CHUYEN DE PHAN TÍCH DA THỨC THÀNH NHÂN tử

Tổng hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8. Từ các phương pháp cơ bản, trong chuyên đề bổ sung thêm các phương pháp khác, giúp cho các em có tư duy tốt hơn trong giải toán. Từ đó nó là nền tảng cho các kiến thức phần sau.

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:

1 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

c) 5 (x x2  1) 3 ( x x 1) d) x(x y) 5x 5y  

e) f )x(x y) y(y x)   g) 3x (y 2z) 15x(y 2z)2    2

h) 12x y 18xy2  2  30y2 f) x(y 1) 3(y 1)  

i) 16x (x y) 10y(y x)2    k) x(2y z) x(z 2y)  

l) 3x(x y) 2y(y x)  

2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 5x(x 2y) 2(2y x)   2

b) 7x(y 4) 2 (4 y) 3

c) (4x 8)(x 2 6) (4x 8)(x 7) 9(8 4x)    

II PHƯƠNG PHÁP DÙNG HHẰNG ĐẲNG THỨC

A LÝ THUYẾT:

- Hằng đẳng thức đáng nhớ:

- Nâng cao :

Từ đó :

2k 2k 2 2







B BÀI TẬP

1 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a)x 9 b)9x 6xy y

c)x y d)6x 9 x

e) x  y f) x 4y 4xy

2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 4x 12x 9 b) 25x 10x y y

c) 1 - 8x y d)8x 12x y 6xy y

e)27 27x 9x x f ) -x y 8x y 16

3 1 2 4

g)64x i) 1 - x y

8



3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 9x9x624xy2 16y4 b) x8 36x y 54xy2  2 27y3

c)  y312y x 48yx2  2 64x3 d) 64x y6 4  27y6

f) (x y 5)  2  2(x y 5) 1   g) (x24y2  5)2 16(x y2 2 2xy 1)

h) (a b) 3 (a b) 3 t) (a b) 3 (a b) 3

III PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ

1 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

c) x2  2xy y 2 z2 2zx t 2 d) x2  x y 2  y

e) x2  2xy y 2 z2 f) x2 y2 5x 5y

g) 5x3 5x y 10x2  2 10xy t) x3  3x2  1 3x

i) 3x2 6xy 3y 2 12z2

2 Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a)3x  6xy 3y  12z b) 3x2 3y2 12x 12y

h) 2x 2y x(x y)   i) 5x2  5xy 10x 10y 

k) 4x2 8xy 3x 6y  l) 2x22y x z z y z 2 2   2 

3 Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x2  xz 9y 2 3xyz b) x3 x2 5x 125

c) x32x2  6x 27 d) 12x3 4x2 27x 9

4 Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x4  25x220x 4 b) x (x2 2 6) x 29

c) ab(x2y ) xy(a2  2b )2 d) x2  2xy 4z 2 y2

x y  x y xy x y   g) x2 2x 4y 2 4y h) x (1 x ) 4 4x2  2   2

5 Bài 5 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) (a b c)(ab bc ac) abc    

b) ab(a b) bc(b c) ac(a c)    

c) (a b)(a 2 b ) (b c)(b2   2 c ) (a c)((c2   2 a )2

x (y z) y (z x) z (x y)    

Lời giải

a) (a b c)(ab bc ac) abc a(ab bc ac) (b c)(ab bc ac) abc            

2

a b abc a c (b c)(ab bc ac) abc (a b a c) (b c)(ab bc ac)

a (b c) (b c)(ab bc ac)

2

(b c) (a ab) (bc ac)

(b c) a(a b) c(b a) (b c)(a b)(a c)

b) ab(a b) bc(b c) ac(a c)     ab(a b) bc(b c) ac (a b) (b c)        

ab(a b) bc(b c) ac(a b) ac(b c)

a(a b)(b c) c(b c)(b a) (b c)[a(a b) c(b a)]

(b c)(a b)(a c)

c) (a b)(a 2 b ) (b c)(b2   2 c ) (a c)((c2   2 a )2

(a - b )(a - c) (a - c )(b - a)

(a b)(a

(a b)(a c)[a b a c]

(a b)(a c)(b c)

x (y z) y (z x) z (x y)    

x (y z) y [(z y) (x y)] z (x y)

x (y z) y (z y) y (x y) z (x y)

(y z)(x y)(x y) (x y)(y z)(y z)

(x y)(y z)[(x y) (y z)]

(x y)(y z)(x z)

IV PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

A DẠNG 1 : Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử : 2

ax bx c

Phương pháp:Có rất nhiều cách phân tích đa thức dạng này thành nhân tử nhưng có hai cách đơn giản nhất để phân tích đa thức trên thành nhân tử một cách dễ nhất

1) Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai)

Từ đa thức ta phân tích : ax2bx c ax  2b x b x c1  2  sao cho nó thoả mãn:

1 2

1

2













1 2







Các bước giải:

Bước 1: Tính tích ac

Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên

Bước 3: Chọn hai số có tổng bằng b

2) Cách 2: (Tách hạng tử thứ nhất, hoặc thứ ba)

Cách này tách ra nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức (thường là hiệu của hai bình phương)

1 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 4x2 8x 3

b) 3x2 8x 4

Lời giải

a)Cách 1:

Bước 1: Nhận thấy a.c = 12

Bước 2: Phân tích ac = 2.6 = (-2).(-6) = 3.4 = (-3).(-4) = 1.12 = (-1).(-12)

Bước 3: Sau đó nhận xét cặp số có tổng bằng -8 Từ đó: b = -8 = (-6) +(-2)

Phân tích thành nhân tử:

2

4x  8x 3 4x2 6x 2x 3 

2

2x(2x 3) (2x 3) (2x 3)(2x 1)

Cách 2:

* Tách hạng tử thứ ba :

2

2

4x 8x 4 1

(2x 2) - 1

(2x 1)(2x 3)

*Tách hạng tử thứ nhất :

2

8x(2x 1) 3(4x 1)

(2x 1)(8x 3(2x 1))

(2x 1)(2x 3)

2 Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

c) 8x210x 3 d) x25x 6

e) 2

8x  2x 1

3 Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2x2 5xy 27y 2 b) 2x2 5xy 3y 2

9x  9xy 4y

Phương pháp giải: Dạng trên : ax2bxy cy 2ta cũng giải tương tự như dạng:

2

ax bx c Ta có :ax2bxy cy 2 ax2b xy b xy xy1  2  2trong đó :

1 2

1 2









B DẠNG 2 : Phân tích đa thức bậc ba trở lên thành nhân tử

Phương pháp: Với đa thức bậc 3 trở lên tuỳ theo đặc điểm các hệ số ta có cách

tách riêng cho phù hợp.

1 Bài 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 x 2

x 3x y 9xy 5y

c) x35x23x 9

Giải

A x3  x 2 x3   1 x 1

2

2

2

x 3x y 9xy 5y x  y 3x y 3xy 5y  5xy

2

2

x(x y)(x y) 3xy(x y) 5y (x y)

(x y)[x(x y) 5y(x y)]

(x y)(x y)(x 5y) (x y) (

c) x35x23x 9 x  3 1 5x2 5 3x 3 

2

2

2

2

(x 1)(x 3)

V PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

A LÝ THUYẾT :



1 Định lí Bê – du :

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a đúng bằng f(a)

2 Hệ quả định lí Bê – du :

Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho x – a

Đặc biệt :

+) Nếu x = a là nghiệm của f(x) thì f(a) = 0

+) Nếu tổng các hệ số đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) chứa nhân tử x -1

+) Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) chứa x – 1

+) Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) chứa thừa số x + 1

+) f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do a0

B BÀI TẬP

1 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x3 x2 4

x  5x 8x 4

c) x3 5x23x 9

4x  13x 9x 18

e) x32x 3

f) 3

x  7x 6

g) x3 9x26x 6

3x  7x 17x 5

i) x35x28x 4

2 Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x35x28x 4

b) x3 9x26x 16

c) x3 x2 4

d) x3 x2 x 2

e) x3x2 x 2

f) x3 6x2 x 30

g) 2x3 x23x 3

VI PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

A LÝ THUYẾT

1.1 Một số dạng biểu thức thường gặp :

+) (x a)(x b)(x c)(x d) m     với a +d = b + c

+) Dạng đối xứng : ax4bx3cx2bx a

Phương pháp giải : Đặt y = x2 + (a + b)x

1.2 Đa thức đưa về dạng cơ bản : a3b3c3 3abc

B BÀI TẬP

1 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

(x  3x 1)  12(x  3x 1) 27 

b) (x2x)2 2(x2x) 15

x 2xy y  x y 12 

2 Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử:

(x  x 1)(x  x 2) 12

b) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24    

(x  2xy y ) 3x 3y 4   

d) (12x2 12xy 3y ) 10(2x y) 8 2   

(x a)(x 2a)x 3a)(x 4a) a    

f) (x2y2z )(x y z)2   2(xy yz zx)  2

g) x(x 4)(x 6)(x 10) 128   

h) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 15    

2(x y z ) (x y z )  2(x y z )(x y z) (x y z)    

3 Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 3 3 3

A (a b)  (b c) (c a)

b) B (a b 2c)   3(b c 2a)  3(c a 2b)  3

C (a b c)    4(a b c ) 12abc

4 Bài 4 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A (x  2x)(x  2x 1) 6 

b) B (x 24x 3) 2 5x(x24x 3) 6x  2

C (x  x 4) 8x(x  x 4) 15x

d) D 2(x 2 6x 1) 25(x2 6x 1)(x 21) 2(x 21)2

5 Bài 5

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A (a b c)   (a b c)  (b c a)  (c a b) 

b) Chứng minh :

(x y z)   x  y  z 3(x y)(y z)(z x)  

VI PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

A PHƯƠNG PHÁP:

- Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện hiệu của hai bình phương

- Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện thừa số chung

B BÀI TẬP

1 BÀI 1 Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện hiệu của hai bình phương)

e) x4324

Giải:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) x44y4 x44x y2 2 4y4 4x y2 2

b) x464 x 416x264 16x 2

c,d,e) Tương tự phần a, b

2 Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử : (Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất

hiện thừa số chung).

a) x7x51 b) x8x41

c) x7x21 d) x8 x 1

e) x10x51 f) x5x41

Giải a) x7x5 1 x7x6x5 x61

2 5 3

b) Thêm bớt

x x  1 x  x x x 1

c) x7x2 1 x7 x x 2 x 1

d) x8  x 1 x8 x2x2 x 1

e)

f)

Tổng quát:

- Đa thức dạng x3m 1  x3n 2  1

  luôn chứa thừ số x2  bằng cách thêm bớtx 1

2

x , x

3m 1 3n 2 3m 1 3n 2 2 2

2

(x x 1)( )

- Đa thức dạng x2k xk  luôn chứa thừ số 1 x2  x 1

2k k 2k 2 k 2

3 Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử:

3 3 3

a)x y z  3xyz

b) a6a4a b2 2b4 b6

x 3xy y  1

d) 3(x4x21) (x 2  x 1)2

Giải

3 3

2 2 2

b)

2 4 2 2

b

)









c)

3

2 2

d)

VII PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

A PHƯƠNG PHÁP:

Hai đa thức là đồng nhất khi và chỉ khi mội hệ số của đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức phải bằng nhau

B BÀI TẬP

1 BÀI 1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

A x  3x 6x  5x 3

Giải

Phương pháp : Nhận thấy hệ số của hạng tử có bậc 4 lớn nhất là 1 nên ta nhận định ta

phân tích thành 2 đa thức bậc 2; hạng tử có bậc nhỏ nhất có hệ số bằng 3 nên hai đa thức bậc hai có hệ số là 1 và 3 hoặc -1 và -3 Vì vậy ta có phân tích thành hai thức số :

x ax 1; x bx 3 Hoặc là hai thừa số 2 2

x ax-1; x bx 3

TH1:

Hệ số của hạng tử cùng bậc hai vế phải bằng nhau nên ta có :

ab 4 6

 





 





Giải hệ phương trình tìm được : a = -1, b = -2

TH2:

ab 4 6

 









Vô nghiệm

Vậy đa thức A được phân tích như sau :

x  3x 6x  5x 3 (x - x 1)(x    2x 3)

BÀI 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

4

VII PHƯƠNG PHÁP HOÁN VỊ VÒNG QUANH (PP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG)

Phương pháp :

Xác định các thừa số chứa biến của đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể

để xác định thừa số Nhận xét vai trò các biến như nhau từ đó ta phân tích được đa thức :

BÀI 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) Q a 3b3c3 3abc

P a (b c) b (c a) c (a b)     

Giải

Giả sử phân tích F(a, b,c) a 3b3c3 3abcthành nhân tử trong đó vai trò a, b, c như nhau