HD HS giai toan phan tich da thuc thanh nhan tu nham phat huy tinh tich cuc hoc tap cua HS

cho các em nhằm bồi dỡng cho chất lợng mũi nhọn của nhà trờng.Song song với việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách đadạng nh vậy là việc cập nhật các phơng tiện dạy học hiện đạigi

I.Phần mở đầu.

I.1Lý do chọn đề tài

Năm học 2007-2008 là năm thứ sáu thực hiện chơng trình sáchgiáo khoa mới Sau 6 năm thực hiện tôi nhận thấy sách giáo khoaviết theo chơng trình mới đã có sự cảI tiến rất tốt cho việc họccủa học sinh và việc dạy của giáo viên Yêu cầu học sinh cần chủ

động nắm kiến thức mới Giáo viên đóng vai trò chủ đạo tronggiờ học nên việc đổi mới phơng pháp trong dạy học là rất quantrọng Việc đổ mới phơng pháp dạy học theo yêu cầu của sáchgiáo khoa mới theo t tởng: “ Tích cực hoá hoạt động học tập củahọc sinh, khơi dậy và phát triển năng lực tự học , nhằm hìnhthành cho học sinh t duy tích cực, sáng tạo, nâng cao năng lựcphát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiếnthức vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lạiniềm tin, hứng thú cho học sinh” Để đạt đợc mục tiêu đó đòi hỏingời giáo viên phải thể hiện rõ phơng pháp dạy học theo hớng đổimới Đó là cách thức hoạt động của giáo viên trong việc chỉ đạo,

tổ chức các hoạt động học tập giúp cho học sinh phát hiện kiếnthức mới và nắm chắc kiến thức của bài trong từng giờ học

Qua thực tế giảng dạy với đối tợng học sinh đại trà, con em chủyếu là các gia đình kinh doanh, buôn bán nhỏ ít có thời gianquan tâm đến việc học của con em mình Các em học sinh cha

ý thức đợc việc tự học cho mình nên kiến thức ở các lớp dới và cáckiến thức cũ còn hổng nhiều Bên cạnh đó số học sinh khá giỏi lại

đòi hỏi một sự tìm tòi để nâng cao năng lực t duy và kiến thức

cho các em nhằm bồi dỡng cho chất lợng mũi nhọn của nhà trờng.Song song với việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách đadạng nh vậy là việc cập nhật các phơng tiện dạy học hiện đạigiúp học sinh hứng thú hơn trong quá trình học tập Tất cảnhững việc làm này đòi hỏi một sự cố gắng nỗ lực rất lớn ở mỗigiáo viên từ khâu soạn, giảng cho đến việc bồi dỡng chuyên mônnâng cao tay nghề Trong quá trình giảng dạy tôi luôn cố gắnglựa chọn phơng pháp giảng dạy và sử dụng các phơng

tiện dạy học sao cho phù hợp với từng tiết dạy, từng phân môn, nghiên cứu kĩ nội dung của bài để tìm ra cách truyền thụ dễ hiểu nhất cho học sinh,giúp các em luôn hứng thú khi học bộ môn Toán

Trong nội dung đề tài này tôi xin trình bày một số kinh nghiệmcủa mình về vấn đề: Hớng dẫn học sinh giải toán phân tích đathức thanh nhân tử nhằm phát huy tính tích cực học tập của họcsinh

I.2 Mục đích nghiên cứu

Trong chơng trình đại số lớp 8 khi tính toán các phép tính đốivới các đa thức nhiều khi việc biến đổi đa thức thành tích là rấtquan trọng Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc áp dụngvào một loạt các dạng toán nh:

- Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên.

- Tìm giá trị của biến để biểu thức có GTLN,GTNN

Để giúp học sinh có đợc kĩ năng tốt nhất trong việc phân tíchcác đa thức thành nhân tử nhằm giải quyết tốt các bài toán trêntôi đã đặt ra cho mình mục tiêu rõ ràng khi dạy phần phân tích

đa thức thành nhân tử là: làm thế nào để phát huy tốt tínhtích cực của học sinh thông qua việc giải toán phân tích đa thứcthành nhân tử

I.3 Thời gian-Địa điểm

- Thời gian:cả năm học 07- 08

- Địa điểm: lớp 8C2 & 8C3- Trờng THCS Mạo Khê II

I.4 Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn

II Phần nội dung.

II.1 Chơng 1: Tổng quan

Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Ngoài 3 phơng pháp cơ bản:

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đảng thức

- Nhóm hạng tử

Trong sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phơng pháp: tách mộthạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử Ngoài ra ta còn có thể sử dụng một số phơng pháp khác: Đặt ẩn phụ( đổi biến), hệ số bất định,xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau do đó khi giảng dạy ngời giáo viên phảI giúp học sinh có kĩ năng lựa chọn phơng pháp phù hợp với từng bài tập Đó chính là việc rèn luyện trí lực, phát triển t duy toán học cho học sinh Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần bồi dỡng thêm cho học sinh các phơng phap ngoài sách giáo khoa Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi giúp các em lựa chọn phơng pháp thích hợp

để giảI quyết các bài toán khó

Trong nội dung vấn đề nghiên cứu tôi đa ra hai mục tiêu lớn:

+ Bài toán rút gọn biểu thức

+ Bài toán giải phơng trình

+ Bài toán giải bất phơng trình

+ Bài toán chứng minh tính chia hết

I.2 Chơng 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu

II.2.1 Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.2.1.1 Các phơng pháp cơ bản.

VD: a) 5x2y - 10xy2 = 5xy( x - 2y)

b) 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) = 4x(2y - z) – 7y(2y - z)

-Các hằng đẳng thức : Bình phơng một hiệu và hiệu các bình phơng học sinh thờng rất hay nhầm lẫn với nhau, cần có sự so sánh để khắc sâu cho học sinh

VD: a) 25x2 - 16y2 = (5x + 4y) (5x - 4y)

b)(x+y)2 +2(x+y)(2m-n) +4m2-4mn+n2 = (x+y)2n) +(2m-n)2

=(x + y + 2m - n)2

II.2.1.1.3 Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.

-Ap dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng và phép trừ để phân tích đa thức thành nhân tử :

AC – AD + BC - BD = A(C - D) + B(C - D)

=(A + B)(C - D)

-Hoặc nhóm các nhóm hạng tử sao cho xuất hiện các hằng đẳng thức bình phơng một tổng, bình phơng một hiệu ,hiệu hai bình phơng…

VD : a)3xy + x +15y + 5 =(3xy + x)+(15y + 5)

Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm ba hạng tử cuối của

đa thức và đa vào trong dấu ngoặc đằng trớc có dấu trừ để phân tích đa thức bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức 2

= 2x(2x - 1) - 3( 2x - 1)

= (2x - 3)(2x - 1)

b) x2- 6x – 8

Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng

pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới Ap dụng phântích tam thức ax2 +bx + c thành nhân tử ta làm theo các bớc nh sau :

B1 : Tìm tích a.c

B2 : Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

Trong trờng hợp tam thức a x2 + bx + c có b là số lẻ hoặc a không

là bình phơng của một số nguyên thì giải theo cách 2

Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức

=(x 2 + x + 6)(x2 + x -2)

=…………

=(x2 + x + 6)(x + 2)(x- 1)

*Chú ý : Tam thức bậc hai (x2 + x + 6) không phân tích đợc thànhnhân tử nữa ( trong phạm vi số hữu tỉ )

VD2:Phân tích đa thức:

4x(x + y) (y + x + z) (x + z) + y2z2

= 4x ( x + y + z ) (x + y) (x + z) + y2z2

= 4(x2 + y2 + xz)(x2 + xy + xz+ yz) + y2z2

Ta phải tìm bộ ba số a,b,c thoả mãn :

= +

30 19 0

ac

c ab

b a

Vì a,c∈Z tích ac=-30 do đó a,c∈{± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 15 , ± 30}

Với a=2 ; c= 15 khi đó b=-2 thoả mãn hệ trên Đó là một bộ số phải tìm

Nên : : x3- 19x -30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15)

VD2 :Phân tích đa thức : x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

Nếu đa thức đã cho phân tích đợc thành nhân tử thì phảI có dạng:

(x2+a x+b) (x2+c x+d) = x4 +( a + c)x3+ (ac + b + d)x2 +(ad + bc)x + bd

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có :

x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1= x4 +( a + c)x3+ (ac + b + d)x2 +(ad + bc)x + bd

Ta tách các hgạng tử của đa thức trên bằng cách tìm nghiệm của

đa thức Ta có a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 Vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức Ta lu ý rằng nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x2+bx+c –ac = -4 tức a phải là ớc của -4

TQ : trong đa thức với hệ số nguyên , nghiệm nguyên nếu có phảI

là ớc của hạng tử không đổi

Ước của -4 là ± 1 , ± 2 , ± 4.Kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức

Nh vậy đa thức chứa nhân tử x-1 do đó ta tách các hạng tử của

đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Cách 1 : x3 +3x2- 4 = x3 - x2+ 4x2 - 4

2 2

3 3

2

− + +

−

− +

−

x x

x x

x x

x

a.Rút gọn A

b Tính giá trị của A với x = 998

c Tìm giá trị của x để A > 1

Đ ờng lối giải Dựa trên tính chất cơ bản của phân số phân tích

tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn nếu xuất hiện nhân tử

chung đồng thời tìm ĐKXĐ của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dới mẫu Với học sinh : Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phơngpháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn

Giúp cho học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức

để phát triển trí thông minh

II.2.2.2 Bài toán giải phơng trình:

Đ ờng lối giải Đối với các phơng trình từ bậc hai trở lên việc áp

dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quantrọng vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng

trình tích : A(x) B(x) = 0 ⇔A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

x x

II.2.2.3 Bài toán giải bất phơng trình:

Đ ờng lối giảI Với các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất

ph-ơng trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn đa các đa thức tử

và mẫu thành nhân tử rất quan trọng khi đa bất phơng trình vềdạng bất phơng trình tích : A.B > 0 hoặc A.B < 0 hay bất phơngtrình dạng tổng quát

x x

x

>( )( ) ( 2)( 3)

3 2

x x

( 2)( 3)

6 2 3 4

− +

−

−

⇔

x x

x x x x

x x

>0

= (x – 4)(3x - 2)

Vậy bất phơng trình trên tơng đơng với : (x – 4)(3x – 2 > 0

Lập bảng xét dấu tích ta có : x<-2/3 hoặc x>4

II.2.2.4 Bài toán chứng minh về chia hết.

Đ ờng lối giảI Biến đổi đa thức đã cho về dạng tích trong đó

có xuất hiện thừa số có dạng chia hết

VD :

• Chứng minh rằng : Với ∀x∈Z ta có biểu thức :

P = ( 4x+3)2 – 25 luôn chia hết cho 8

Phân tích P = ( 4x+3)2 – 25 = 8(2x-1)( x+1) chia hết cho 8Vậy P chia hết cho 8

• Chứng minh rằng biểu thức :

A =

6 2

2n+ n2 +n3

Ta có n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp vì vậy có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 , một thừa số chia hết cho 3 mà ( 2, 3)

= 1 nên tích này chia hết cho 6

Vậy ∀n ∈Z thì A chia hết cho 6

• Kết luận : Trên đây là 4 dạng bài tập áp dụng kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn một số bài tập khác( không điển hình,ít gặp)

có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử Với

tử học sinh đợc rèn luyện, củng cố phơng pháp t duy tổng hợp

II.3 Chơng 3: Phơng pháp nghiên cứu – Kết quả nghiên cứu.

II.3.1 Phơng pháp nghiên cứu.

- Hệ thống hoá kinh nghiệm

- Quan sát

- Trắc nghiệm

- Thực nghiệm

II.3.2.Kết quả nghiên cứu :

Sau quá trình áp dụng việc làm trên vào hai lớp toán mà tôi trực tiếp giảng dạy các đối tợng học sinh khá giỏi có khả năng làm các bài tập nâng cao áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử rát tốt, với học sinh đối tợng đại trà các em cũng có một

kĩ năng làm các bài tập vận dụng kiến thức cơ bản rất thành thạo

Cụ thể kết quả môn Toán của hai lớp tôi dạy các bài kiểm tra Đại số chơng 1,2,3,4 nh sau :

III Phần kết luận – Kiến nghị.

Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lốn trải suốt chơng trình đại số 8 và 9 ở bậc THCS, nó có liên quan tới việc kết hợp với các phơng pháp khác tạo nên sự logic chặt chẽ của toán học Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó Từ đơn giản

đến phức tạp giúp cho học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có

hệ thống các kĩ năng , kĩ xảo phân tích Qua đó giúp cho học sinh hiểu sâu hơn và phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ , tính chính xác, năng lực nhận xét , phân tích , phán đoán , tổng hợp kiến thức

Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển t duy của học sinh qua việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Chắc chắn sẽ còn nhiều vấn đề cần bổ sung Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn.

Mạo khê ngày 30.4.2008.

Ngời viết :

Nguyễn Thị Thu Thuỷ

IV Tài liệu tham khảo – Phụ lục

IV.1.Tài liệu tham khảo

1.Toán bồi dỡng học sinh lớp 8

3 Để học tốt Toán 8 tập 1, 2.

4 Ôn kiến thức- Luyện kĩ năng đại số 8

IV.2 Phụ lục

I.Phần mở đầu Trang 1

II Phần nội dung Trang 3

II.1 Chơng 1: Tổng quan

II.2 Chơng 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu

II.3 Chơng 3: Phơng pháp nghiên cứu – Kết quả nghiên cứu

III Phần kết luận – Kiến nghị Trang 15

IV Tài liệu tham khảo – Phụ lục Trang 16

IV NhËn xÐt cña H§KH cÊp trêng,phßng GDDT