Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x5 + y5 - ( x + y )5; Bài 2:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
g(x) = ( ) ( ) ( )
5 5
x - y + y - z + z - x 5
Bài 3:
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Giải ph-ơng trình:
( x - 6 )4 + ( y - 8 )4 = 1 6
Bài 4:
Giải ph-ơng trình:
( x2 + 3 x - 4 )3 + ( 2 x2 - 5 x + 3 )3 = ( 3 x2 - 2 x - 1 )3 . Bài 5:
Chứng minh rằng:
a) 9 9 94 9 9 9 có tận cùng 3 chữ số 0 b) 4 95 4 9 chia hÕt cho 100.
Bài 6:
Cho x và y là hai số khác nhau sao cho: x2 - y = y2 - x .
Tính giá trị của biểu thức A = x2 + 2 x y + y2 - 3 x - 3 y
Bài 7:
a) Chứng minh rằng:
3 3 3 3
( x + y + z ) - x - y - z = 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )
b) Phân tích đa thức thành nhân tử:
3 3 3 3
M = ( a + b + c ) + ( a - b - c ) + ( b - c - a ) + ( c - a - b )
Bài 8:
Chứng minh rằng: x2 0 0 2 + x2 0 0 0 + 1 chia hết cho x2 + x + 1. Bài 9:
Chứng minh rằng n4 + 6 n3 + 1 1 n2 + 6 n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.
Bài 10:
Cho a + b + c = 0 và a b + b c + c a = 0
Tính giá trị biểu thức T = ( a - 1 )1 9 9 5 + b1 9 9 5 + ( c + 1 )1 9 9 5
Bài 11:
Cho x + y = A ; x2 + y2 = B ; x3 + y3 = C ;
Chứng minh rằng biểu thức M = A 3 - 3 A B + 2 C không phụ thuộc vào x , y .
Bài 12:
Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1 .
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
TÝnh T = a4 + b4 + c .4
Bài 13:
Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a) a3 + a c - a b c + b c + b2 2 3 = 0
b) ( a2 + b2 + c )2 2 = 2 ( a4 + b4 + c )4
Bài 14:
Chứng minh rằng :
a) Đa thức x9 5 + x9 4 + x9 3 + . . . . + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức
3 1 3 0 2 9 2
x + x + x + . . . + x + x + 1 .
b) Đa thức x1 0 - y1 0chia hết cho đa thức:
4 3 2 2 3 4
x - x y + x y + x y + y . Bài 15:
Xác định số hữu tỷ a để đa thức M = x1 9 9 5 - a x1 9 9 4 + a x - 1 chia hết cho đa thức ( x - 1 )2.
Bài 16:
Cho x > y > z, chứng minh rằng biểu thức:
A = x ( y - z ) + y ( z - x ) + z ( x - y )4 4 4 luôn luôn d-ơng.
IV. H-ớng dẫn giải
Bài tập tổng hợp
Bài 1:
a) HD : Nhãm ( x y + x y ) + ( x z2 2 2 + y z ) + ( x z + y z + 2 x y z )2 2 2
§S: (x + y)(y + z)(z + x).
b) HD: Đặt y + z = (x + 2z) – ( 2z – y)
§S: (x – 2y)(2x + z)(y + z)(2x + y – z).
c) áp dụng HĐT: (A B )3 A3 3 A B2 3 A B2 B3
A3 B3 3 A B ( A B ) .
§S: 3(x + y)(y + z)(z + x).
d) áp dụng HĐT: (A2 B2 ( A B ) ( A B )
§S: (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1).
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
e) áp dụng HĐT :A3 B3 ( A B ) ( A2 A B B )2
§S: ( x2 + y ) ( x2 2 + x y + y ) ( x2 2 - x y + y )2 . Bài 2:
Cách 1: Sử dụng ph-ơng pháp tìm nghiệm:
+ Nhẩm nghiệm thấy – 1 là nghiệm của đa thức
=>đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x + 1.
+ Nhẩm nghiệm đ-ợc – 2 là một nghiệm
=> đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x + 2.
+ Nhẩm nghiệm đ-ợc 3 là một nghiệm
=> Đa thức có thể viết thành một tích có chứa nhị thức x– 3.
Cách 2: Sử dụng thêm bớt cùng một hạng tử ta có.
x3 – 7x – 6 = x3 – x2 + x2 – x – 6x – 6
=> Hoặc x3 – 7x – 6 = 7x3 – 7x – 6x3 – 6
Cách 3: Sử dụng ph-ơng pháp tách, ta có các cách tách đa thức nh- sau:
x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6 Hoặc x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14.
Hoặc x3– 7x – 6 = x3 – 7x – 7 +1 Hoặc x3 – 7x – 6 = 7x3 – x – 6x – 6
Hoặc x3 – 7x – 6 = x3 – 27 – 7x + 21.
Bài 3:
a) f(x) =5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2
Tr-ớc hết ta đặt thừa số chung, sau đó nhóm các hạng tử để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tục phân tích
§S : f(x) = 5(x – y -2z)(x – y + 2z)
b) g(x) = x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Tr-ớc hết ta sẽ nhóm các hạng tử sao cho phù hợp, sau đó dùng hằng đẳng thức để phân tích, xuất hiện nhân tử chung ta đặt nó ra ngoài làm thừa số chung.
§S: g(x) = (x + y)(x + y – 1)(x + y + 1) c) h(x) = 2x4 + 7x3 – 2x2 – 13x + 6
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Tr-ớc hết ta tách 13x = 7x + 6x, sau đó nhóm các hạng tử một cách phù hợp sẽ xuất hiên thừa số chung và đạt thừa số chung đó ra ngoài và tiếp tục phân tích ta sẽ có một đa thức đã đ-ợc phân tích:
§S: h(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(2x – 1).
d) k(x) = 27x4 – 9x3 + 14x2 – 4
Dùng ph-ơng pháp tách các hạng tử để đặt nhân tử chung e) l(x) = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
Dùng ph-ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng
đẳng thức
f) m(x) = x6 + 27
áp dụng hằng đẳng thức g) n(x) = x4 + 3x2 + 4
Dùng ph-ơng pháp thêm bớt cùng 1 hạng tử để xuất hiện hằng
đẳng thức
h) p(x) = (x + 1)(x + 2 )(x + 3)(x + 4) - 24 HD: Nhân ra sau đó đặt ẩn phụ:
=(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 Đặt t = x2 + 5x + 4
§S: x(x + 5)(x2 + 5x + 10).
Bài 4.
a) f(x) = x4 - 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 4
Thấy x4 có hệ số là 1, nên f(x) = (x2 + ax + b)2
Khai triển ra và sử dung ph-ơng pháp đồng nhất hệ số để tìm ra a, b.
§S: f(x) = (x2 – x -2)2
b) g(x) = x4 + 2 x3 - 2 3 x2 - 2 4 x + 1 4 4
T-ơng tự câu a.
§S: g(x) = (x2 + x – 12)2 Bài 5.
a) f(x) = x3 - 9x2 + 26x – 24
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Do f(x) có số hạng bậc cao nhất x3 có hệ số là 1, nên có thể giả
sử f(x) = (x + a)(x2 + bx + c).
Đồng nhất hệ số ta thu đ-ợc kết quả:
f(x) = (x – 2)(x – 3)(x – 4) b) g(x) = x4 – x3 – x2 + 2x – 2
Do g(x) có hệ số của số hạng bậc cao nhất là 1, hệ số tự do là – 2 nên ta viết đ-ợc:
g(x) = (x2+ ax – 2)(x2 + bx + c)
Đồng nhất hệ số ta thu đ-ợc kết quả:
g(x) = (x2 – 2)(x2 – x + 1).
Bài 6:
a) P = (y – 5)(x – 4), thay giá trị của x, y vào : P = (5,5 – 5)(14 – 4) = 0,5.10 = 5.
b) Q = ( x- 5)(x + y)
§S: Q = 130
c) H = (x -1)(x2 – 4x + 5) = (x – 1)[(x – 2)2 + 1]
§S: H = 40.
Bài 7:
áp dụng HĐT: (A + B )2 = A2 + 2 A B + B2
Khai triÓn P ta cã:
P = x4 + 2 x y2 2 + y4 + 2 y z2 2 + 2 x z2 2 + z4
= ( x2 + y )2 2 + 2 ( x2 + y ) z2 2 + z4 = (x2 y2 z )2 2.
VËy P = 102 = 100.
Bài 8.
Xét tr-ờng hợp x = 4 => ( x + b )( x + c ) = – 7.
Từ đó suy ra: 4 + b = 1 và 4 + c = – 7 Hoặc 4 + b = – 1 và 4 + c = 7.
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Bài 9.
Nhân (x + a )( x + b )( x+ c ) ta đ-ợc x3 + ( a + b +c ) x2 + ( ab + bc +ac ) x +abc
Từ đó ta có: a = a + b + c b = ab + bc +ac c = abc.
Bài 10:
áp dụng định lý Bơdu:Tìm f(–1)và f(3)và xét xem có giá trị nào bằng 0 hay không.Từ đó suy ra kết luận.
Bài 11.
a) Biến đổi:10x2 – 7x + a = 10x2 – 15x + 8x – 12 + 12 + a = 5x.(2x – 3) + 4.(2x – 3) + (12 + a)
=> 12 + a = 0
b) 2x2 + ax +1 chia cho x – 3 d- 4
=> f(3) = 4 hay 3a +19 = 4
c) áp dụng đinh lý Bơdu ta sẽ có f(1) = 0. Từ đó tính a.
Bài 12.
Vì ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2 nên đa thức có nghiệm là – 2.
VËy ta cã – 8a + 4b + c = 0 (*) Mặt khác, ta có ax3 + bx2 + c= (x2 – 1). q(x) + 5
Víi x =1 => a + b + c = 6 (* *) Víi x = –1 => –a + b + c = 4 (* * *) Giải hệ 3 ph-ơng trình trên ta tìm đ-ợc a, b, c.
Bài 13:
HD: Phân tích vế chứa ẩn của các ph-ơng trình để đ-a về ph-ơng tr×nh tÝch
a) (x – 3)(x + 6) = 0 x = 3 hoặc x = – 6 b) (4x + 1)(2x + 7) = 0
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
1 x = -
4
hoặc x = - 7 2
c) x(x – 6)(x – 5) = 0
x = 0 hoặc x = 6 hoặc x = 5.
Bài 14.
MTC: a - b b - c c - a Ta cã:
- 1 1 1
- -
a - b c - a a - b b - c b - c c - a
b - c + c - a + a - b
=
a - b b - c c - a
( a, b, c đôi một khác nhau ) VËy A = b - c + c - a + a - b
a - b b - c c - a = 0.
Bài 15.
2 2
2 2
x y x y x + y
B = x + - x :
x - y x + y x - y
2 2 2 2
2 2
4 2 2
2 2 2 2
x - x y + x y x y - x - x y x + y
= :
x - y x + y x - y
- x x - y
= .
x - y x + y
VËy B
4
2 2
- x
=
x + y
. Bài 16:
Đặt y = x2 + 1, ta có:
A =y4 + 9 y3 + 2 1 y2 - y - 3 0
= ( y - 1 ) ( y + 2 ) ( y + 3 ) ( y + 5 )
2 2 2 2
A = x ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ³0 với mọi giá trị của x.
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Bài 17:
B = x4 - 4 x3 - 2 x2 + 1 2 x + 9
= ( x4 - 4 x3 + 4 x ) - ( 6 x2 2 - 1 2 x ) + 9
= ( x2 - 2 x ) - 6 ( x2 2 - 2 x ) + 9
= (x2 - 2 x - 3 )2 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) 2 .
Với x Z thì B là bình ph-ơng của một số nguyên.
Bài 18:
Ta cã: 5 n3 + 1 5 n2 + 1 0 n = 5n(n + 1)(n + 2).
Vì n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 5 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 0 . Bài 19:
a) C = (x + y + z)(xy + yz + xz).
b) Vì x , y, z là số nguyên và (x + y + z )6 nên C 6 .
Lại do (x + y + z ) 6 vì thế trong 3 số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn x y z 2 3 x y z 6 .
C - 3 x y z 6 . Bài 20:
Ta cã: D = n ( n3 2 - 7 ) - 3 6 n2
= ( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
D luôn chia hết cho 3, cho 5, cho 7. Mà các số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên D ( 3 . 5 . 7 ) = 1 0 5 D 1 0 5 .
Một số bài tập nâng cao.
Bài 1:
f(x) = x5 + y5 - ( x + y )5;
5 5 5 4 3 2 2 3 4 5
3 2 2 3
2 2
2 2
= x + y - ( x + 5 x y + 1 0 x y + 1 0 x y + 5 x y + y )
= - 5 x y ( x + 2 x y + 2 x y + y )
= - 5 x y ( x + y ) ( x - x y + y ) + 2 x y ( x + y )
= - 5 x y ( x + y ) ( x + x y + y ) .
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Bài 2:
Ta cã:
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 5 3 3 2 2
a + b = a + 5 a b + 1 0 a b + 1 0 a b + 5 a b + b
= a + b + 5 a b a + b + 1 0 a b a + b
Đặt : a = x y , b = y – z , c = z – x .
5 5
a + b + c = 0 a + b = - c a + b = - c
Mặt khác, ta có:
3 3 3 3
a + b = a + b - 3 a b a + b = - c + 3 a b c
5 5 3 2 2 5
5 5 5 2
a + b + 5 a b - c + 3 a b c + 1 0 a b - c = - c a + b + c = 5 a b c c - a b
V× thÕ , ta cã:
5 5
5
2 2 2
A = x - y + y - z + z - x
= 5 x - y y - z z - x x + y + z - x y - y z - z x
VËy:
5 5
5
2 2 2
x - y + y - z + z - x
= 5 x - y y - z z - x x + y + z - x y - y z - z x
Bài 3:
Đặt x - 7 = y , ph-ơng trình trở thành:
( y + 1 )4 + ( y - 1 )4 = 1 6
Rút gọn ta đ-ợc:
4 2
2 y + 1 2 y + 2 = 1 6
4 2
4 2
y + 6 y + 1 = 8 y + 6 y - 7 = 0
Đặt a = y2 , a > 0, ta có: a2 + 6a - 7 = 0
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
( a - 1 ) ( a + 7 ) = 0
a = 1
a = - 7
Víi a =1, ta cã y2 = 1 y = ±1. Từ đó x1 = 8; x2 = 6.
Với a = - 7 < 0 (loại).
VËy S = {8; 6}
Chú ý: Khi giải ph-ơng trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c, ta th-ờng đặt ẩn phụ
2
a b
y x .
Bài 4:
Đặt u = x2 + 3 x - 4 ; v = 2 x2 - 5 x + 3 u + v = 3 x2 - 2 x - 1 .
Ph-ơng trình đã cho có dạng:
u3 + v3 = ( u + v )3
Mặt khác ta lại có:
u3 + v3 = ( u + v )3 - 3 u v ( u + v )
Nên ( u + v )3 - 3 u v ( u + v ) = ( u + v )3
3 u v ( u + v ) = 0 .
u = 0 hoặc v = 0 hoặc u + v = 0
x2 + 3 x - 4 = 0 hoặc 2 x2 - 5 x + 3 = 0 hoặc 3 x2 - 2 x - 1 = 0 .
Giải ba ph-ơng trình trên, tìm đ-ợc bốn nghiệm của ph-ơng trình
đã cho là: x = 1 ; x = 3 ; x = - 4 ; x = - 1 .
2 3
Bài 5:
a) 9 9 94 9 9 9 =9 9 9 ( 9 9 93 1) 9 9 9 ( 9 9 9 1) ( 9 9 92 9 9 9 1)
=1 0 0 0 . 9 9 9 ( 9 9 92 9 9 9 1) có tận cùng 3 chữ số 0.
b) 4 95 4 9 = 4 9 ( 4 94 1 ) 4 9 . ( 4 92 1 ) ( 4 92 1 )
= 4 9 . ( 4 92 1 ) ( 4 9 1 ) ( 4 9 1 )
= 4 9 . ( 4 92 1 ) . 2 4 . 1 0 0 1 0 0 4 95 4 9 1 0 0 .
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Bài 6:
Ta cã: x2 - y = y2 - x x2 - y2 + x - y = 0
( x y ) ( x y 1) 0
Vì x y nên x y 1 0 x y 1 .
2 2 2
A = x + 2 x y + y - 3 x - 3 y = ( x + y ) - 3 ( x + y )
A ( 1)2 3 ( 1) 4
Bài 7:
a) ( x + y + z )3 - x3 - y3 - z3 = ( x + y ) + z3 - x3 - y3 - z3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2
= ( x + y ) + z + 3 z ( x + y ) ( x + y + z ) - x - y - z
= x + y + 3 x y ( x + y ) + z + 3 z ( x + y ) ( x + y + z ) - x - y - z
= 3 ( x + y ) ( x y + x z + y z + z )
= 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) .
b) M = ( a + b + c )3 + ( a - b - c )3 + ( b - c - a )3 + ( c - a - b )3
Ta đặt:
x = a + b - c ; y = c + a - b ; z = b + a - c ; x + y + z = a + b + c .
VËy A = ( x + y + z )3 - x3 - y3 - z3 = 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )(theo c©u a)
A = 3 ( b + c - a + c + a - b ) ( c + a - b + b + a - c ) ( b + a - c + b + c - a )
= 3 . 2 c . 2 a . 2 b = 2 4 a b c .
Bài 8:
2 0 0 2 2 0 0 0
x + x + 1 = ( x2 0 0 2 - x ) + ( x2 0 0 0 - x ) + ( x2 2 + x + 1 )
2 0 0 1 2 1 9 9 8 2
3 6 6 7 2 3 6 6 6 2
= x ( x - 1 ) + x ( x - 1 ) + ( x + x + 1 )
= x ( x ) - 1 + x ( x ) - 1 + ( x + x + 1 )
Vì ( x )3 6 6 7 - 1 x 3 - 1 , ( x )3 6 6 6 - 1 x 3 - 1 nên
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
3 6 6 7 3
( x ) - 1 x - 1 và ( x )3 6 6 6 - 1 x 3 - 1chia hết cho x2 + x + 1.
VËy x2 0 0 2 + x2 0 0 0 + 1 chia hÕt cho x2 + x + 1.
Bài 9:
Ta cã: A =n4 + 6 n3 + 1 1 n2 + 6 n =n ( n3 + 6 n2 + 1 1 n + 6 )
3 2 2
2
2
= n n + n + 5 n + 5 n + 6 n + 6
= n n ( n + 1 ) + 5 n ( n + 1 ) + 6 ( n + 1 )
= n ( n + 1 ) ( n + 5 n + 6 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
Ta thấy A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp, trong đó phải có hai số chẳn liên tiếp 2k; 2k + 2; ( k N )
Mà 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) M 8 (vì k và k + 1 phải có một số chẵn).
Vậy A M8. Mặt khác A M3 ; ( 3 , 8 ) = 1 A M( 3 , 8 ) A M2 4 .
Bài 10:
Ta cã ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 ( a b + b c + c a )
Mà a b c 0 và a b b c c a 0
2 2 2
1 9 9 5 1 9 9 5 1 9 9 5
a + b + c = 0 a = b = c = 0 . T = ( - 1 ) + 0 + 1 = 0 .
Bài 11:
Ta cã
3 2 2 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
M = ( x + y ) - 3 ( x + y ) ( x + y ) + 2 ( x + y )
= ( x + y ) ( x + y ) - 3 ( x + y ) + 2 ( x - x y + y )
= ( x + y ) ( x + y + 2 x y - 3 x - 3 y + 2 x - 2 x y + 2 y ) = ( x + y ) . 0 = 0
Bài 12:
T = a4 + b4 + c .4
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
= ( a + b + c ) - 2 ( a b + a c + b c )
= ( a + b + c ) - 2 ( a b + b c + c a ) - 2 a b c ( a + b + c )
Ta có a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1 .
Và có:
2 2 2 2
2 2 2
2 ( a b + b c + c a ) = ( a + b + c ) - ( a + b + c ) = - ( a + b + c ) = - 1
1 b + b c + c a = -
2
Do đó T = 1 - 2 . 1 = 1 .
4 2
Bài 13:
a) a3 + a c - a b c + b c + b2 2 3
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2
= ( a + b ) + c ( a - a b + b )
= ( a + b ) ( a - a b + b ) + c ( a - a b + b )
= ( a - a b + b ) ( a + b + c )
Mà a + b + c = 0
( a2 - a b + b ) ( a + b + c )2 = 0 a3 + a c - a b c + b c + b2 2 3= 0.
b) Tõ a + b + c = 0 b + c = - a
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
4 4 4 2 2 2 2
( b + c ) = a b + 2 b c + c = a a - b - c = 2 b c
( a - b - c ) = 4 b c
a + b + c = 2 a b + 2 a c + 2 b c
a + b + c + a + b + c =
= 2 a b + 2 a c + 2 b c + a + b + c 2 ( a + b + c ) = ( a + b + c )
Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó
Bài 14:
a) Ta cã:
9 5 9 4 9 3 2
6 4 3 1 3 0 2 9 2
3 2 3 1 3 0 2 9 2
3 1 3 0 2 9 2
3 1 3 0 2 9 2 6 4 3 2
x + x + x + . . . . + x + x + 1 =
= x ( x + x + x + . . . + x + x + 1 ) + + x ( x + x + x + . . . + x + x + 1 ) + + ( x + x + x + . . . + x + x + 1 )
= ( x + x + x + . . . + x + x + 1 ) ( x + x + 1 ) .
x9 5 + x9 4 + x9 3 + . . . . + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x3 1 + x3 0 + x2 9 + . . . + x2 + x + 1 .
b) x1 0 - y1 0=( x5 - y ) ( x5 5 + y )5
=( x5 - y ) ( x + y ) ( x5 4 - x y + x y3 2 2 + x y3 + y )4
x1 0 - y1 0M( x4 - x y + x y3 2 2 + x y3 + y ) .4
Bài 15:
Ta cã: x1 9 9 5 - a x1 9 9 4 + a x - 1
1 9 9 4 1 9 9 3 1 9 9 2 1 9 9 1
1 9 9 4 1 9 9 3 1 9 9 2 1 9 9 1
= ( x - 1 ) ( x + x + . . . + 1 ) - a x ( x - 1 ) ( x + x + . . . + 1 )
= ( x - 1 ) x + x + . . . + 1 - a x ( x + x + . . . + 1 ) .
Vì M M( x - 1 )2 (theo bài ra)
x1 9 9 4 + x1 9 9 3 + . . . + 1 - a x ( x1 9 9 2 + x1 9 9 1 + . . . + 1) phải chia hết cho
(x – 1).
Đặt x1 9 9 4 + x1 9 9 3 + . . . + 1 - a x ( x1 9 9 2 + x1 9 9 1 + . . . + 1 )=(x – 1).g(x).
Đẳng th-c trên đúng với mọi x, nên với x = 1, ta có:
M = 1995 – a.1993 = 0
1 9 9 5 a =
1 9 9 3
.