Chuyen de phan tich da thuc thanh nhan tu

Ph ơng pháp đặt nhân tử chung a Phơng pháp : + Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức.. a Phơng pháp: Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi cá

Trang 1

A Phân tích đa thức thành nhân tử

I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1 Ph ơng pháp đặt nhân tử chung

a) Phơng pháp :

+ Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của

đa thức

+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác

+ Đa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc Các hạng tử trong dấu ngoặc

là thơng của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung

b) Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

1) A = 5x2y – 10xy2

2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2

– z)

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Q = (x + 2z)(3x2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x)

P = 3a(b2 – 2c) – (a – 4)(2c – b2)

H = 3xmy – 9xny2 + 15xn+1 với m, n N, m > n

2 Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức.

a) Phơng pháp:

Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất

hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể) Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử

b) Ví dụ :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) D = x2 – x + 1

4

2) E = 9(x + 5)2 – (x +7)2

3) F = – x3 + 9x2 – 27x + 27

4) G = 8 – 27a3b6

M = 1 2  2

81

25 x y

N = 6  6  4  2 2  4

Trang 2

K = 6 

1

x .

3) Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử:

a)Phơng pháp:

Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các

đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích

L u ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau

b)Ví dụ :

1) x2 – xy + x – y

2) x2 - 2xy - z2 + y2 + 2zt – t2

3) 9 – x2 + 2xy – y2

E = 3x3 – 75x + 6x2 – 150

x a b c x ab ac bc x abc

G = x y ( 2  z2)  y z ( 2  x2)  z x ( 2  y2).

4 Ph ơng pháp phối hợp các ph ơng pháp.

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp, ta nên chú ý chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau :

B ớc 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung

hay không?

 Có nhân tử chung: áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với

b-ớc 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng

 Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bớc 2

B ớc 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng

ph-ơng pháp hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bớc 3

B

ớc 3: Dùng phơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng

đẳng thức hoặc nhân tử chung

b) Ví dụ :

1) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

2) 2a2 – 12ab + 18b2

3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2

3n 12n 27 3m

Trang 3

K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

7a c 14a c 7ac    28c  7ac 28  .

5 Ph ơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng

đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp

b) Ví dụ:

Ví dụ 1:

Phân tích: x2 – 6x + 8

T ổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau:

+ Tìm tích ac

+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách + Chọn hai thừa số có tổng bằng b.

Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất.

Ví dụ 2: 4x2 – 4x – 3

Ví dụ 3: 3x2 – 8x + 4

Ví dụ 4: x2 – 5x + 6

H = x2 – 21x + 38

I = x4 + 5x2 – 14

K = x2 + 4x – 21

6 Ph ơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).

Trong một số bài toán, ta nên đa một biến phụ vào để việc giải bài toán đợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích

b) Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

Trang 4

3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2

Giải :

1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

Đặt x2 + x + 1 = y  x2 + x + 2 = y + 1

f(x) = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3)

= (y – 3)(y + 4)

Thay y = x2 + x + 1 , ta đợc:

f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)

Đến đây ta phân tích tiếp:

x2 + x – 2 = x2 – x + 2x – 2

= x(x – 1) + 2(x – 1)

= (x – 1)(x + 2)

x2 + x + 5 = x2 + x +

5

Vì

2

1

2

x 

Và x2 +x + 5 không thể phân tích đợc nữa

Kết quả: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5)

2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24

= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 24

Đặt y = x2 + 5x + 4  x2 + 5x + 6 = y + 2 và ta đợc: h(x) = y(y + 2) – 24

= y2 + 2y – 24

= y2 - 4y + 6y – 24 = y(y – 4) + 6(y – 4)

= (y – 4)(y +6) Thay y = x2 +5x + 4 , ta đợc:

h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10)

= x(x + 5)(x2 + 5x + 10) Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)

3) g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2

= 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2

= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2

Đặt : x2 + xy + xz = m, ta có:

g(x) = 4m(m + yz) + y2z2

= 4m2 + 4myz + y2z2

= ( 2m + yz)2

Thay m = x2 + xy + xz, ta đợc :

Trang 5

g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2

= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

Kết quả: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n

= b thì ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trờng hợp này

a, b, c nguyên thì trớc hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt

đối của m và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b

 Đa thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c

Cách giải: đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*)

Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử

A = 6  4  2 

B = ( x2  x ) 14(  x2  x ) 24 

7 Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

a) Phơng pháp :

Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thờng hay đa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt

b) Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

2) x5 – 1

3) 4x4 + 81

4) x8 + x4 + 1

Giải:

Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng Vì vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các phơng pháp phân tích đã biết

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

Trang 6

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – 1

Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phơng pháp nhóm:

x5 – 1 = x5 – x + x – 1

= (x5 – x) + (x – 1)

= x(x4 – 1) + ( x – 1)

= x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x+1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1]

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng đẳng thức:

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2

= ( 2x2 + 9)2 – (6x)2

= (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)

4) x8 + x4 + 1

Ta sẽ thêm và bớt x4 sau đó nhóm các hạng tử sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích tiếp:

x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 – x4 = (x4 + 1)2 – x4

= (x4 + 1 – x2)(x4 + 1 + x2)

=(x4 – x2 + 1)(x4 + 2x2 – x2 + 1)

=(x4 – x2 + 1)[(x2 + 1)2 – x2 ]

=( x4 – x2 + 1)(x2 + 1 + x2)(x2 + 1 – x2)

= (x4 – x2 + 1)(2x2 + 1)

Khai thác bài toán:

Bằng phơng pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán t ơng

tự nh sau:

M = x4 + 4y4

N = x4 + x2 + 1

P = (1 + x2)2 – 4x(1 + x2)

II BàI TậP Tự LUậN

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph ơng pháp đặt

nhân tử chung:

a) 3x(x – 2y) + 7(2y – x)2

b) 2ab3 + 6a2b – 14ab

c) 5x(y – 3)2 – (3 – y)3

d) – 3xmy + 9xn+1y3 – 15xny với m,n N, m > n

Trang 7

e) 1   1 2 

x(y 1) x y(y 1)

f) (4x – 8)(x2 + 6) – (4x – 8)(x + 7) + 9(8 – 4x)

g) 3x5y2 + 18x3y2 - 12x3y7

h) 7xy5(x – 1) – 3x2y4(1 – x) + 5xy3(x – 1)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng

hằng đẳng thức:

a) (x – y + 1)2 – (x – y + 1) + 1

4 b) 27x3 – 1

8 c) (a + b)3 – (a – b)3

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) 64x6y4 – 81x2y2

f) 25m2 – (x – 1)2

g) x3 – 3x2 + 3x – 1

h) 64x3 + 27

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm

nhiều hạng tử:

a) 2  2  2   

ax bx cx ax bx cx

b) x2 + 4x - y2 + 4

c) 10ay – 5by + 2ax – bx

d) a2m – b2m + a2n – b2n

e) m3 + 4m2 – 9m -36

f) 3x3 + 6x2 – 75 x – 150

g) 5x2 – 5xy – 3x + 3y

h) x2 – xz – 9y2 + 3yz

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách

hạng tử:

a) A = 4x2 - 8x + 3

b) B = 15x2 – 31x + 2

c) C = 12x2 - 15x + 3

d) D = x2 + 5x + 6

e) E = x2 – 5x + 14

f) F = x2 – 3x – 2

g) G = a2 – 7ab + 10b2

h) H = 4  3  2  

x x 6x 5x 5.

Trang 8

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn

phụ:

a) f(x) = (x2 – 3x -1)2 – 12 (x2 – 3x – 1) + 27

b) g(x) = ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + 2

c) h(x) = x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 4

d) k(x) = (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – y) + 8

e) l(x) = (x2 – 2x)(x2 – 2x -1) – 6

f) p(x) = (x2 + 4x – 3)2 – 5x(x2 + 4x – 3) + 6x2

g) q(x) = (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp thêm

bớt:

a) 4x4 + y4

b) 8 1



 x

x

c) x4 + 5x3 +10x - 4

d) 7 2 1



 x

x

e) x3 + y3 + z3 - 3xyz

f) x4 + 64

g) 10 5 1



 x

x

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất

định:

a) f(x) = 4  3  2  

x 6x 11x 6x 1

b) g(x) = 4  3  2  

x x 2x 11x 5

c) h(x) = x2 + 3x + 2

d) k(x) = x4 - 3x3 + 6x2 - 5x + 3

Bà

i 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tìm

nghiệm:

a) A = 2x3 – 5x2 + 3x + 10

b) B = x5 + 1

c) C = x3 + 3x2 - 4x + 2

d) D = x4 + 4x2 – 5

B

à i 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp phối hợp

các phơng pháp :

a) 3ab3 – 6a2b2 + 3a3b

b) 2    2

c) x3 2x2  x xy2

d) 3 2  

x 4x 12x 27

Trang 9

e)  1 3

64

f) x2 – 2xy + y2 – xz + yz

h) 4  3 2  

x x 6x 5x 5

i) a(b2 – c2) – b(c2 – a2) + c(a2 – b2)

k) 3 3 2

x 2y 3xy

III Bµi tËp tæng hîp

Bµi 1:

a) x y xy2  2 x z xz2  2 y z yz2  2 2xyz

b) 8x (y z) y (z 2x) z (2x y)3   3   3 

c) (x y z)  3 x3 y3  z3

d) x16  1

e) x6 y6

Bµi 2 :

x3 – 7x – 6

Bµi 3.

a) f(x) =5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2

b) g(x) = x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

c) h(x) = 2x4 + 7x3 – 2x2 – 13x + 6

d) k(x) = 27x4 – 9x3 + 14x2 – 4

e) l(x) = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

f) m(x) = x6 + 27

g) n(x) = x4 + 3x2 + 4

h) p(x) = (x + 2)(x + 3 )(x + 4)(x + 5) – 24

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	192,5 KB