BÀI 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác | 1.. Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC.. So sánh góc BAH và góc CAH. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AB = AE. Quan hệ giữ[r]
Trang 2MỤC LỤC
1 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác 1
B Bài tập và các dạng toán 1
2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu 6
B Bài tập và các dạng toán 6
3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác 9
B Bài tập và các dạng toán 9
Trang 3CHƯƠNG 3 CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
BÀI 1 Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm Hãy so sánh các góc của tam giác ABC
- LỜI GIẢI
Từ đề bài, xét 4ABC có BC < AC < AB Do đó, bA < “B < bC A
BÀI 2 Cho tam giác DEF có DE = 3 cm, EF = 6 cm, DF = 8 cm Hãy so sánh các góc của tam giác ABC
- LỜI GIẢI
Từ đề bài, xét 4DEF có DE < EF < DF Do đó, bF < “D < “E E
BÀI 3 Cho tam giác M N P vuông tại M có M N = 3 cm, N P = 5 cm Hãy so sánh góc M N P với góc
M P N
- LỜI GIẢI
Vì 4M N P vuông tại M nên theo định lí Pytago, ta tính được M P = 4 cm
BÀI 4 Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 5 cm, BC = 8 cm Hãy so sánh góc ’ABC với góc ’BAC
- LỜI GIẢI
Cách 1 Vì 4ABC cân tại A nên AC = AB = 5 cm Do đó, AC < BC nên ’ABC < ’BAC
Cách 2 Từ đề bài, ta dễ dàng suy ra được AB < BC nên ’BCA < ’BAC
Mà 4ABC cân tại A nên ’BCA = ’ABC Do đó ’ABC < ’BAC
BÀI 5 Cho tam giác ABC có bA = 40◦, “B = 60◦
Tính số đo góc bC
- LỜI GIẢI
MỤC LỤC 1 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác | 1
Trang 4Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng 180◦ nên ta tính được bC = 80◦.
a)
Xét 4ABC có bA < “B < bC Vậy BC < AC < AB
b)
BÀI 6 Cho tam giác M N E có cM = 50◦, “N = 70◦
Tính số đo góc E
- LỜI GIẢI
Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng 180◦ nên ta tính được “E = 60◦
a)
Xét 4M N E có cM < “E < “N vì (50◦ < 60◦ < 70◦) Vậy N E < M N < M E
b)
BÀI 7 Cho tam giác DEF cân tại D có góc ngoài tại đỉnh E bằng 140◦ Hãy so sánh các cạnh của tam giác DEF
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, tính được ’DEF = ’DF E = 40◦ Do đó, ’EDF = 100◦
Xét 4DEF có ’DEF = ’DF E < ’EDF Do đó, DF = DE < F E
D
140◦
BÀI 8 Cho tam giác ABC cân tại A có “B = 50◦ Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC
- LỜI GIẢI
Vì 4ABC cân tại A nên suy ra AB = AC và “B = bC = 50◦
Xét 4ABC có bA + “B + bC = 180◦ mà “B = bC = 50◦ nên suy ra bA = 80◦
Xét 4ABC có “B = bC < bA Do đó, AB = AC < BC
A
50◦
BÀI 9 Cho tam giác ABC có bA > 90◦, lấy điểm M thuộc cạnh AB
So sánh AC và M C
Chứng minh AC < M C < BC
c)
- LỜI GIẢI
Xét 4M AC tù tại A nên M C là cạnh lớn nhất
Do đó, AC < M C
a)
Xét 4M AC có ÷BM C là góc ngoài tại đỉnh M nên
÷
BM C > bA > 90◦ Do đó, góc BM C là góc tù
Vậy 4BM C là tam giác tù tại M
b)
A
M
c) Từ câu b, ta suy ra BC là cạnh lớn nhất của 4BM C nên M C < BC Kết hợp với câu a, ta có
AC < M C < BC
Trang 5BÀI 10 Cho tam giác M N P có “N > 90◦ Trên tia đối của tia P N lấy điểm Q
So sánh M N và M P
Chứng minh M N < M P < M Q
c)
- LỜI GIẢI
Xét 4M N P tù tại N nên M P là cạnh lớn nhất
Do đó M N < M P
a)
Xét 4M N P có ÷M P Q là góc ngoài tại đỉnh P nên ÷M P Q > “N >
90◦ Do đó, góc M P Q là góc tù
Vậy 4M P Q là tam giác tù tại P
b)
Từ câu b, ta suy ra M Q là cạnh lớn nhất của 4M P Q nên
M P < M Q Kết hợp với câu a, ta có M N < M P < M Q
c)
M
BÀI 11 Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm
So sánh góc B với góc C
a)
Hạ AH vuông góc với BC tại H So sánh góc BAH và góc CAH
b)
- LỜI GIẢI
Xét 4ABC có AB < AC vì (3 cm < 4 cm) nên bC < “B
a)
Ta có ’BAH + “B = ’CAH + bC = 90◦ Mà “B > bC nên
’
BAH < ’CAH
b)
A
H
BÀI 12 Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 3 cm
So sánh góc B với góc C
a)
So sánh hai góc ngoài tại các đỉnh B và C của tam giác ABC
b)
- LỜI GIẢI
Xét 4ABC có AB > AC nên bC > “B
a)
Gọi ‘ABx là góc ngoài đỉnh B và ‘ACy là góc ngoài
đỉnh C
Ta có ‘ABx + ’ABC = ‘ACy + ’ACB = 180◦ (hai góc kề
bù), mặt khác ’ABC < ’ACB nên ‘ABx > ‘ACy
b)
A
BÀI 13 Tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AB = AE Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho EB = ED
MỤC LỤC 1 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác | 3
Trang 6Chứng minh 4ABE = 4CDE.
- LỜI GIẢI
Dễ dàng chứng minh được 4ABE = 4CDE (c.g.c)
a)
Từ câu a, ta suy ra ’ABE = “D và AB = CD
Vì 4ABC vuông tại A nên AB < BC (cạnh huyền là cạnh lớn
nhất) Do đó CD < BC Suy ra “D < ’CBE Vậy ’ABE < ’CBE
b)
B
D C
BÀI 14 Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia M A lấy điểm N sao cho M A = M N
Chứng minh 4BAM = 4N CM
- LỜI GIẢI
Xét 4AM B và 4N M C có
M A = M N (gt)
÷
AM B = ÷N M C (đối đỉnh)
M B = M C (gt)
⇒ 4BAM = 4CM N (c.g.c)
a)
Vì 4BAM = 4CM N ⇒ AB = N C (hai cạnh tương ứng)
Xét 4ACN có AC > CN = AB nên ’AN C > ’CAN suy ra
÷
BAM > ÷M AC
b)
A
B
N
BÀI 15 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác của góc A cắt BC ở D Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE
Chứng minh BD = DE
- LỜI GIẢI
Ta chứng minh được 4ABD = 4AED (c.g.c)
Do đó, BD = DE
a)
Từ câu a, ta có ’DEA = “B mà
’
DEC + ’DEA = bC + “B + ’BAC (= 180◦) Nên ’DEC = bC + ’BAC
Từ đó ’DEC > bC
Xét 4DEC, suy ra DE < DC
Kết hợp với câu a, vậy BD < DC
b)
A
E
BÀI 16 Cho tam giác ABC vuông tại A Tia phân giác của góc B cắt AC ở M Kẻ M H vuông góc với BC tại H
Trang 7Chứng minh AM = M H.
- LỜI GIẢI
Xét 4ABM và 4HBM có
÷
BAM = ÷BHM = 90◦
Cạnh BM chung
÷
ABM = ÷HBM
⇒ 4ABM = 4HBM (cạnh huyền - góc
nhọn)
Suy ra AM = HM
a)
Trong 4M HC vuông tại H nên cạnh M C là cạnh lớn nhất suy ra
M C > M H, mà M H = M A do đó M A < M C
b)
B
H
XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
BÀI 1 Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC Kẻ AH vuông góc với BC tại H Hãy so sánh độ dài
HB và HC
- LỜI GIẢI
Dễ thấy HB, HC lần lượt là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng BC,
mà AB > AC Do đó HB > HC
A
H
BÀI 2 Tam giác GHK vuông tại H có HG < HK Kẻ HI vuông góc với GK tại I Hãy so sánh độ dài IG và IK
- LỜI GIẢI
Dễ thấy IG, IK lần lượt là hình chiếu của HG, HK lên đường thẳng GK,
mà HG < HK Do đó IG < IK
G I
BÀI 3 Cho tam giác DEF vuông tại D Trên tia đối của tia ED lấy điểm P , Q sao cho EP < EQ
So sánh độ dài F P và F Q
a)
Sắp xếp các đoạn thẳng F E, F P , F Q theo thứ tự có độ dài tăng dần
b)
MỤC LỤC 2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu | 5
Trang 8- LỜI GIẢI.
Vì EP < EQ nên DP < DQ Mà DP , DQ lần lượt là hình
chiếu của F P , F Q lên đường thẳng DQ Do đó F P < F Q
a)
Dễ thấy DE < DP Mà DE, DP lần lượt là hình chiếu của
F E, F P lên đường thẳng DP Do đó F E < F P
Vậy F E < F P < F Q
b)
F
Q P
BÀI 4 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm D, E sao cho AD < AE
So sánh độ dài BD và BE
a)
Sắp xếp các đoạn thẳng BC, BD, BE theo thứ tự có độ dài giảm dần
b)
- LỜI GIẢI
Vì AD < AE Mà AD, AE lần lượt là hình chiếu của BD, BE lên
đường thẳng AC Do đó, BD < BE
a)
Dễ thấy AE < AC Mà AE, AC lần lượt là hình chiếu của BE,
BC lên đường thẳng AC Do đó BE < BC Vậy BD < BE < BC
b)
B
BÀI 5 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia đối của các tia BA và tia CA lấy các điểm P , Q
So sánh CP và P Q
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta có AC < AQ Mà AC, AQ lần lượt là hình chiếu
của P C, P Q lên đường thẳng AQ Do đó, P C < P Q
a)
Ta có AB < AP Mà AB, AP lần lượt là hình chiếu của BC, P C
lên đường thẳng AP Do đó BC < P C Kết hợp ý trên, ta suy ra
BC < P Q
b)
Q
C
BÀI 6 Cho tam giác M N P vuông tại M Trên tia đối của tia N M lấy điểm D
So sánh P N và P D
a)
Lấy điểm E trên cạnh M P Chứng minh EN < P D
b)
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta có M N < M D Mà M N , M D lần lượt là hình chiếu
của P N , P D lên đường thẳng M D Do đó, P N < P D
a)
Ta có M E < M P Mà M E, M P lần lượt là hình chiếu của EN ,
P N lên đường thẳng M P Do đó EN < P N Kết hợp ý trên, ta suy
ra EN < P D
b)
D
N
Trang 9BÀI 7 Tam giác nhọn ABC có “B > bC Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC
So sánh HB và HC
a)
Lấy điểm E trên cạnh AH Chứng minh EB < EC
b)
- LỜI GIẢI
Xét tam giác ABC có “B > bC nên AC > AB Mà HB, HC
lần lượt là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng BC Do
đó HB < HC
a)
Từ ý trên và HB, HC lần lượt là hình chiếu của EB, EC lên
đường thẳng BC nên ta có EB < EC
b)
A
E
BÀI 8 Tam giác DEF có DE > DF Qua D kẽ đường thẳng vuông góc với EF và cắt EF tại K
So sánh KE và KF
a)
Trên tia đối của tia DK lấy điểm H Chứng minh HE > HF
b)
- LỜI GIẢI
Theo giả thiết DE > DF Mà KE, KF lần lượt là hình chiếu
của DE, DF lên đường thẳng EF Do đó KE > KF
a)
Ta có KE, KF lần lượt là hình chiếu của HE, HF lên đường
thẳng EF Mà KE > KF (Chứng minh trên) Vậy HE > HF
b)
H D
BÀI 9 Cho tam giác ABC, điểm E nằm giữa B và C (AE không vuông góc với BC) Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AE
So sánh BH và BE
- LỜI GIẢI
Dễ thấy BH là đường vuông góc, BE là đường xiên kẻ từ điểm B
đến đường thẳng AK Do đó, BE > BH
a)
Ta thấy CK là đường vuông góc, CE là đường xiên kẻ từ điểm C
đến đường thẳng AK Do đó CE > CK Vậy BE +EC > BH +CK
hay BC > BH + CK
b)
A
E
K H
BÀI 10 Cho tam giác nhọn M N P Vẽ M D vuông góc với N P (D ∈ N P ), vẽ N E vuông góc với M P (E ∈ M P )
So sánh M N và M D
MỤC LỤC 2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu | 7
Trang 10- LỜI GIẢI.
Dễ thấy M D là đường vuông góc, M N là đường xiên kẻ từ điểm
M đến đường thẳng N P Do đó, M N > M D
a)
Ta thấy N E là đường vuông góc, M N là đường xiên kẻ từ điểm N
đến đường thẳng M P Do đó M N > N E
Vậy M N + M N > M D + N E hay 2M N > M D + N E
b)
M
E
BÀI 11 Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy các điếm M , N trên các cạnh AB, AC
So sánh M N và M C
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta có AN < AC Mà AN , AC lần lượt là hình chiếu của
M N , M C lên đường thẳng AC Do đó, M N < M C
a)
Ta có AM < AB Mà AM , AB lần lượt là hình chiếu của M C, BC
lên đường thẳng AB Do đó M C < BC Kết hợp ý trên, ta suy ra
M C < BC
b)
C
N
BÀI 12 Cho tam giác ABC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC
So sánh HB và AB
- LỜI GIẢI
Dễ thấy HB là đường vuông góc, AB là đường xiên kẻ từ điểm B
đến đường thẳng AH Do đó, HB < AB
a)
Ta thấy HC là đường vuông góc, AC là đường xiên kẻ từ điểm C
đến đường thẳng AH Do đó HC < AC Vậy HB +HC < AB +AC
hay BC < AB + AC
b)
A
ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
BÀI 1 Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có thể tạo thành một tam giác hay không?
3 cm, 4 cm, 6 cm
- LỜI GIẢI
Trang 11Ta có 6 < 3 + 4 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác.
a)
Không vì 8 > 2 + 4
b)
Không vì 4 = 1 + 3
c)
BÀI 2 Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác
3 cm, 3 cm, 7 cm
- LỜI GIẢI
Không vì 7 > 3 + 3
a)
Ta có 10 < 6 + 8 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác
b)
Không vì 8 = 6 + 2
c)
BÀI 3 Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên lẻ
- LỜI GIẢI
Giả sử 4ABC có AB = 7 cm, AC = 2 cm
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB − AC < BC < AB + AC
Suy ra 5 < BC < 9 Mà BC có độ dài theo cm là một số tự nhiên lẻ
BÀI 4 Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 1 cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này
là một số nguyên (cm)
- LỜI GIẢI
Ta có AB = 4 cm, AC = 1 cm
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB − AC < BC < AB + AC
Suy ra 3 < BC < 5 Mà BC có độ dài theo cm là một số nguyên
BÀI 5 Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m
- LỜI GIẢI
Giả sử 4ABC có AB = 4 m, AC = 8 m
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có |AB − AC| < BC < AB + AC
Do đó, 4 < BC < 12
Mà 4ABC cân nên suy ra BC = 8 m
BÀI 6 Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng 3 cm và 7 cm
- LỜI GIẢI
Giả sử 4ABC có AB = 3 cm, AC = 7 cm
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có |AB − AC| < BC < AB + AC
Do đó, 4 < BC < 10
Mà 4ABC cân nên suy ra BC = 7 cm
BÀI 7 Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M
MỤC LỤC 3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác | 9
Trang 12So sánh M A với AB + BM
Lấy điểm D thuộc cạnh AM Chứng minh rằng DA + DC < M A + M C, từ đó suy ra DA + DC <
BA + BC
c)
- LỜI GIẢI
Xét tam giác BAM , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
M A < AB + BM
a)
Từ câu a) ta suy ra
M A + M C < AB + BM + M C
Do đó, M A + M C < BA + BC
b)
Tương tự câu a), ta có
DC < M D + M C
Từ đó, suy ra DA + DC < M A + M C
Kết hợp với câu b), ta có DA + DC < BA + BC
c)
M
D B
A
C
BÀI 8 Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm N
So sánh N B với N C + CB
Trên tia đối của tia CB lấy một điểm E bất kì Chứng minh rằng CA + CB < EA + EB, từ đó suy ra N A + N B < EA + EB
c)
- LỜI GIẢI
Xét tam giác BN C, theo bất đẳng thức tam giác,
ta có
N B < BC + CN
a)
Từ câu a) ta suy ra
N B + N A < BC + CN + N A
Do đó, N B + N A < CA + CB
b)
Tương tự câu a), ta có
CA < CE + EA
Từ đó, suy ra CA + CB < EA + EB Kết hợp
với câu b), ta có N A + N B < EA + EB
c)
N
E B
A
C
Trang 13
BÀI 9 Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C.
So sánh AD với AB + BD
Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC
c)
- LỜI GIẢI
Xét 4ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có
a)
Tương tự câu a), ta có
Từ (1) và (2), ta suy ra
2AD < AB + AC + BC
b)
Từ câu b) suy ra AD < AB + AC + BC
Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC
c)
D B
A
C
BÀI 10 Cho điểm M nằm trong tam giác ABC
So sánh AB với M A + M B
a)
Chứng minh rằng AB + AC + BC < 2(M A + M B + M C)
b)
Chứng minh rằng M A + M B + M C lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC
c)
- LỜI GIẢI
MỤC LỤC 3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác | 11
Trang 14Xét 4ABM , theo bất đẳng thức tam giác ta có
AB < M A + M B (1) a)
Tương tự câu a), ta có
AC < M A + M C (2)
BC < M B + M C (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
AB + AC + BC < 2(M A + M B + M C)
b)
Từ câu b), suy ra AB + AC + BC
2 < M A + M B + M C.
Vậy M A + M B + M C lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC
c)
B
A
C M