Ví dụ 3: A = 2(x +y2+z2)(x y z+ + )2+(xy yz+ +zx)2

= (x2+y2+z2) 2(+ xy yz+ +zx) ( x2+y2+z2) (+ xy yz+ +zx)2

Đặt 2x +y2+z2 = a, xy + yz + zx = b ta có

A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

= ( 2x +y2+z2 + xy + yz + zx)2

Ví dụ 4:

B = 2(x4+y4+z4) (− x2+y2+z2 2) −2(x2+y2+z2)(x y z+ + )2+ + +(x y z)4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú:

B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2

Ta lại có: a – b2 = - 2(x y2 2 + y z2 2+z x2 2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;

B = - 4(x y2 2 + y z2 2 +z x2 2) + 4 (xy + yz + zx)2 =

xyz x y z

Ví dụ 5: (a b c+ + )3−4(a3+ +b3 c3) 12− abc

Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2

a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + (a b c+ + )3−4(a3+ +b3 c3) 12− abc)

Ta có:

C = (m + c)3 – 4 m + 3mn3 2 4c3 3c(m - n )2 2

= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)

Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử:

D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12

y = x2+ x = x(x + 1) D1 = y2 + 4y - 12

D = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)

D = y (y - 2) + 6(y - 2)

D = (y – 2)(y + 6)

Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x

D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)

d) Ph ương ph áp hệ số bất định :

* Cách làm:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q

là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)

a - 1 và

f(-1)

a + 1 đều là số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

* Ví dụ:

Ví dụ 1 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Nhận xét: các số ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm

nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đó cho ta có:

6 12 14 3

a c

ac b d

ad bc bd

+ = −



 + + =



 + = −



 =



Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ {± ± 1, 3} với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

6

3

a c

bd

+ = −



 = −  = −  = −

 + = −  =  = −



 =



Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

Ví dụ 2 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:

2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)

= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c ⇒

4 3

1

5

2 6

4

2 8

a

a

b

c c

− = −



 − = −

− =



Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)

Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên

2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)

Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)

Ví dụ 3 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)

= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3

⇒

12

4 10

3

6 12

2

ac

a

bc ad

c

c a

b bd

d

d b

=



 + = − 

 − = ⇒

− =



⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

10.Phương pháp dự vào số mủ:

*Cách làm:

Đa thức xa + xb + 1 Nếu có a chia 3 dư 2, b chia 3 dư 1 Thêm bớt cùng hạng tử để biến đổi đa thức xa + xb + 1 đó về tích có chứa nhân tử x2 + x + 1

* Ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x5 + x4 + 1

= x5 + x4 + x3 – x3 – x2 – x + x2 +x + 1

= x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + x2 + x + 1

= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x10 + x5 + 1

= x10 + x9 + x8 - x9– x8 – x7 + x7 + x6 +x5 – x6 –x5 – x4 + x5 + x4 + x3 – x3 – x2

– x + x2 + x + 1

= x8(x2 + x + 1) - x7(x2 + x + 1) + x5(x2 + x + 1) – x4(x2 + x + 1) +x3(x2 + x + 1)

- x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x8- x7+ x5 – x4 +x3 - x2 + 1)

IV Một số bài tập phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử

1 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)

a) 25x2 - 10xy + y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

c) 81x2 – 64y2 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2

c b a c b

( Dùng hằng đẳng thức số 3) ( Dùng hằng đẳng thức số 6 và 7)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)

a) 2 x3 + 3 x2 + 2 x + 3 b) x z x yz x z3 + 2 − 2 2 −xyz2

c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z

e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y+ x + 3xy2 + y + y3

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)

a) x2 - 6x + 8 b) x2 – 8x + 12

c) a b c2( − +) b c a2( − +) c a b2( − ) d) x3 – 7x – 6

( Tách c - a = c - b + b - a) ( Tách - 7x = -4x - 3x )

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )

a) x4 + 4 b) a4 + 64

c) x5 + x + 1 d) x5 + x - 1

Bài 4 *: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

Bài giải mẫu : (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12

Đặt: x2 + x + 1 = y , ta có x2 + x + 2 = y + 1

Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4)

Thay x2 + x + 1 = y , ta được :

(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)

= [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)

a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24

c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp )

a) x2 + 4xy + 3y2 b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy) c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm)

Định lí ( Bedu) : Dư trong phép chia f(x) cho x - a bằng số a.

Suy ra : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0 Khi đó, f(x) có một nhân tử là x –

a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 thành nhân tử

Với x = -1 ( Dùng MTBT để tìm 1 nghiệm)

Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + 9 = -1 - 5 -3 + 9 = 0 Vậy x = -1 là một nghiệm của

đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + 1

Từ cơ sở trên, ta phân tích đa thức thành :

= ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + 9 ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1)

= (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2

a) x2 – 7x + 10 b) 4 x2 – 3x – 1

c) x2 − −x 12 d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử :

( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm và hoán vị vòng)

Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử Xem đa thức với ẩn a Thay a = b Ta có :

b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = 0 Vậy a = b là một nghiệm của đa thức

nên đa thức chia hết cho a - b

Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) nên vai trò của a, b và c là như nhau, suy ra đa thức cũng chia hết cho b - c; c -a + Bậc của đa thức đã cho bằng 3

Suy ra : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k Z∈

Cho a = 0; b = 1; c = 2 Ta có :

0 1× −( 2 22) (− × −1 02 22) + × −2 0( 2 12) =k(0 1 1 2 2 0− ) ( − ) ( − )

⇔ 2 = 2k ⇔ =k 1 Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a)

a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

2.BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài 1: Tìm x , biết :

a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 b) 5x(x – 3) + 3 – x = 0

c) (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0

Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n ∈ Z.

Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 4: Chứng minh rẳng :

a) 2 154nM b) 55 n+1 – 55 2 chia hết cho 54

Bài 5: Cho x + y = -3 và x.y = -28 Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.

Bài 6: a) Cho a2 + + + =b2 c2 3 2(a b c Chứng minh : a = b = c = 1.+ + )

3

a b c ab ac bc Chứng minh : a = b = c ( nhân 2 vế cho 2)

Chuyển về dạng bình phương của tổng hoặc hiệu

Bài 7: