Bài tập Chương 3 Góc với đường tròn - Hình học 9

Chứng minh AI là cạnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong (O; R). Tính độ dài cạnh AI theo R. d) Tính theo R diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ BC và dây BC.. Chứng minh[r]

1

Chương 3 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN



A - Góc ở tâm Số đo cung

1 Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn

 Số đo (độ) của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung

đó

 Số đo (độ) của cung lớn bằng 360 0 trừ đi số đo (độ) của cung nhỏ

 Số đo (độ) của nửa đường tròn bằng 180 0

2 Trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau):

 Hai cung bằng nhau nếu chúng có cùng số đo (độ)

 Trong hai cung, cung nào có số đo (độ) lớn hơn thì gọi là lớn hơn

3 Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: sđ AB = sđ AC + sđ CB

3.1 a) Từ 2 giờ đến 4 giờ thì kim đồng hồ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

b) Cũng câu hỏi như thế từ 6 giờ đến 9 giờ ?

3.2 Một đồng hồ chạy chậm 15 phút Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc

ở tâm là bao nhiêu độ ?

3.3 Hai tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M Tính số đo góc ở tâm AOB, số số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB Biết:

3.4 Hai tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M Biết AMB  70 0

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ)

3.5 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt nhau tại hai điểm A, B) Đường phân giác OBO cắt các đường tròn (O), (O) tại các điểm thứ hai theo thứ tự là C và D So sánh BOC và BO'D

3.6 Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB) Gọi C là điểm chính giữa của cung AB) Vẽ dây

CD dài bằng R Tính góc DOB

3.7 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt nhau tại hai điểm A, B) Dây cung AC của (O) vuông góc với AO, dây cung AD của (O) vuông góc với AO So sánh AOC và AO'D

3.8 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B) Hãy so sánh R và r nếu :

a) Số đo cung nhỏ AB của (O) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O)

b) Số đo cung lớn AB của (O) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O)

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau

3.9 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B) Hãy so sánh số đo hai cung nhỏ AB

của hai đường tròn nếu :

a) R > r b) R = r c) R < r

2

3.10 Trên một đường tròn (O) có sđAB 140  0, cung lớn AD nhận B làm điểm chính giữa, cung nhỏ CB nhận A làm điểm chính giữa Tính số đo các cung nhỏ CD, cung lớn CD

3.11 Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC (A   B C)

a) Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm tương ứng với các cạnh BC, CA, AB So sánh các góc ở tâm IOJ, JOK, KOI

BOC 90

2

  Tìm các công thức tương tự đối với các đỉnh B và C của

ABC rồi so sánh AOB, BOC, COA

c) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp ABC tại các góc BAC, CBA,

ACB So sánh các góc ở tâm BO C1 , CO A2 , AO B3

3.12 Cho 2 đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) Dây AB của (O; R) chứa dây AB của (O; r), dây CD của (O , R) chứa dây CD của (O; r) Chứng minh: nếu hai cung nhỏ AB, CD bằng nhau thì hai cung nhỏ AB và CD cũng bằng nhau

3.13 Cho ABC đều Gọi O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC

b) Tính số đo tạo bởi hai trong 3 điểm A, B và C

B - Liên hệ giữa cung và dây

1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng

nhau):

 Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

 Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng

nhau):

 Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

 Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

3 Trong một đường tròn hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì

 Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của

một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

3.14 Cho ABC có (AB > AC) Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho

AD = AC Vẽ (O) ngoại tiếp DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống

BC và BD (H  BC, K  BD)

a) C/minh: OH < OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

3

3.15 Cho đường tròn (O; r) với dây cung AB Gọi H là trung điểm của AB và I là điểm chính

giữa của cung AB (cung nhỏ hoặc cung lớn hoặc cung nửa đường tròn)

a) Chứng minh rằng ba điểm H, I, O thẳng hàng

b) Cho cung CD cũng nhận I là điểm chính giữa

Chứng minh : CD // AB hoặc CD  AB

3.16 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A, B Kẻ các đường kính AOC và AOD Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AC với (O)

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng

b) So sánh các cung nhỏ BC và BD

c) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD

3.17 Trên dây cung AB của một đường tròn (O), lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB)

Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F Chứng minh:

a) AE  FB b) AE  EF

Gọi E là điểm đối xứng với O qua tâm C => AEDO là hình bình hành

Ta có AE = OD < R (do D nằm trong đt nên khoảng cách tới O < bán kính) = OA

Trong ∆ AEO do AE < OA nên góc AOC = góc AOE < góc AEO = góc EOD (so le) = góc COD

Do đối xứng (hoặc tương tự) góc DOB = góc AOC < góc COD

3.18 Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ

CH  AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E Từ A kẻ AK  DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau

3.20 ABC có AM là trung tuyến, BH là đường cao

a) So sánh các cung nhỏ MH và MC của đường tròn đi qua ba điểm C, M, H

b) Trong trường hợp CH là đường kính của đường tròn (CMH), tính số đo HBC

O

E

4

3.21 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C và D chia nửa đường tròn thành ba

phần bằng nhau (C ở gần B hơn)

a) Tứ giác BCDO là hình gì ? Tính số đo các góc của tứ giác

b) Gọi I là điểm chính giữa của cung AD Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt OI ở E và cắt tia BD ở F Chứng minh: OCI  450 và OE = AF

3.22 Cho (O; R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (C  A, C  B) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cung nhỏ AC và CB Kẻ ND  AC (D  AC)

a) Chứng minh: ND là tiếp tuyến của (O)

b) Tính số đo (độ) của cung MN

c) Chứng minh: khi C di chuyển trên (O) thì MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

3.23 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B (R > r) Kẻ hai đường kính BOC và BOD của hai đường tròn này

a) So sánh số đo (độ) của hai cung nhỏ AC và AD

b) Lấy điểm M trên đoạn AC sao cho MA < MC Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt (O) ở N So sánh cung AN và cung CN

3.24 Cho ABC đều Ở miền ngoài của tam giác vẽ nửa đường tròn đường kính BC Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm M và N sao cho ba cung BM = MN = NC) Chứng minh rằng các đường thẳng AM và AN chia BC thành 3 phần bằng nhau

 Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

 Các góc nt cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau

 Góc nội tiếp (nhỏ hơn hay bằng 90 0 ) có số đo bằng nửa số

đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

2 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

a) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

b) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

3 Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn:

a) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng

số đo của hai cung bị chắn

b) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số

đo của hai cung bị chắn

3.25 Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Lấy một điểm M trên

cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với (O) tại M Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S Chứng minh: MSD = 2MBA

3.26 Từ một điểm T ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P là tiếp điểm) và cát tuyến

TBA đi qua tâm O của đường tròn (A và B thuộc (O), B nằm giữa O và T) Chứng minh:

0

BTP 2BPT   90

3.27 Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau Dây AE cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E

Chứng minh: AB2 = AD AE

3.28 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT và hai cát tuyến MAB

và MCD với đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)) Chứng minh: MA MB = MC MD =

MT2 = OM2 – R2

b) Qua điểm M ở bên trong đường tròn (O; R) kẻ hai dây cung AB và CD của đường tròn (O) (A, B, C, D  (O))

Chứng minh: MA MB = MC MD = R2 – OM2

3.29 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm trên cung nhỏ BC, MA cắt BC tại

D Trên AM lấy N sao cho MB = MN Chứng minh:

a) MBN đều b) BNA = BMC

c) AD AM = AB2 d) MA = MB + MC

6

e) MA + MB + MC  4R f) 1 1 1

MD  MB  MC

3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D Tia phân

giác BAC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D cắt AM ở I Chứng minh: DI  AM

3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R Các đường thẳng AB và CD

cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và D cắt nhau tại K Chứng minh: a) BIC  BKD b) BC là tia phân giác của KBD

3.32 Cho đường tròn tâm O, với M ở bên ngoài Kẻ các tiếp tuyến MA, MB và đường kính AC

của (O) Chứng minh: MO // BC

3.33 Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung CB có số đo bằng 450 Lấy một điểm M trên cung nhỏ AC rồi kẻ các dây MN, MP tương ứng vuông góc với AB và OC Tính số đo cung nhỏ NP

3.34 Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn Gọi P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của cung BC, CA, AB

a) Chứng minh: AP  QR

b) AP cắt CR tại I Chứng minh: CPI cân

3.35 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B Hai dây cung AC, BD của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm I và lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là C

và D Chứng minh: CD // CD

3.36 Cho góc xOy   và một độ dài l Hai điểm A, B di động trên hai cạnh tương ứng sao cho

độ dài AB luôn luôn bằng l Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp OAB

a) Chứng minh rằng IAB có chu vi không đổi

b) Tìm tập hợp điểm I

3.37 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại hai điểm A và B Qua A kẻ cát tuyến cắt các đường tròn (O), (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là C và D Tia BD cắt (O) tại điểm thứ hai M Các tia OB, BO lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là N và P So sánh:

a) ACB và BOO' b) CAM và PAN

3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Các tia AD,

BE, CF cắt (O) tại các điểm A, B, C Chứng minh:

a) AB, BC, CA lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HC, HA, HB

b) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF

c) ABC và DEF đồng dạng Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp DEF bằng nửa bán kính đường tròn (O)

3.39 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O) tại P Tia PB cắt (O) tại Q Chứng minh: AQ song song với tiếp tuyến tại P của (O)

3.40 Cho AOB và COD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R) Trên cung BC lấy

điểm F sao cho BF = R Trên cung BD lấy một điểm M Tiếp tuyến ở M gặp tia AB ở E Đường nối CM gặp AB ở S

a) Chứng minh: ES = EM

b) Gọi I là giao điểm của AB và DF Tính AID

c) Tính góc hợp bởi tiếp tuyến tại F với AC

7

3.41 Các đường thẳng chứa dây cung AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau tại E ở ngoài đường

tròn (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E) Biết CBE  75 0, CEB  22 0, AOD  45 0 Chứng minh: AOB  BAC

3.42 Cho đường tròn (O), AB và CD là hai dây cung song song với nhau (A và C nằm cùng phía

với BD) AD cắt BC tại I Chứng minh: AOC  AIC

3.43 Cho ABC vuông tại A Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D Tiếp tuyến tại D cắt AC ở

P Chứng minh: PD = PC

3.44 Cho 3 điểm A, B, C  (O), sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC ở D Tia phân giác của góc

ABC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D cắt AM ở I Chứng minh: DI  AM

3.45 Cho ABC cân tại A ( 0

A  45 ) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở D và

a) AHE là tam giác gì ? Giải thích

b) Chứng minh: EOH  ABE

3.48 Cho nửa đường kính AB Gọi K là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên cung AK,

N là một điểm trên dây cung BM sao cho BN = AM Chứng minh rằng:

a) MKN vuông cân và MK là phân giác ngoài của AMN

b) Khi K di chuyển trên cung AK thì đường vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định trên tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm B

3.49 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AH là đường cao của ABC và AD là đường kính của đường tròn (O) Chứng minh:

a) AB AC = AD AH

b) S ABC abc

4R

  , với a, b, c là độ dài các cạnh của ABC

3.50 Cho nửa (O), đường kính AB Kẻ một dây AC Gọi M là điểm chính giữa cung AC, OM cắt

AC tại H Từ C kẻ tia song song với BM, tia này cắt OM kéo dài tại D

a) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích

b) AM cắt CD tại K Chứng minh: KH  AB

3.51 Cho ABC vuông ở A có đường cao AH Hai đường tròn đường kính AB và AC có tâm là

O1 và O2 Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O1) và (O2) lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: MHN là tam giác vuông

8

b) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích

c) Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của O1O2, MN và BC Chứng minh: I cách đều 4 điểm

E, F, A và H

d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E di động trên đường nào ?

3.52 Cho ABC có đường phân giác trong AD, trung tuyến AM Vẽ đường tròn ngoại tiếp

ADM cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F

a) Chứng minh: BD BM = BE BA và CD CM = CF CA

b) So sánh BE và CF

3.53 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính HC Kẻ tiếp tuyến BK với (O) (K là tiếp điểm) Tính tỉ số giữa 2 cạnh AB và BK

3.54 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến

Bx, đường thẳng này cắt BC tại D Chứng minh:

a) AB2 = BC BD

b) AB là tiếp tuyến của đường tròn (ACD)

3.55 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy một cung CD có số đo

900 Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm của AD và BC Tính số đo AMB và

ANB

3.56 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 10cm, dây AC và tiếp tuyến Bx với đường tròn

Đường phân giác của góc BAC cắt dây BC tại F, cắt Bx tại D

a) Chứng minh: BFD cân

b) Cho biết AF = 8cm, tính độ dài AD

3.57 Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến gặp nhau tại A (B, C là tiêp điểm) Từ B kẻ dây BD

song song với AC Đoạn thẳng AD cắt (O) tại E, BE cắt AC tại K Chứng minh:

3.60 Cho (O ; R) có các bán kính OA và OB vuông góc với nhau, M là điểm chính giữa cung AB

Gọi C là giao điểm của AM và OB, H là hình chiếu của M trên OA

a) Chứng minh: BA = BC

b) Tính diện tích tứ giác OHMC theo R

3.61 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm D di động trên cung AC Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC) Chứng minh:

a) AFB  ABD b) Tích AE BF không đổi

9

3.62 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao vẽ từ B cắt (O) tại M, đường cao vẽ từ

C cắt (O) tại N MN cắt AB và AC lần lượt tại I và J Chứng minh:

a) AMN cân b) AI AB = AJ AC

3.63 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn A là điểm cố định trên

(O) và B là điểm cố định trên d Một đường tròn (O) bất kỳ đi qua A và B, đường tròn này cắt (O) tại C và cắt d tại E

a) Chứng minh khi (O) thay đổi, đường thẳng CE luôn luôn đi qua một điểm cố định K trên (O)

b) Đường thẳng BA cắt (O) tại F Chứng minh: FK // d

3.64 Cho đường tròn (O) dây cung AB M là một điểm trên tia đối của tia BA, kẻ các tiếp tuyến

MC và MD với đường tròn Phân giác ACB cắt AB ở E Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh rằng:

a) MC = ME

b) DE là tia phân giác của góc ADB

c) IM là tia phân giác của góc AID

10

D – C ung chứa góc – Bài toán quỹ tích

1 Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới

một góc  (0 0 < <180 0 ) không đổi là hai cung chứa góc  dựng

trên đoạn thẳng đó

2 Cách vẽ cung chứa góc 

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc  (00 <  <

180 0 ) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn AMB

- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc 

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax Gọi O là giao điểm của

Ay với đường thẳng d

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax

Cung AmB được vẽ như trên được gọi là cung chứa góc 

3 Cách giải bài toán quỹ tích:

Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất  là

một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận : Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình H

Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất  Kết luận : Quỹ tích các điểm M có tính chất  là hình H

(Thông thường với bài toán: “Tìm quỹ tích …” ta nên dự đoán

hình H trước khi chứng minh)

Xem thêm phần chuyên đề để biết thêm về phần này

3.65 Cho ABC có cạnh BC cố định và A=  không đổi Tìm quỹ tích (tập hợp) giao điểm của

ba đường phân giác trong tam giác đó

3.66 Cho nửa đường tròn đường kính AB C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo

dài lấy điểm D sao cho CD = CB

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

3.67 Dựng cung chứa góc 500 trên đoạn thẳng AB = 3,5cm

3.68 Dựng ABC, biết BC = 3cm, A = 450 và trung tuyến AM = 2,5cm

x

m m

11

3.69 Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn Trên bán kính

OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

12

E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn

1 Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ

giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

2 Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo của hai góc đối diện bằng

180 0

3 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0

 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện nó

 Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau

4 Hình thang nội tiếp được trong đường tròn là hình thang cân và

ngược lại

3.70 Cho ABC có 3 góc nhọn Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H Gọi I, J, K lần lượt

là trung điểm của BC, AC, AB Chứng minh:

a) Các tứ giác BFEC, ABDE, AFDC nội tiếp được

b) Các tứ giác AFHE, BFHD, CDHE nội tiếp được

c) Sáu điểm D, E, F, I, J, K cùng thuộc một đường tròn

3.71 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E Biết EA.EC = EB.ED Chứng minh: 4 điểm A,

a) Chứng minh: tứ giác CDEF nội tiếp được

b) Kéo dài MC và BD cắt nhau ở I, MD và AC cắt nhau ở K Chứng minh: IK // AB

3.73 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) và (O) lần lượt tại C và E Đường thẳng AO cắt (O) và (O) lần lượt tại D và F a) Chứng minh: tứ giác CDEF, ODEO nội tiếp được

b) Đường thẳng CD và đường thẳng EF cắt nhau tại M

Chứng minh: tứ giác MCBE nội tiếp

3.74 Cho ABC nhọn nội tiếp (O) có A = 450, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H a) Chứng minh: OA  EF

b) Chứng minh: điểm đối xứng của H qua BC thuộc đường tròn (O)

c) Tính tỉ số giữa hai cạnh EF và BC

d) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp DEF

e) Tìm điều kiện của BC để 4 điểm B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn