DE THI HSG TOAN 8

Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.[r]

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI

MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút Bài 1:( 4 điểm)

Cho biểu thức M = [ x2

x3− 4 x+

6

6 − 3 x+

1

x +2] : (x − 2+ 10− x2

x +2 )

a) Rút gọn M

b)Tính giá trị của M khi |x| = 12

Bài 2:(4 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x3 – 5x2 + 8x – 4

b) x11 x7  1

c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

d )(x2+x+1)(x2+x + 2 ) –12

Bài 3 : (4điểm )

a)Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 3xy2 10 và y3 3x y2 30

Tính giá trị biểu thức P = x2 y2.

b) Chứng minh rằng :Nếu

1 1 1

2

a  b c   và a + b + c = abc thì

2 2 2

2

a  b  c 

Bài 5) (6 điểm)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh DE + DF = 2AM

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N Chứng minh N là trung điểm của EF

c) Chứng minh S2

FDC  16 SAMC.SFNA Bài 6) ( 2 điểm)

Chứng minh a2

b2+

b2

c2+

c2

a2≥

a

c+

b

a+

c

b với mọi số a, b, c khác 0.

Đáp án và biểu điểm

Bài 1:

a) Rút gọn M

x3− 4 x+

6

6 − 3 x+

1

x +2] : (x − 2+ 10− x

2

x +2 ) = [ x2

x (x − 2)(x +2) −

6

3(x −2)+

1

x+2] : x +26

(x − 2)(x +2).

x +2

1

2 − x ( 2 điểm)

b)Tính giá trị của M khi |x| = 12

|x| = 1

2 hoặc x =

-1 2 Với x = 12 ta cĩ : M =

1

2 −1

2

=

1 3 2

= 32

Với x = - 12 ta cĩ : M =

1 2+1 2

=

1 5 2

= 52 ( 2 điểm)

Bài 2:

a) ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4

= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)

= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 1 điểm)

b) x11x7 = (x1 11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) + (x2+x+1)

= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm)

c) Ta cĩ : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm)

d) đặt y= x 2 +x +1 suy ra x 2 + x+ 2= y+1

ta được :M =y(y+1) – 12

=y 2 +y –12 =y 2 -3y +4y –12

=(y-3)(y +4)

Thay y =x 2 +x +1 Ta được :M =(9x 2 +x –2 )(x 2 +x+5)

=(x-1)(x+2)(x 2 +x+5) (1điểm)

Bài 3:

a) Ta có: x3 3xy2 10 => x3 3xy22 100

=> x6 6x y4 29x y2 4 100 và y3 3x y2 30 => y3 3x y2 2 900

=> y6 6x y2 49x y4 2 900 Suy ra: x6 3x y4 23x y2 4y6 1000 => x2y23 1000 x2y2 10 ( 2 điểm )

b) Ta có :

2

1 1 1

a b c  

4 2.a b c

 

2

a b c  ( 2 điểm) Bài 5 :

a : Lý luận được :

AM MC ( Do AM//DF) (1)

AM BM ( Do AM // DE) (2)

( MB = MC)  DE + DF = 2 AM ( 2,25điểm)

E

A

B F

b: AMDN là hình bành hành

Ta có

ND AB

ND AC MC BM AB



ND ND => NE = NF ( 2.25 điểm)

c:  AMC và  FDC đồng dạng



2

AMC FDC

 FNA và  FDC đồng dạng



2

FNA FDC

 



2

AMC FDC

2

FNA FDC



FDC FDC

2

ND FD

2

DM DC

4

1 16

   S2

FDC

 16 SAMC.SFNA ( Do x y 2  0 x y 2 4xy



x y 4 16x y2 2

với x 0; y 0) ( 1.5 điểm)

Bài 6:

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:

a2

b2+

b2

c2≥ 2√a2

b2.

b2

c2=2|a c|≥ 2 a

c

2

c2+c2

a2≥ 2b

c2

a2+a2

b2≥ 2 c b

Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm