đề thi hsg toán 9

Lưu ý: Mọi đáp án đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm..[r]

THỊ XÃ HỒNG LĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017

PHẦN I GHI KẾT VÀO BÀI LÀM:

Câu 1: Tính giá trị biểu thức A biết A =

1 2 2 3 3 4  120 121

Câu 2: Cho hình vuông kích thước 4 x 4 được tạo từ 16

hình vuông nhỏ kích thước 1x1 vẽ bên :

a) Hỏi có bao nhiêu hình vuông?

b) Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật ?

Câu 3: Cho dãy số: 12, 5, 25, 29, 85, 89,

a) Tìm số tiếp theo

b) Tìm số thứ 2016 của dãy số trên

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC) Tính cạnh BC biết diện tích các tam giác AHB, AHC lần lượt là 54cm2 và 96cm2

Câu 5: Cho các số nguyên a, b, c biết a + b+ c = 20172106 Hỏi a3 + b3 + c3 chia 6 dư mấy?

Câu 6: Phương trình

1 6

x x





có nghiệm là:

Câu 7: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỷ số đồng dạng là 2 Khi đó tỷ số

diện tích của tam giác DEF và tam giác ABC là ?

Câu 8: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Biết AB = 4 2cm, CH = 4cm Tính

BC

Câu 9: Cho xy5 Giá trị nhỏ nhất của biết thức 2x23y2 bằng:

Câu 10: Hàm số bậc nhất y = ax + b đi qua 2 điểm M(1; 3) và N(2; 4) Tìm a và b?

PHẦN II

Câu 11:

a) Rút gọn biểu thức

 3  3

2

2

2 1

M

x



 

b) Giải phương trình

4

4 5 3 1

9

x

x  x  

Câu 12:

a) Tính tổng

4 1.3 8 3.5 12 5.7 240 119.121

Câu 13:

1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh:

a) BAC BOI ( với I là trung điểm của BC)

b) SinA SinB SinC  2 cos AcosBcosC

2 Cho  , là các góc nhọn thõa mãn:  900 Chứng minh

 

sin    sin osc cos sin  /

Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

PHẦN I (Mỗi câu 1,0 điểm)

Câu 1: A = 10

Câu 2: a) 12223242 30

b) 100

Câu 3: a) Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau là tổng bình phương các chữ số của số đứng trước nó : Do đó số hạng tiếp theo là: 145 =8292

b) 42

Câu 4: BC = 25 cm

Câu 5: Dư 1

Câu 6:

1 5

x 

Câu 7:

1

4

Câu 8: BC = 8 cm

Câu 9: 30

Câu 10: a = 1; b = 2

PHẦN II.

Câu 11

(4 điểm)

a) ĐKXĐ là   1 x 1

Ta có

2

1 1

 3  3    2

1x  1 x  1x 1 x 2 1 x

-Suy ra

2

1

x

 

b) ĐKXĐ

1 3

x 

Với điều kiện đó phương trình đã cho

4

4 5 3 1

9

x

x  x  

4 5 3 1 9 9

4 5 3 1

( vì

1 3

x 

nên x+ 4 >0) Nếu x 5 4x 5 3x 1 4.5 5  3.5 1 9  do đó nếu x 5 thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu

1

5 4 5 3 1 4.5 5 3.5 1 9

do đó nếu

1

5

3 x

  

thì phương trình (*) vô nghiệm

Dễ thấy x = 5 đúng Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5

Câu 12

(3 điểm)

a) Ta có :

4 1.3 3 1

2

1 3



8 3.5 5 3

2

3 5



240 119.121 121 119

2

119 121





Do đó 1 3 3 5 5 7 119 121 =

121 1 11 1

665

b) Từ giả thiết a b c2   b a c2   2016 a b c2    b a c2   0

         (vì a khác b)

Khi đó:2016a b c2   a ab ac(  ) a bc( )c ab( )c ac bc(  )c a b2(  ) Vậy M  c a b2    2016

Câu 13

(3 điểm)

N

M

2 1

x

O

B

A

(Hình 1) 1) (Hình 1) a) Vì tam giác ABC nhọn nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong tam giác ABC do đó tía AO nằm giữa hai tia AB và AC nên

BACA A

Kẻ tia Ox là tia đối của tia OA, Vì OA = OB = OC nên

Ox COx BOC

(1) Mặt khác: Do I là trung điểm của BC, OB = OC nên OI là tia phân giác của BOC

suy ra

 1

2

BOI  BOC

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra BAC BOI

b) Từ chứng minh trên ta suy ra OI BC và do đó ta suy ra

2

SinA SinBAC SinBOI

C A C BAC C BOI

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có : 2R R ;

; osC

2

Do đó: SinA SinB SinC  2 cos AcosBcosC

4

Thật vật: Áp dụng bất đẳng thức về 3 cạnh của các tam giác OMN, OIN, OMI

và đường trung bình của tam giác ABC ta có:

2 2.(

Cộng cùng chiều các bất đẳng thức trên ta được

4

(đpcm) 2)

K

B A

(Hình 2)

Vẽ tam giác ABC có BAC;BCA, vì  900nên tam giác ABC tù tại B (Hình 2)

Vẽ các đường cao AH, BK của tam giác ABC, vì tam giác ABC có B tù nên H nằm ngoài đoạn BC, K nằm giữa A và C Ta có ABH   

Ta có

 sin( ) AH

SinABH

AB

 

Do đó: sin sin os c  cos sin 

AH BC BK AK CK

AH BC BK AC

2S ABC 2S ABC

  (luôn đúng)

Do đó ta có điều phải chứng minh

Lưu ý: Mọi đáp án đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm