Nội dung: 1. Nhắc lại 4 phương pháp phân tích thành nhân tử trong chương trình SGK Toán 8: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, kết hợp nhiều pp.2. Mỗi phương pháp có ví dụ minh họa cụ thể.3. Bài tập áp dụng cho từng phương pháp.
Trang 1Tổ: Toán – lý - tin
CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 8
I Phương pháp đặt nhân tử chung
1 Cách tìm nhân tử chung: nhân tử chung thường gồm hai phần là hệ số và phần biến
- Hệ số (nếu có): là ƯCLN của các hệ số
- Phần biến (nếu có): là biến có mặt trong tất cả các hạng tử với số mũ nhỏ nhất
2 Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức thành nhân tử
Tìm nhân tử chung Bài toán
Hệ số Phần biến Lập tích Kết quả
a) 33x5y3 + 15 x3y +3xy 3 xy 3xy = 3xy.(11x4y2 + 5x2 + 1)
b) x5y3 + 2x3y + xy xy = xy.(x4y2 + 2x2 + 1)
II Phương pháp dùng hằng đẳng thức
1 Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
1 A 2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2 A 2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3 (A – B ) (A + B) = A2 – B2
4 (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5 (A – B)3= A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6 (A – B ) (A2 + AB + B 2) = A3 – B3
7 (A + B ) (A2 – AB + B 2) = A3 + B3
2 Cách làm
Để phân tích một đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp vận dụng hằng đẳng thức trước tiên ta quan sát và xác định đa thức đó thuộc vào dạng nào trong 7 hằng đẳng thức đã học; sau đó, xác định A, B tương ứng trong biểu thức
3 Ví dụ
Bài 1: Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau :
A 2 + 2AB + B2 = ……… ………
A 2 – 2AB + B2 = ……… ………
A2 – B2 =……… ………
A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 =………… ………
A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = ………….………
A3 – B3 =……….………
A3 + B3 =………
Bài 2: Phân tích đa thức x2 – 6x + 9 thành nhân tử
Ta thấy đa thức x2 + 6x + 9 có dạng của hằng đẳng thức A 2 + 2AB + B 2 nên ta phân tích:
x2 = (x)2 A là x; còn 9 = 32 B là 3 và 6x = 2 x 3
Hay: x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 x 3 + (3)2 = (x + 3)2
A2 + 2 A B + B2 = (A + B)2
Trang 2Bài 3: Phân tích đa thức 4x2 – 9 thành nhân tử
Đa thức 4x2 – 9 có dạng hằng đẳng thức A 2 – B 2
4x2 = (2x)2 A là 2x; còn 9 = 32 B là 3
Đa thức: 4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x – 3 )(2x + 3)
A2 – B2 = (A – B) (A + B)
Bài 4: Phân tích đa thức 8x3 – y3 thành nhân tử
1/ 8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x – y )[ (2x)2 +2x y + y2] 2/ 8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x – y )( 2x2 +2x y + y2) Trong hai cách phân tích trên , hãy xác định cách làm đúng? Chỉ rõ chỗ sai trong cách làm sai ?
III Phương pháp nhóm các hạng tử
1 Cách nhóm các hạng tử
Dùng các tính chất: giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng
tử của đa thức thành từng nhóm sao cho trong từng nhóm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất
hiện dạng hằng đẳng thức
Khi nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung ta thường gặp dạng bài toán sau:
= (AC – AD ) + (BC – BD )
= A(C – D) + B (C –D )
= (C –D).(A +B)
2 Ví dụ
Nhóm xuất hiện nhân tử chung Nhóm xuất hiện dạng hằng đẳng thức
4ax – 4bx – a + b
= (4ax – 4bx) – (a – b )
= 4x (a – b ) – (a – b )
= (a – b )( 4x – 1)
x2 + 6x – y2 + 9
= (x2 + 6x + 9)– y2
= (x + 3 )2 – y2
=( x + 3 – y )( x + 3 + y)
Nhóm xuất hiện nhân tử chung và dạng hằng đẳng thức
x2 – xz – 9y2 +3yz
= (x2 – 9y2) – (xz – 3yz)
=(x – 3y )( x + 3y) – z(x – 3y)
= (x – 3y )( x + 3y – z)
3 Lưu ý
- Đặc điểm của phương pháp nhóm hạng tử là đa thức phải có từ 4 hạng tử trở lên
- Khi các hạng tử của đa thức đã cho không có nhân tử chung hoặc không có dạng hằng đẳng thức thì ta mới dùng phương pháp nhóm
- Sau khi phân tích mỗi nhóm thì quá trình phân tích đa thức đã cho tiếp tục được
- Khi đặt nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón nhân tử chung nữa
và chỉ được viết (nhân tử chung) một lần
IV Kết hợp nhiều phương pháp: Vận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp chúng để phân tích thành nhân tử
Ngoài ra, để phân tích một đa thức thành nhân tử người ta còn sử dụng một vài phương pháp khác như: tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm, bớt cùng một hạng tử thích hợp; xét giá trị riêng (trị số riêng); dùng hệ số bất định; tìm nghiệm của đa thức; đổi biến số… Trong chuyên đề này tôi chỉ nhằm giúp các em nắm vững các phương pháp phân tích thành nhân tử cơ bản nên những phương pháp nâng cao trên đây tôi sẽ đề cập trong chuyên đề tiếp theo
Trang 3BÀI TẬP THỰC HÀNH
1 Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x + 2y f) x(x+y) – (2x+2y) k) x2 – x + 1 + 7x (x2 – x + 1)
b) 5x + 20y g) 2x(x+y) – 10x – 10y l) – x2y2z – 6x3y – 8x4z2 – 9x5y5z5 c) 6xy – 30y h) 5x (x – 2y) + 2 ( 2y – x ) m) 7x(y– 4)2 – (4 – y)3
d) x3 – 4x2 + x i) a2b4 + a3b – abc
e) x2y3 – 1
2x
4
y8 j) 5x (x – 11 ) – 10y(x – 11 )
n) 5x5 (y3+3y – 13 ) – 4y (y3+3y –
13 ) – 2x(y3+3y – 13 )
Bài 2: Tính nhanh
a) 85 12,7 + 5 3 12,7
b) 47 9,9 + 53 9,9
c) 52 143 – 52 39 – 8 26
d) 13 49 + 38 49 – 25 49 + 49 74
e) 37 80 + 41 40 – 40 15
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau
b) x (x – y) + y (y – x) tại x = 53 , y = 3
c) x (x – 6 ) – y (6 – x ) tại x = 006 , y = 2002
d) 5x (x – y) – y (x – y) tại x = 60 , y = 5
Bài 4: Tìm x biết
d) 2x ( x – 9 ) + 3 ( x – 9 ) = 0 j) –10x (y + 2) – y – 2 = 0
f) 5x3 (7x + 1) – 10x2 (7x + 1) = 0 l) x (x + 19)2 – (x + 19)2 = 0
Bài 5: Chứng minh rằng
a) 432 + 43 17 chia hết cho 60
b) n 2 (n+1) + 2n (n+1) luôn chia hết cho 6 với mọi n Z
c) 25n (n – 1) – 50 ( n – 1) luôn chia hết cho 150 với mọi n là số nguyên
2 Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích
Bài 1: vận dụng hằng đẳng thức ( A + B )2 để phân tích đa thức thành nhân tử
d) 9x2 + 30x +25 h) (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1
Bài 2: Điền vào chỗ trống để được kết quả đúng
a) x2 + ……… + 81 = (……… + …………)2
f) 36 y2 – 49z2 =(…….)2 – (…… )2 = (… – … )(…… + …….)
g) m3 – 125 = m3 – …3= (…… – …… )(…… +………+…… )
h) 8x3 + 12x2 + 6x +1 = (….)3 +3 (….)2 … + 3 …… + ….3 = (….+….)3
i) 1 + 1
64x 3
= … 3 + (… )3 = (… + ….)(… – … + …….)
Trang 4Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau
B = x2 + 4xy +4y2 tại x = 2,8 ; y = 3,6
C = y 2 + 2yz + z 2 tại y = 4,19 ; z = 5,81
D = (3x – 7 )2 +10(3x – 7 ) +25 tại x = 16
E = 8x3 – 12x2 + 6x – 1 tại x = - 1
2
G= (1 – 2x )2 – (3x + 1)2 tại x = – 2
Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 + 6xy + 9y2
b) x6 + y2 – 2x3y
c) 25x4 – 10x2y2 + y4
d) – a2 – 2a – 1
e) 27b3 – 8a3
f) x3 + 9x2y+ 27xy2 + 27y3
g) 16x2 – 9 (x + y)2 h) (a – b)2 – 1 i) a6 –b6 j) 4a4 – 4a2b2 + b4 k) (x + y)3 – (x – y )3
3 Dùng phương pháp nhóm hạng tử
Bài 1: Tính nhanh
a) 3,71 34 + 66 3,71 b) 36 28 + 36 82 + 64 69 + 64 41 c) 13,5 5,8 – 8,3 4,2 – 5,8 8,3 + 4,2 13,5 d) 4,8 13,3 + 4,8 6,7 + 5,2 13,3 + 5,2 6,7 e) 7,8 55,1 + 92,2 55,1 – 7,8 5,1 – 92,2 5,1 f) 170 22,89 – 128,9 17
g) 452 + 402 – 152 + 80 45
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x2 + 4x + xy +2y
b) a(x – y ) + bx – by
c) x2 +xy – 7x – 7y
d) ac + bc + a + b
e) x2 + 2xy + y2 – 4
f) 5a2 – 5ax – 7a + 7x
g) 1 – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3
h) 7z2 – 7yz – 4z + 4y
i) b2c + bc2+ ac2 – a2c –ab(a +b)
j) x3 + 3x2 + 3x + 9
k) 30ax – 34bx – 15a + 17b
l) x3 – x2 – 5x + 125
m) x3 – x2y - x2z – xyz n) x3 + 2x2 – 6x – 27 o) pq – p2 – 5(p – q ) p) 12x3 + 4x2 – 27x – 9 q) y(a - b) – 2a + 2b r) x4 – 25x2 + 20x – 4 s) y2 + 1+ 2y – 49 t) x2(x2 – 6 ) – x2 + 9 u) 36 a2 – c2 – 9b2 – 6bc v) x6 – x4 + 2x3 + 2x2 w) ab(a –b)+ b2c – bc2 + c2a – ca2
x) 2a2b + 4ab2 – a2c – 2abc + ac2 + 2bc2 – 4b2c – 2abc
Bài 3: Tìm x biết
a) 4x2 – 25 – (2x – 5 )(2x + 7) = 0
b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9 ) = 0
c) 2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0
d) x2(x + 7) – 4 (x + 7) = 0
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
a) Cho x + y + z = 0 Chứnh minh rằng : x3 + x2z + y2z – xyz + y3 = 0
b) (a + b +c )3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
c) a3+ b3 + c3 = 3abc với a+ b + c = 0