081 đề thi HSG toán 7 trường hồng đà 2015 2016

PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG

TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7

NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi : TOÁN Câu 1 (3 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

2 13 2 65 3 11 3 5

b) Cho A   3 32 33 3 2015

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2 A 3 3n

Câu 2 (5 điểm)

a) Tìm các số , ,x y z biết rằng

  b) Tìm :x

2012 2013 2014 2015

x  x  x  x

c) Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 2016x

Câu 3 (5 điểm)

a) Cho

1 3

x A

x





 Tìm số nguyên x để Alà số nguyên

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

15 3

x B x





 c) Tìm số nguyên ,x y sao cho x2xy y 0

Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC M là trung điểm của , BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA .Chứng minh rằng:

a) AC EB và AC / /BE

b) Gọi I là một điểm trên AC K là một điểm trên EB sao cho ; AI  EK.Chứng minh

ba điểm , ,I M K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC H BC(  ).Biết HBE· 50 ,0 MEB· 250 Tính ·HEM và ·BME

Câu 5 (2 điểm)

Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC kẻ , ,, IM IN IP lần lượt vuông góc với

, ,

BC CA AB Chứng minh rằng: AN2 BP2 CM2 AP2 BM2 CN2

ĐÁP ÁN Câu 1.

a)

2 78 3 16

3 3 6

2 104 3 16

b) Tìm được n2010

Câu 2.

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2

2

x y z

 

 

       

Vì x y z      0 x y z 0,5 Thay kết quả này vào đề bài ta có:

2

tức là

2

Vậy

x y z  

)

2012 2013 2014 2015

2012 2013 2014 2015

b

x

2014 2014

0

x

x

 



Câu 3 a)

1

A

Để A là số nguyên thì x  là ước của 4,tức là 3 x     3  1; 2; 4

Vậy giá trị x cần tìm là: 1;4;16;25;49

b)

2

1

x

B



Ta có: x2  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0. x  0 x2   (2 vế dương)3 3

Vậy MaxB  5 x 0

c) Từ : x2xy y   0 1 2y 2x  1 1

Vì ,x y là các số nguyên nên 1 2y  và 2x là các số nguyên do đó ta có các trường1

hợp sau:

           

Vậy có 2 cặp số ,x y như trên thỏa mãn điều kiện đầu bài

Câu 4.

a) Xét AMC và EMB có: AM EM gt AMC EMB( );· · (đối đỉnh);BM MC gt( ) Nên AMC  EMB c g c( ) AC EB

Vì AMC  EMBMAC MEB·  · (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE) AC/ /BE.

b) Xét AMI và EMK có: AM EM gt MAI MEK( );· · (vì AMC  EMB)

AI EK gt  AMI  EMK c g c  AMI EMK

Mà ·AMI IME· 1800(tính chất hai góc kề bù)

· · 1800 , ,

c) Trong tam giác vuông BHE H µ 900

có ·HBE 500

· 900 · 900 500 400

HEM HEB MEB

Nên ·BME HEM MHE · · 150 900 1050(định lý góc ngoài của tam giác)

Câu 5.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có:

AN IA IN CN IC IN

 

Tương tự ta cũng có: AP2 BP2 IA2 IB2 2 ;MB2 CM2 IB2 IC2 3

Từ (1), (2), (3) ta có: AN2 BP2CM2 AP2 BM2 CN2