Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Khai thác bài toán: Nếu chú ý đến ph-ơng pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức hay không?. Khai thác bài toán: Bằng ph

Phần I lời nói đầu

Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS

Nội dung này đ-ợc giới thiệu trong ch-ơng trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của ch-ơng trình Vì nó đ-ợc vận dụng rất nhiều ở các ch-ơng sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải ph-ơng trình, bất ph-ơng trình Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức ch-a đ-ợc đề cập tới

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết đ-ợc nhiều vấn đề trong ch-ơng trình Đại

số lớp 8 và lớp 9 cũng nh- nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm đ-ợc lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán Nh-ng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong tr-ờng hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp

Để giúp cho tất cả học sinh đại trà và để bồi d-ỡng học sinh khá giỏi

đạt kết quả tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề cần

đ-ợc quan tâm Nh-ng hiện nay trên thị tr-ờng có rất ít sách dành riêng cho chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Đó chính là lý do tôi đ-a ra đề tài này Về nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những ph-ơng pháp cơ bản

có ví dụ cụ thể, tôi đã giới thiệu các bài tập có lời giải vận dụng tổng hợp các ph-ơng pháp trên

Tất cả các phần đều đ-ợc trình bày theo lôgic Giới thiệu ph-ơng pháp các b-ớc làm, ví dụ minh hoạ và một số bài tập t-ơng tự để làm thêm

Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu h-ớng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các tr-ờng THCS sau này

Phần II NộI DUNG

Ví dụ:

Biểu thức: f(x) = 5x3- x2 + 3x + 7 là một đa thức của biến (ẩn) x Biểu thức: g(y) = 7y2+ 3y - 6 là một đa thức của biến (ẩn) y Biểu thức: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + 7 là một đa thức của hai biến (ẩn) x và y

- Đổi biến số (hay đặt ẩn phụ)

Trừ một số tr-ờng hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bài toán nhất là những bài toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp các ph-ơng pháp trên một cách linh hoạt để giải

2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2

2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)

Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung :

Đổi dấu – (4yx2 + yz2)(z – y2) = (4yx2 + yz2)( y2 – z), ta có thừa số (y2 – z) chung:

C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

= (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z)

Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa

số chung , ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Để áp dụng ph-ơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm

xuất hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể) Sau đó dùng các hằng đẳng thức

Bµi to¸n 1.1: Ph©n tÝch ®a thøc

L-u ý: Th-êng th× ta sÏ cã nhiÒu c¸ch nhãm c¸c h¹ng tö kh¸c nhau

Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ t-, hạng tử thứ

ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tục phân tích, ta có :

thức v¯ đưa v¯o trong dấu ngoặc đằng trước có dấu “ – ” để phân tích đa thức bằng ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức

Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến ph-ơng pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

hay không?

Có nhân tử chung: áp dụng ph-ơng pháp đặt nhân tử chung Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với b-ớc 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng

Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang b-ớc 2

ph-ơng pháp hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua b-ớc 3

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

3 n 1 2 n 2 7 3 m

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

b) Ví dụ:

Ví dụ 1:

Phân tích: x2 – 6x + 8

Nhận xét:

Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằng

đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cách phù hợp:

Cách 1: Tách số hạng thứ hai

x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8

= x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4)

MÆc dï cã nhiÒu c¸ch t¸ch nh-ng th«ng dông nhÊt lµ c¸ch sau:

* C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö råi dïng ph-¬ng

= (2x – 2)2 – x2

= ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình ph-ơng (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ng-ời ta th-ờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức

Khai thác bài toán:

Bằng ph-ơng pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

b) Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

= y(y – 4) + 6(y – 4)

= (y – 4)(y +6) Thay y = x2 +5x + 4 , ta ®-îc:

Dạng đặc biệt

Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n

= b thì ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong tr-ờng hợp này

a, b, c nguyên thì tr-ớc hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt

đối của m và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b

+ bx2 + c Cách giải: đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*)

 Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d)

rồi biến đổi nh- trên

 Đa thức dạng : P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = –

1

Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử

ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT(*)

Do đó: P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2)

 Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2

Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi(x) về dạng chứa hạng

tử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*)

Do đó: P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2)

* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo

cách trên

 Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c

Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng

Khai thác bài toán:

Bằng cách đặt ẩn phụ , ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng Vì vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các ph-ơng pháp phân tích đã biết

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – 1

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng đẳng thức:

Khai th¸c bµi to¸n:

B»ng ph-¬ng ph¸p thªm bít h¹ng tö, ta cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n t-¬ng tù nh- sau:

Bµi to¸n 1.1: Ph©n tÝch ®a thøc

3 2

Dễ thấy 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ Nh- vậy nếu đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng:

(x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:

x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

6 7 6 1

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x +

Khai thác bài toán:

Bằng ph-ơng pháp hệ số bất định và với cách giả nh- trên, ta có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là -ớc của hệ số tự do

 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x)

P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)

Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x + ab, ta có th-ơng đúng của phép chia là Q(x) Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì sao?

Thế nào là nghiệm số kép?

Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x)

Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x)

Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x)

Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a

Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x)

Hoặc chia P(x) cho (x – 1) ta đ-ợc th-ơng đúng là: x2 – 2x + 3

P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)

Vậy P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)

4) P(x) = x3 + 3x – 4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) thì

nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra – ac = – 4 suy ra a là -ớc của

– 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là

-ớc của hạng tử không đổi

Ước của (– 4) là –1; 1; – 2; 2; – 4; 4 Sau khi kiểm tra ta thấy 1

là nghiệm của đa thức Suy ra đa thức chứa nhân tử ( x – 1)

Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x – 1)

* Cách 1:

P(x) = x3 + 3x2 – 4

= x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1)

= (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)

= ( x – 1)( x + 2)2

* Cách 3:

Chia P(x) cho (x – 1) ta đ-ợc th-ơng đúng là: (x2 + 4x + 4) = (x + 2)2

Khai thác bài toán:

Bằng ph-ơng pháp tìm nghiệm đa thức và với cách giả nh- trên, ta

có thể giải các bài toán t-ơng tự nh- sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết d-ới dạng f(x) = g(x) h(x) thì ta cũng có thể nói f(x) chia hết cho

đa thức g(x) (hoặc đa thức h(x)) và khi đó nghiệm của g(x) hoặc h(x) cũng chính là nghiệm của f(x)

Định lý (Bezout): D- trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức

x - a đúng bằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a.)

Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1)

II bài tập ứng dụng

a giảI mẫu một số bài tập

= x2(x2 + 3x –1) + 3x(x2 + 3x – 1) – (x2 + 3x –1)

= ( x + y)(x2 + 2xy + y2 – 3xy – 3y2)

= (x + y)[(x + y)2 – 3y(x + y)]

= (x + y)(x + y)(x + y – 3y)

a b c d a b c d

1 1 0 2 0 2 1 1

Cả hai kết quả trên cùng đ-a về một đáp số:

C ( y x 3 ) ( y x 3 ); D Cả 3 câu trên đều sai;

Bài 5: Kết quả phân tích đa thức x ( x 2 ) x 2 thành nhân tử là

A y(3 + x – y)(3 – x + y) ; B y[(x – y)2 – 32]

C y[(3 + x – y)(3 – x – y) ; D y(3 + x + y)(3 – x – y) ;

Bài 9: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng ph-¬ng ph¸p phèi

§S: (2y – x)(14y – 4x) = 2(2y – x)(7y – 2x)

b) §Æt 2ab lµm thõa sè chung

f) §S: (5m + x – 1)(5m – x +1)

g) §S: (x – 1)3

h) §S: (4x + 3)(16x2 – 12x + 9)

Bµi 3:

h¹ng tö cßn l¹i nhãm víi nhau

có chứa nhị thức x+1

ĐS : A = (x + 1)(2x2 – 7x + 10)

b) HD : Tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm là 1 Do đó đa thức có chứa nhị thức x – 1

x x x x 1 ) c) HD : Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ có 1

B ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử

I Các bài toán liên quan

1 Bài toán giải ph-ơng trình:

a) Ph-ơng pháp giải: Đối với các ph-ơng trình bậc cao từ bậc hai

trở lên việc áp dụng các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng Vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đ-ợc dạng ph-ơng trình tích A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0

Khi đó các đa thức A và B có số mũ nhỏ hơn nên sẽ giúp các em giải các ph-ơng trình đ-ợc sẽ dễ dàng hơn

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình :

x3 + 9x2 + 11x - 21=0 (1)

nghĩ phân tích VT của ph-ơng trình thành nhân tử đ-ợc thì ph-ơng trình coi nh- giải xong

Nhận xét : Ph-ơng trình (1 )thuộc về dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0

có a + b + c + d = 0

Để phân tích VT thành nhân tử ta làm nh- sau : Tách thành hạng tử thứ hai trở đi thành hai hạng tử , sao cho hạng tử đầu có hệ số là đ ối của hạng tử liền tr-ớc Từ đó ta phân tích đ-ợc đa thức ở VT của ph-ơng trình trên nh- sau:

áp dụng ph-ơng pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân

2 Bài toán giải bất ph-ơng trình

a) Ph-ơng pháp giải: Để giải các bất ph-ơng trình bậc cao hoặc các

bất ph-ơng trình có chứa ẩn ở mẫu là một việc không dễ chút nào

Đối với các bất ph-ơng trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành nhân tử để đ-a bất ph-ơng trình về dạng bất ph-ơng trình tích

Đối với các bất ph-ơng trình có chứa ẩn ở mẫu ta nên phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau đó giải bất ph-ơng trình sẽ đơn giản hơn ( A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất ph-ơng trình th-ờng

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải bất ph-ơng trình

x2 + x – 12 > 0 (*)

0 ( x 2 ) ( x 3 )Vì – 2 < 0 ( x – 2)(x – 3) < 0

2 x

3 Bài toán rút gọn biểu thức

a) Ph-ơng pháp giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân

thức đại số, chúng ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử để xuất hiện

nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm ở d-ới mẫu

Rèn luyện kỹ năng vận dụng các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đ-ợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh

Mẫu:

2 ( a b c ) 2 ( a b a c b c ) = 2 2 2

4 Bài toán chứng minh về chia hết

a) Ph-ơng pháp giải: Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành một

tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh

= n( n + 1)( n + 2)

Mà n(n + 1)(n +2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp Vì vậy ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6

Kết luận: Trên đây là 4 dạng toán điển hình th-ờng áp dụng kỹ

năng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ngoài 4 dạng này còn có một

số bài tập khác nh- : tính nhẩm, tính giá trị biểu thức, giải hệ ph-ơng trình

…cũng vận dụng ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Với những bài tập vận dụng này đã giúp học sinh phát triển t- duy, óc sáng tạo tìm tới ph-ơng pháp giải toán nhanh hơn, thông minh hơn Qua những bài tập này giúp học sinh biết vận dụng các ph-ơng pháp thích hợp để giải bài tập một cách chính xác và nhanh nhất