ĐỀ THI HSG TOÁN 7_ĐỀ 11(Thứ 3_Ngày 26.1.2016)

Biết fx 5 với mọi số nguyên x.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 ĐỀ 11 (Thứ 3 -Ngày 26.1.2016)_Thời gian :120 Phút Họ và tên :

Bài 1 (4 điểm): 1) Tính giá trị của biểu thức: ( )

6

2 3 4 9

2 3 8 3

+ 2) Cho B = 2 2015 - 2 2014 – 2 2013 - - 2 – 1 Tính 2015 B.

Bài 2 (4 điểm):

1) Cho

2

3 4 3

4 2 4

2

3x− y = z− x = y− z

Chứng minh rằng :

4 3 2

z y x

=

= 2) Cho đa thức f(x) =ax 2 + bx + c với a, b, c là hệ số nguyên Biết f(x) 5 với mọi số nguyên x Chứng tỏ rằng a, b, c cũng chia hết cho 5.

Bài 3 (4 điểm):

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x− 2014 + 2015 −x khi x thay đổi.

2) Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7

−

−

n

n

có giá trị lớn nhất.

Bài 4 ( 6 điểm ): Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia

phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F Chứng minh rằng:

1) AE = AF 2) BE = CF 3)

2

AC AB

Bài 5: ( 2 điểm ) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:

5

1 y

1 x

1

= +

-Chú ý : Làm và nạp bài vào thứ 6 (Ngày 29.1.2016)

ĐÁP ĐỀ 11

1

a) ( )

6

2 3 4 9

2 3 8 3

+

2 3 2 3

2 3 2 3

−

=

+ ( )

( )

12 4

12 5

2 3 3 1

2 3 3 1

−

=

+

1 6

=

b)Ta có : 2B = 22016 − 22015 − 22014 − − − 22 2

⇔2B – B = 22016 −22015 −22015−22014 +22014 − − + − + + 22 22 2 2 1

⇔ B = 22016 −2.22015 + =1 22016−22016+ =1 1

⇒ 2015B = 2015

Vậy 2015B = 2015

2,0

2,0

2 a)

2

3 4 3

4 2 4

2

3x− y = z− x = y− z

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

z y x z

y

y x z

y

y x

z y x z y x z y x z y x

6 8 12 6

8

8 12 0

6 8

0 8 12

0 4

9 16

6 8 12 6 8 12 4

6 8 9

12 6 16

8 12

=

=

⇒







=

=

⇒







=

−

=

−

⇒

= +

+

− +

− +

−

=

−

=

−

=

−

1,0

4 3 2 24

6 24

8 24

12x = y = z ⇔ x = y = z (đpcm)

b) f(x) =ax2 + bx + c với a, b, c là hệ số nguyên

Vì f(x)  5 với mọi số nguyên x nên ta có f(0)  5 => c  5

Lại có : f(1)  5 => a + b + c  5 mà c  5 nên a + b  5 (1)

f(- 1)  5 => a – b + c  5 mà c  5 nên a – b  5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a  5 và b  5 Vậy a, b, c chia hết cho 5

0,5 0,5 0,5 0,5

3

a) + Nếu x < 2014 thì: A = - x + 2014 + 2015 – x = - 2x + 4029

Khi đó: - x > -2014 => - 2x + 4029 > – 4028+ 4029 = 1 => A > 1

+ Nếu 2014 ≤ x ≤ 2015 thì: A = x – 2014 + 2015 – x = 1

+ Nếu x > 2015 thì A = x - 2014 - 2015 + x = 2x – 4029

Do x > 2015 => 2x – 4029 > 4030 – 4029 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2014 ≤ x ≤ 2015

( ) ( ( ) ) 2(2 3)

5 2

7 3 2 2

5 3 2 7 3 2 2

8 7 2

− +

=

−

+

−

=

−

−

=

n n

n n

n A

Đặt B= 2(2 3)

5

−

n thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất

B lớn nhất khi 2n – 3 là số tự nhiên nhỏ nhất ⇔2n – 3 = 1 ⇔n = 2.

Vậy GTLN của A bằng 6 khi và chỉ khi n = 2

1,0

1,0 0,75

0,75 0,75 0,5

2 1

x

N M

K F

E

C B

A

a) - Xét ∆ANE và ∆ANF có :

·ANE= ·ANF = 90 0

AN chung

EAN· =FAN· (gt)

Suy ra : ∆ANE =∆ANF (g – c - g)

⇒ AE = AF (2 cạnh tương ứng)

b) - Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K

1đ 0,5đ 0,5đ

- Xét ∆BME và ∆CMK có :

MB = MC (gt)

BME CMK· = · (đối đỉnh)

·BEM =CKM· (so le trong)

Suy ra: ∆BME = ∆CMK (g – c - g)

⇒ BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1)

- Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: µE F=µ1

Mà: Fµ1 =Fµ2 (đối đỉnh) và E Kµ = µ (so le trong)

Suy ra: Fµ2 =µK

⇒ tam giác CFK cân tại C

⇒ CF = CK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm)

c) Ta có: AE = AB + BE

AF = AC – FC

Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC

Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC

⇒

2

AB AC

(đpcm)

0,25đ 0,5đ

0,5đ

0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

5 Do vai trò của x và y như nhau nên giả sử x ≥ y ta có:

0,5

5 y

nên

5

1

y

1 < > x ≥ y ≥ 1 nên

y

1 x

1 ≤

51 = x1 +1y ≤ 1y+1y = y2

5

1

y

2 ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ≤

Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thì giá trị của x không nguyên

y = 10 => x = 10

Vậy các giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = 6

x = 10, y = 10

x = 6, y = 30

0,5đ

0,5đ 0,5đ