CÁC bài HÌNH TỔNG hợp góc với ĐƯỜNG TRÒn

Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O và M là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C và D.. Chứng minh tâm đường tròn ngo

Trang 1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Trang 2

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn

2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký

3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm

để tiện truy cập

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

Trang 3

BÀI TẬP

1. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Một góc vuông quay quanh O cắt Ax, By lần lượt tại C và D Hai đường thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

a. AC BD = R2

b. ΔCDE cân

c. CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/703/96614

2. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa

đường tròn. Trên Ax lấy điểm M sao cho AM = R√3. Vẽ tiếp tuyến MC (C là tiếp điểm) của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BC tại D. Gọi E là giao điểm của AD với OM, F là giao điểm của MC với OD

a. Chứng minh BD // OM

b. Các tứ giác OBDM, AODM là hình gì?

c. EF là tiếp tuyến của (O)

3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính AOC, AO’D. Đường thẳng AC cắt (O’) tại E. Đường thẳng AD cắt (O) tại F. Chứng minh:

a. Ba điểm C, B, D thẳng hàng

b. Tứ giác CDEF nội tiếp

c. A là tâm đường tròn nội tiếp của ΔBEF.

4. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC (B nằm giữa A và C) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh:

Trang 4

a. AT2 = AB AC

b. AB AC = AH AO

c. Tứ giác OHBC nội tiếp

5. Cho ΔABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ dây AD // BC. Tiếp tuyến tại

A và B của đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a. AIB =^

^

AOB

b. Năm điểm E, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn

c. IO ⊥IE.

6. Cho hình vuông ABCD. Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động

M và N sao cho CM = CN. Vẽ CF ⊥BN tại E (F ∈ AD).

a. Chứng minh tứ giác FMCD là hình chữ nhật

b. Chứng minh năm điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó

c. Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh ΔIBF vuông cân

d. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng

7. Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I (điểm B thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh:

a. Tứ giác ABCD là hình thang cân

b. Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB và COD bằng tổng diện tích hai hình quạt tròn AOD và BOC (các hình quạt tròn ứng với các cung nhỏ)

8. Cho ΔABC, AB = AC. Từ một điểm M trên cạnh BC kẻ MD/ /AB (D ∈ AC);

Trang 5

ME / / AC (E ∈ AB). Gọi N là điểm đối xứng với M qua DE. Chứng minh:

a. ΔBEN cân

b. Các tứ giác ADEN, ANBC nội tiếp

9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm chính giữa của cung

AB ( không chứa điểm C và D). Gọi giao điểm của MC và MD với AB lần lượt là E

và F, giao điểm của AD và MC là I, giao điểm của BC và MD là K. Chứng minh:

a.

^

CID =

^

CKD

b. Tứ giác CDFE nội tiếp

c. IK // AB

d. Giả sử ba điểm A, B, C cố định còn D di động trên cung ACB. Chứng minh tâm

đường tròn ngoại tiếp ΔAFD chuyển động trên một đường thẳng cố định.

10. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Qua A kẻ

đường thẳng d ⊥AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D, tia AM cắt (O) tại N (N ≠ M), tia DB cắt (O) tại P (P ≠ B). Chứng minh:

a. Tứ giác ABMD nội tiếp

b. Tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (O)

c. AD // NP

11. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cố định (B nằm giữa A và C). Một đường tròn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D (M nằm trên cung nhỏ BC). Tia AN cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là F. Hai dây

BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh:

a. Tứ giác DEFN nội tiếp

b. AD AE = AF AN

c. Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định

Trang 6

12. Cho ΔABC đều. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của BN và CM.

a. Chứng minh BN = CM

b. Đường tròn ngoại tiếp ΔOMN luôn đi qua một điểm cố định

c. Tìm quỹ tích điểm O

13. Trên đường tròn (O; R) cho dây cung BC cố định. Một điểm A di chuyển trên

cung lớn BC (A ≠ B, C). Hai đường cao AE và BF của ΔABC cắt nhau tại H (

E ∈ BC, F ∈ AC). Đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại I. Gọi K là hình chiếu

của O trên BC. Chứng minh:

a. Tứ giác ABEF nội tiếp

b. ΔABC ∼ ΔEFC

c. H và I đối xứng với nhau qua BC

d. Tỉ số AH

OK không đổi và H di chuyển trên một cung tròn cố định khi A di

chuyển trên cung lớn BC

14. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R. Lấy điểm A thuộc trên nửa đường tròn sao cho BA = R. Gọi D là chính giữa của cung BC. Vẽ các nửa đường tròn (O1) đường kính AB và nửa đường tròn (O2) đường kính CD ra phía ngoài

ΔABC và ΔDBC, chúng cắt AD lần lượt tại E và F.

a. Chứng minh BE // CF

b. ΔAEB, ΔAFC là các tam giác vuông cân

c. Tính diện tích các hình viên phân giới hạn bởi cung và dây AB, CD của nửa đường tròn (O) theo R

15. Cho ΔABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ dây AD // BC (AD <

Trang 7

Đường cao AH của ΔABC (H ∈ BC), kéo dài AH cắt (O) tại E.

a. Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp

b. Tính

^

MIO = ?

c.

^

BCE =

^

OCA

16. Cho đường tròn (O; R), đường kính ND. Lấy A sao cho N là trung điểm của

AO. Từ A ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Tia CN cắt AB tại điểm M. Chứng minh:

a. Tứ giác ABOC nội tiếp

b. MB2 = MC MN

c. AC // BD

d. Tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích hình thoi đó

17. Cho nửa đường tròn đường kính BC và một điểm A thuộc nửa đường tròn

đó. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng một phía với nửa đường tròn

đã cho các nửa đường tròn (I) và (K) có đường kính theo thứ tự là HB và HC, chúng cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Chứng minh:

a. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

b. Tứ giác BDEC nội tiếp

c. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

18. Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), ba đường cao AA’, BB’,

CC’ cắt nhau tại H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M. Gọi K là trung điểm của BC, đường thẳng AK cắt OH tại G. Chứng minh:

a. Năm điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn

b. Ba điểm A, O, D thẳng hàng, BM = CD

Trang 8

c. G là trọng tâm ΔABC.

19. Cho (O; R) và một dây cung BC của đường tròn sao cho BOC = 120^ 0. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC (M không trùng B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB tại E

và cắt AC tại F

a. Tính

^

EOF = ?

b. Chứng minh: ΔABC đều, tính chu vi ΔAEF

c. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp và các đường thẳng OM, EK, FI đồng quy

d. Chứng minh: ΔOIK ∼ ΔOFE và FE = 2KI.

20. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng đi qua

B và vuông góc với AB cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C, D khác điểm

B. Gọi E là điểm thuộc cung nhỏ BC của (O), đường thẳng BE cắt (O') tại điểm thứ hai là F. Hai đường thẳng CE và DF cắt nhau tại M. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và (O’)

a. Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp

b. Chứng minh BN // CM

c. Gọi K là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh K thuộc đường tròn cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC của (O)

21. Cho đường tròn (O; R) có AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F

a. Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật

b. Chứng minh ΔACD ∼ ΔCBE

c. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn

Trang 9

d. Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh:

S

1

+ S

2

= √S

22. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB,

M thuộc cạnh BC sao cho:

^ IEM = 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông )

a. Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Tính số đo của góc IME^

c. Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM

Chứng minh CK ⊥BN

23. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ

MI ⊥AB, MK⊥AC (I ∈ AB, K ∈ AC)

a. Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn

b. Vẽ MP ⊥BC (P ∈ BC). Chứng minh: MPK =^

^ MBC

c. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI MK MP đạt giá trị

lớn nhất

24. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại

I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:

a. BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn

b. AE AF = AC2

c. Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định

√ √

Trang 10

25. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy một điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ, cắt dây

AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K

a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp

b. Chứng minh CB CA = CK CD

c. Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh I của ΔAIB.

26. Cho ΔABC, ˆA = 900, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:

a. ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp

b. NM là tia phân giác của

^ ANI

c. BM BI + CM CA = AB2 + AC2

27. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M

a. Chứng minh ΔSMA ∼ ΔSBC.

b. Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB.Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD

c. Chứng minh: OK OS = R2

28. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại

D (D khác B)

Trang 11

a. Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh

^ ADE =

^ ACO

c. Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH

29. Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là

đường kính của hai đường tròn (O) và (O′)

a. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b. Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′) tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một

đường tròn

c. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O′) thứ tự tại M và N Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất

30. Cho ΔABC, ˆA = 900. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S

a. Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác của

^ BCS

b. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng

BA, EM, CD đồng quy

c. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp ΔADE.

31. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo BD tại P. Tia còn lại cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q

a. Chứng minh 5 điểm E, P, Q, F, C cùng thuộc một đường tròn

b. Chứng minh S ΔAEF = 2S ΔAQP

Trang 12

c. Kẻ đường trung trực của cạnh CD cắt AE tại M. Biết

^

CPD =

^

CMD, tính

^

MAB = ?

32. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F

a. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I

b. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn

c. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)).

Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ

33. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K ≠ T). Đặt OB

= R

a. Chứng minh OH OA = R2

b. Chứng minh TB là phân giác của

^

ATH

c. Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của

đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ΔTED cân.

d. Chứng minh HB

HC =

AB AC Xem lời giải tại:

34. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn

BC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE

a. Chứng minh rằng: DE // BC

b. Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	599,15 KB