Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I.. b Tam giác MHI vuông cân.. Kẻ AH vuông góc với BC H thuộc BC.. Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D
Trang 1PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Tính: A = 13 2 8 19 23
b) So sánh: 16 20và 2 100
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm x biết: 2 7 1 11
x
b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 3 1 n 4.3n 13.3 5
Bài 3 (4,5 điểm)
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =
c b
a d b a
d c a d
c b d c
b a
x y z x y t y z t x z t
với x, y, z, t là các số
tự nhiên khác 0 Chứng minh 10
1025
Bài 4 (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M) Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I Chứng minh rằng:
a) BAM = ACM� � và BH = AI
b) Tam giác MHI vuông cân
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900 Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và � � 1 x 1, � � 1 y 1,
1 z 1
� � Chứng minh rằng đa thức x2 y4 z6 có giá trị không lớn hơn 2
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài
ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
a) 2,0 đ
+ Biến đổi: 7 47 47:
5 60 24
A
=7 2
5 5
= 1
1,0
0,50 0,50 b) 2,0 đ
+ Biến đổi: 16 20 2 4.20 2 80
+ Có 2 80 2 100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)
Vậy 16 20 2 100
0,5 1,0 0,5
a) 2,0 đ
+ Ta có 2 7 1 11
x => 2x 7 1
=> 2x 7 1 hoặc 2x 7 1
=> x 4 hoặc x 3
Vậy x 4 hoặc x 3.
0,5 0,5 0,5 0,5
b) 1,0 đ
+ Biến đổi được 3 (3n 1 4) 13.3 5
=> 3n 3 6
=> n = 6
KL: Vậy n = 6
0,25 0,25 0,25 0,25
a)
(2,5 đ)
+ Biến đổi:
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
2a b c d 1 a 2b c d 1 a b 2c d 1 a b c 2d 1
a b c d a b c d a b c d a b c d
+ Nếu a + b + c + d � 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4
+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4 + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d � 0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0
0,5
0,25
0,25 1,0 0,25 0,25
Trang 3(2,0 đ)
+ Ta có: x y z x x yx
x y t y x y y
y z t z z t z
t t
x z t z t
t z
t t z
z ( ) y x
y y x
x (
=> M < 2 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025
0,1
0,25
0,5 0,25
Bài 4
0,25
1.a/
2,75 đ
* Chứng minh: BAM� �ACM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)
+ Lập luận được: BAM� CAM� 45 0
+ Tính ra được �ACM 45 0
=> BAM� �ACM
* Chứng minh: BH = AI
+ Chỉ ra: BAH� �ACI (cùng phụ DAC� )
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
0,5 0,25 0,25 0,25
0,5 0,75 0,25
1.b/
2,0 đ
b) Tam giác MHI vuông cân
+ Chứng minh được AM BC
+ Chứng minh được AM = MC
+ Chứng minh được �HAM ICM�
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI (*)
+ Do HAM = ICM => HMA IMC� � => �HMB IMA� (do
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4�AMB �AMC 90 0
+ Lập luận được: HMI� 90 0 (**)
Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
0,25 0,25
2)
1,5đ
D
B
A
0,25
+ Chứng minh được :
AE ABC BAE HAD DAC BAE EAH HAD DAC EAC
(Vì �Bvà HAC� cùng phụ với BAH� )
Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE (*)
+ Tương tự chứng minh được AB = BD (**)
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
0,25
0,25 0,50 0,25
Bài 5.
2,0 đ
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu Giả sử x; y �0
=> z = - x - y �0
+) Vì � � 1 x 1, � � 1 y 1, � � 1 z 1 = > x2 y4 z6 �x y z
=> x2 y4 z6 �x y z
=> x2 y4 z6 � 2z
+) � � 1 z 1 và z �0 => x2 y4 z6 � 2
KL: Vậy x2 y4 z6 � 2
0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/