Báo cáo sáng kiến Kỹ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong chương II Đường tròn-hình học 9

PHÒNG GD & ĐT BẢO THẲNGTRƯỜNG THCS SƠN HÀ CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Sơn Hà, ngày 05 tháng 01 năm 2012 Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp cơ sở Tên tôi

PHÒNG GD & ĐT BẢO THẲNG

TRƯỜNG THCS SƠN HÀ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sơn Hà, ngày 05 tháng 01 năm 2012

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp cơ sở

Tên tôi là: Nguyễn Thị Kim Thúy

Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1980 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Hà Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm Chuyên ngành: Toán - Lý

Các điều kiện chủ yếu công nhận sáng kiến:

Chuyên đề “Kĩ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong

chương II: Đường tròn - hình học lớp 9”

A- M« t¶ gi¶i ph¸p

Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở lên dễ ràng hơn, thuận lợi hơn Thậm chí có những bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra được lời giải của bài toán Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn gọn và đây là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ

Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu

tố phụ khi giải các bài toán hình học Tùy từng bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến những cách giải hay và độc đáo Song công việc này không thể tùy tiện, việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết, đồng thời phải dựa vào sự tư duy của từng người với mỗi bài toán cụ thể

Đối với học sinh đại trà việc vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh bài toán là một việc tương đối khó khăn, tuy nhiên thầy cô giáo cũng phải hình thành dần, rèn luyện dần tư duy, kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ cho học sinh Muốn vậy học sinh phải nắm vững những kiến thức đã học, xác định rõ yêu cầu của đề bài để

từ đó đưa ra cách vẽ cho phù hợp

Trong chương trình hình học lớp 9 đặc biệt là chương II: Đường tròn, việc rèn luyện tư duy và kĩ năng vẽ yếu tố phụ cho học sinh là cực kỳ quan trọng và cần thiết Trong quá trình dạy học chương này, đối với mỗi phần kiến thức tôi đã hướng dẫn học sinh tìm ra được một số cách chung để vẽ yếu tố phụ cho những bài toán cùng loại như sau:

- Khi học sinh học song Tiết 20 - Bài đường kính và dây của đường tròn

giáo viên đưa ra hai ví dụ:

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O có I là trung điểm

của dây CD (dây CD không phải là đường kính) Ta nối

O với I thì OI CD = {I} (Theo định lý trong một đường

tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi

qua tâm thì vuông góc với dây ấy)

=> Giáo viên giới thiệu kĩ năng vẽ hình phụ 1a: Trong một đường tròn

nếu có trung điểm của một dây cung thì lưu ý nối trung điểm đó với tâm

Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O có dây CD không

phải là đường kính Ta kẻ OI CD = {I} thì I là trung

điểm của CD (Theo định lý trong một đường tròn, đường

kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của

dây ấy)

=> Giáo viên giới thiệu kĩ năng vẽ hình phụ 1b: Trong một đường tròn

muốn có trung điểm của một dây, ta cần chú ý hạ đường vuông góc từ tâm đến dây ấy

- Sau khi học sinh phát biểu được định lý “Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm” của Tiết 24 - Bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn giáo viên đưa ra ví dụ: Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của

đường tròn tâm O tại C Nếu ta nối tâm O với

tiếp điểm C thì khi đó ta có OC  a = {C}

=> Giáo viên giới thiệu kĩ năng vẽ hình phụ 2a: Những bài tập có tiếp

tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp điểm

O

O



O

a C

- Học sinh làm được bài tập 26 phần a(SGK Toán 9 tập 1 trang 115) trong

tiết 27 - Bài Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì giáo viên giới thiệu kĩ

năng vẽ hình phụ 2b: Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao

điểm của hai tiếp tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm

- Kỹ năng vẽ hình phụ 3: Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý

nối tâm và vẽ thêm đường dây chung của chúng được giới thiệu sau khi học sinh

làm song ?3 trong tiết 29 - Bài Vị trí tương đối của hai đường tròn.

- Sau khi học sinh học song tiết 30: Bài Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo) giáo viên giới thiệu kĩ năng 4 như sau:

a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm b) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến chung trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm

Tóm lại, trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn học sinh tìm ra được

bốn kĩ năng cơ bản về “Vẽ hình phụ để giải các bài tập trong chương II:

Đường tròn - hình học lớp 9” như sau:

*Kĩ năng 1

a) Trong một đường tròn nếu có trung điểm của một dây cung thì lưu ý nối trung điểm đó với tâm

b) Trong một đường tròn muốn có trung điểm của một dây, ta cần chú ý

hạ đường vuông góc từ tâm đến dây ấy

*Kĩ năng 2

a) Những bài tập có tiếp tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp điểm

b) Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao điểm của hai tiếp tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm

*Kĩ năng 3

Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý nối tâm và vẽ thêm đường dây chung của chúng

*Kĩ năng 4

a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm

b) bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến chung trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm

Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài tập áp dụng có vận dụng kĩ năng vẽ hình phụ như đã triển khai ở trên:

1 Bài tập 1: Bài 11 (SGK Toán 9 tập 1 trang 104)

*Đề bài: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt

đường kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và

B đến CD Chứng minh rằng CH = DK

*Bài giải:

GT

(O; AB2 ) có CD < AB

CD  AB =

AH  CD = {H}

BK  CD = {K}

KL CH = DK

Ch ứng minh

Áp dụng kĩ năng 1b ta kẻ OM CD = {M} thì M là trung điểm của đoạn thẳng CD nên ta có MC = MD (1)

Ta lại có AH // BK (vì AH và BK cùng vuông góc với CD) nên tứ giác AHKB là hình thang

Mà trong hình thang AHKB có OA = OB (vì cùng bằng bán kính của đường tròn tâm O) và OM // AH // BK nên M là trung điểm của đoạn thẳng HK, suy ra MH = MK (2)

Từ (1) và (2) suy ra CH = DK

*Khai thác bài toán:

a) Bài toán 1: Trường hợp CD cắt AB

Áp dụng kĩ năng 1b ta kẻ OM CD = {M} thì M

là trung điểm của CD nên MC = MD (1)

Nối H với B và giả sử OM cắt HB tại giao điểm E

Xét AHB có OA = OB; OE // AH nên EH = EB

C

D

H

K

M O

E



O



Xét HBK có EH = EB (chứng minh trên); EM // BK (vì cùng vuông góc với CD), nên suy ra MH = MK (2)

Từ (1) và (2) suy ra CH = DK

b) Bài toán 2: Trường hợp từ C và D kẻ đường vuông góc kẻ đường

vuông góc với CD cắt AB tại M, N Chứng minh AM = BN

Áp dụng kĩ năng 1b ta kẻ OI CD = {I} thì I

là trung điểm của CD nên IC = ID

Xét tứ giác MNDC có MC //ND (vì cùng vuông

góc với CD) nên tứ giác MNDC là hình thang

Trong hình thang MNDC có IC = ID (theo chứng minh trên) và

OI // MC // ND (vì cùng vuông góc với CD) nên suy ra OM = ON (1)

Mà OA = OB (vì cùng bằng bán kính của đường tròn tâm O) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = BN

2 Bài tập 2:

*Đề bài: Cho đường tròn tâm O đường AB Dây cung MN đi qua trung

điểm H của OB Kẻ AD vuông góc với MN tại K (D thuộc đường tròn tâm O) Gọi I là trung điểm của MN, tia BI cắt AD tại C Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BNCM là hình bình hành

b) C là trung điểm của đoạn thẳng AD

*Bài giải:

GT

(O; AB2 ), HB = HO

MNOB = {H}, ADMN = {K}

IM = IN; BIAD = {C}

KL a) Tứ giác BNCM là hình bình hành

b) C là trung điểm của đoạn thẳng AD

Chứng minh

a) Áp dụng kĩ năng 1a ta nối O với trung điểm I của đoạn thẳng MN thì

ta có OIMN = {I}

Mà OI // AD (vì cùng vuông góc với MN) nên suy ra OI // AC



M

C

D N

K I H

O

C M

N



Xột ABC cú OA = OB (vỡ cựng bằng bỏn kớnh) và OI //AC (chứng minh trờn) nờn I là trung điểm của CB, suy ra IC = IB

Tứ giỏc BNCM cú MNCD = {I}; IM = IN (theo giả thiết); IC = IB (theo chứng minh trờn) nờn tứ giỏc BNCM là hỡnh bỡnh hành

b) Nối O với C Xột OBC cú HO = HB, IC = IB nờn HI là đường trung bỡnh của OBC, do đú ta cú HI //OC (1)

Mà HIAD (2)

Từ (1) và (2) suy ra OCAD = {C} nờn C là trung điểm của đoạn thẳng AD

3 Bài tập 3: Bài 30 (SGK Toỏn 9 tập 1 trang 116)

*Đề bài: Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB (đường kớnh của một

đường trũn chia đường trũn đú thành hai nửa đường trũn) Gọi Ax, By là cỏc tia vuụng gúc với AB (Ax, By và nửa đường trũn thuộc cựng một nửa mặt phẳng

bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường trũn (M khỏc A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trũn, nú cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng:

a) COD = 900

b) CD = AC + BD

c) Tớch AC BD khụng đổi khi điểm M di chuyển trờn nửa đường trũn

*Bài giải:

GT

Nửa (O;

2

AB

) cú

Ax  AB = {A}; By  AB = {B }

M ẻ nửa (O;

2

AB

); M ạ A, B Tiếp tuyến tại M cắt Ax tại C, By tại D

K

L

a) COD = 900

b) CD = AC + BD c) AC BD không đổi khi M di chuyển trên

nửa (O;

2

AB

)

Chứng minh:

a) Áp dụng kĩ năng 2a ta nối tõm O với tiếp điểm M thỡ ta cú OM

CD = {M}



M C

D

y

x

O

Vì tiếp tuyến CA cắt tiếp tuyến CM tại giao điểm C nên OC là tia phân

giác của AOM (1)

Và tiếp tuyến DM cắt tiếp tuyến DB tại giao điểm D nên OD là tia phân

giác của BOM (2)

Mà AOM và BOM là hai góc kề bù (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra COD = 900

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì ta có MC = AC và

MD = BD (1)

Mà CD = MC + MD (2)

Từ (1) và (2) suy ra CD = AC + BD

c) Ta có AC BD = MC MD (1)

Xét COD vuông tại O có OMCD = {M} nên MC MD = OM2 (trong

đó OM là bán kính của đường tròn tâm O) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC BD = OM2

Vậy tích AC BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường

tròn (O; AB2 )

4 Bài tập 4: Bài 61 (SBT Toán 9 tập 1 trang 136)

*Đề bài: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến

Ax, By (Ax và By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB)

Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By

theo thứ tự C, D

a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất

c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm,

biết AB = 4cm

*Bài giải:

a) Áp dụng kĩ năng 2a ta nối tâm O với tiếp điểm M

Áp dụng kĩ năng 2b ta nối C với tâm O, D với tâm O

Ta có tia OC, OD lần lượt là tia phân giác của hai góc



M C

D

y

x

I

kề bù AOM vàBOM nên COD= 900, do đó COD vuông tại O.

Gọi I là trung điểm của CD

Tam giác COD vuông tại O có trung tuyến IO CD

2

1

 nên IO = IC = ID,

do đó ta có đường tròn đường kính CD có tâm I, bán kính IO =

2

CD

(1) Hình thang ABDC có OA = OB, IC = ID nên OI là đường trung bình của hình thang ABDC, do đó IO // DB, mà DBAB nên IOAB = {O} (2)

Từ (1) và (2) suy ra 









 2

;CD

I tiếp xúc với AB tại O

b) Chu vi của hình thang ABDC là AB + AC + BD + CD (1)

Mà AC + BD = CM + MD = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra chu vi của hình thang ABDC bằng AB + 2CD

Ta có AB không đổi nên chu vi của hinh thang ABDC nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất

CD nhỏ nhất  CD = AB  CD // AB  OM AB

Vậy khi OM  AB thì chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất và bằng 3AB c) Đặt AC = x, BD = y

Chu vi hình thang ABDC bằng AB + 2CD = 4 + 2(x+y)

Do chu vi của hình thang ABDC bằng 14 nên ta có

4 + 2(x + y) = 14 hay x + y = 5 (1)

Ta lại có x.y = MC MD = OM2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông

COD), nên x.y = 22 = 4 => y 4

x

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

4

x

x x





Như vậy, nếu điểm C (thuộc tia Ax) cách điểm A là 1cm hoặc 4cm thì chu

vi của hình thang ABDC bằng 14cm

5 Bài tập 5: Bài 73 (SBT Toán 9 tập 1 trang 139)

*Đề bài: Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ tiếp xúc ngoài tại A Gọi

CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn {CÎ(O) và DÎ(O’)}

a) Tính số đo góc CAD

b) Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm và OA’ = 2cm

*Bài giải:

a) Áp dụng kĩ năng 4b ta kẻ tiếp tuyến trung trong AM cắt CD tại M

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MC = MD nên

CD

MA

2

1

 => ACD vuông tại A => CAD = 900

Áp dụng kĩ năng 2b ta nối M với O, M với O’

Ta có MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù CMA vàDMA nên OMO ' = 900, do đó OMO’ vuông tại M

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao vào tam giác vuông OMO’ có

MA  OO’, thì ta có MA2 = OA.O’A = 4,5.2 = 9 => MA = 3cm

Mà MA CD

2

1

 => CD = 2.MA = 2.3 = 6cm

6 Bài tập 6: Bài 74 (SBT Toán 9 tập 1 trang 139)

*Đề bài: Cho hai đường tròn đồng tâm O Một đường tròn tâm O’ cắt đường tròn đồng tâm O tại A, B và cắt đường tròn đồng tâm còn lại tại C, D Chứng minh rằng AB // CD

*Bài giải:

Áp dụng kĩ năng 3: Ta nối tâm O

với tâm O’ và nối A với B, nối C với D

Đường tròn (O’) cắt đường tròn (O, OA)

tại A và B nên OO’

 AB (1)

O A O’

C

A C

Đường tròn (O’) cắt đường tròn (O, OC)

tại C và D nên OO’

 CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB // CD

B -TÍNH MỚI CỦA GIẢI PHÁP

Tính mới của giải pháp này là học sinh có thể chủ động, tự bản thân giải được các bài toán hình hoc trong chương II: Đường tròn mà không cần có sự hỗ trợ của giáo viên Chính vì thế, mà trong quá trình giảng dạy chương này tôi luôn chú ý rèn luyện cho học sinh tư duy và kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ khi chứng minh các bài toán, điều đó đã giúp các em có kiến thức sâu hơn, ý thức ngại học môn hình vì thế cũng đã giảm đi, ý thức tự học tự nghiên cứu được hình thành

và hoàn thiện dần làm cho học sinh ngày càng yêu thích hơn đối với môn hình học

C - HỮU ÍCH CỦA GIẢI PHÁP

Sau khi nghiên cứu, triển khai và thực hiện chuyên đề “Kĩ năng vẽ hình phụ

để giải các bài tập trong chương II: Đường tròn - hình học lớp 9” tôi thấy

trong quả trình giảng dạy giáo viên hướng dẫn cho học sinh khai thác lý thuyết hoặc bài tập sao cho phù hợp với đối tượng học sinh để tìm ra được bốn kĩ năng

vẽ hình phụ là cực kì quan trọng và yêu cầu học sinh phải nắm chắc bốn kĩ năng

vẽ hình phụ đó, rồi cho học sinh làm một số bài tập áp dụng có vận dụng kĩ năng

vẽ hình phụ thì tôi thấy khả năng phân tích bài toán, kỹ năng vẽ thêm các yếu tố phụ trước khi chứng minh của học sinh đã được nâng lên, đặc biệt học sinh có thể tự tin trình bày ngay được lời giải bài toán hình học Chính vì thế mà chất lượng học tập của học sinh được nâng lên, tính từ tháng 8/2010 đến tháng 1/2011 có kết quả khảo sát như sau:

Năm học Khối

¬

Tổng

số HS

Phân loại

Kết quả khảo sát đầu năm học

Kết quả khảo sát sau khi thực hiện chuyên đề

TB 22 35,5% 24 38,7%

Kém 12 19,4% 0[ 0% Năm học 2011-2012 tôi không trưc tiếp giảng dạy môn Toán lớp 9 nhưng tôi đã cùng đồng chí Cao Kim Oanh phối hợp thực hiện Sau khi dự giờ lớp 9B (học kì I) tôi khảo sát chất lượng với tổng số 28 học sinh và kết quả đạt được như sau:

Năm học Khối

¬

Tổng

số HS

Phân loại

Kết quả khảo sát đầu năm học

Kết quả khảo sát sau khi thực hiện chuyên đề

2011-2012 9 28

D - KHẢ NĂNG PHỔ BIẾN NHÂN RỘNG

Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi khi dạy chương II: Đường tròn - hình học 9 và tôi nhận thấy kết quả đạt được:

Về phía giáo viên: Đạt được mục đích dạy học đề ra vì đã hướng dẫn và rèn được cho học sinh nắm chắc bốn kĩ năng vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải các bài tập trong chương II: Đường tròn

Về phía học sinh: Tiếp thu kiến thức một cách chủ động, tích cực, độc lập, sáng tạo Hình thành được các kĩ năng vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải các bài tập trong chương II: Đường tròn

Có lẽ chuyên đề “Kĩ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong

chương II: Đường tròn - hình học lớp 9” phần nào cũng có hiệu quả trong

công tác giảng dạy thực tế tại trường THCS Sơn Hà Vì thực nghiệm giảng dạy còn ít, do đó không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tôi rất mong được

sự nhận xét, góp ý của các cấp lãnh đạo, các nhà chuyên môn và đặc biệt là các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn

Người viết