Giữa kì 2 toán 9 archimedes 1819

Hai vòi cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ 40 phút sẽ đầy.. Nếu chảy một mình thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ.. Tính tỉ số 1 Chứng minh tứ gi

Hai vòi cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ 40 phút sẽ đầy Nếu chảy một mình thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 3: ( 2 điểm)

1) Giải hệ phương trình

a b cthỏa mãn đồng thời các điều kiện

a b c a b c   ab bc ca  

Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho ba số thực , ,

EF AB

2

OK OM OA b) K thuộc đường tròn đi qua 4 điểm MCDN Tính tỉ số

1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp

2) Gọi Hlà trung điểm của BN , chứng minh O là trực tâm của tam giác MAH

3) Kéo dài MO cắt AHtại K Chứng minh:

 O ( CkhácA;Ckhác B) Kẻ đường kính CDcủa  O Tiếp tuyến tại Bcủa  O cắt các tia

;

AC ADlần lượt tại M và N

Bài 4: ( 3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm Cbất kì trên nửa

2; 2

B x y

Tìm m để: y y1 2  10x x1 29

1; 1

A x y và   b) Giả sử đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm  

a) Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt

2

:

P yx

2

d y mx m  m và parabol   2) Cho đường thẳng  

  







2 2

ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II THCS ARCHIMEDES ACADEMY

Ngày thi: 02/03/2019

Thời gian: 90 phút

Bài 1: ( 2 điểm)

Cho biểu thức A 2 x 1

x



9

B

x



a) Tính giá trị của biểu thức Akhi x16

b) Rút gọn biểu thứcB

c) Cho M  A B , hãy so sánh M và M ( với điều kiện M có nghĩa)

Bài 2: ( 2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

HƯỚNG DẪN

Bài 1: ( 2 điểm)

Cho biểu thức A 2 x 1

x



9

B

x



a) Tính giá trị của biểu thức Akhi x16

b) Rút gọn biểu thứcB

c) Cho M A B , hãy so sánh M và M ( với điều kiện M có nghĩa)

Hướng dẫn

a) Tính giá trị của biểu thức Akhi x16

Thay x16 ( thỏa mãn điều kiện) vào A 2 x 1

x



16

b) Rút gọn biểu thứcB

9

B

x



9

B

B

x

B

B





c) Cho M A B , hãy so sánh M và M ( với điều kiện M có nghĩa)

2

x



2

2

3

x

Đánh giá: x 0 x  0 3 x 2 0 mà  2

x  x

4

x   x Vậy 2

M Mkhi 1

4

x

Bài 2: ( 2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai vòi cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ 40 phút sẽ đầy Nếu chảy một mình thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Hướng dẫn

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình cho đến khi đầy bể là:   20

, 3

x h x Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình cho đến khi đầy bể là:   20

, 3

y h y

Như vậy, năng suất lần lượt của từng vòi 1, vòi 2 lần lượt là: 1 1;

x y (bể/h)

Khi hai vòi cùng chảy vào bể không chứa nước thì sau 20 

6 40

3

h p h thì đầy bể, nên ta có:

20

x y (1)

Khi chảy riêng: Do vòi thứ 2 chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ nên ta có: x y 3

(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

12( / )

15 5

3

)

12 3

3

x y

x

y

x y

 

Vậy thời gian để vòi 1, vòi 2 chảy 1 mình đầy bể lần lượt là: 15 h  và 12 h 

Bài 3: ( 2 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 2

   





Hướng dẫn

2 2

   





, ĐK: x 2;x y

Đặt (I): a x 2, a b, 0

b x y



6

5

30 2

a b

a

t m b

b a



    

Thay   a b;  5;30 vào (I), ta được: 2 5 2 25 23 ( / )

30

t m

x y



Vậy nghiệm của HPT là:   x y;  23;877

:y

P x a) Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt

b) Giả sử đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm A x y và  1; 1 B x y 2; 2

Tìm m để: y y1 2  10x x1 29

Hướng dẫn

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d :

  

      

Để đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt    ' 0 2m  0 m 0

Vậy m0 thì đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt

b) Vì đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm A x y và  1; 1 B x y 2; 2, nên phương trình

x  mxm  m có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có: 1 2 2

1 2

2





Đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm  2

1; 1

A x x và  2

2; 2

B x x Thay vào y y1 2  10x x1 29, ta được:

 2

2 2

1 2 10 1 2 9 1 2 10 1 2 9

1 2 1 2

1 2

1

9

x x

x x x x

x x

 





Từ (1) và (2), ta có:

1( / )

m t m

Vậy m1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: ( 3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm Cbất kì trên nửa

 O ( CkhácA;Ckhác B) Kẻ đường kính CDcủa  O Tiếp tuyến tại Bcủa  O cắt các tia

;

AC ADlần lượt tại M và N

1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp

2) Gọi Hlà trung điểm của BN , chứng minh O là trực tâm của tam giác MAH

3) Kéo dài MO cắt AHtại K Chứng minh:

OK OM OA b) K thuộc đường tròn đi qua 4 điểm MCDN Tính tỉ số EF

AB

Hướng dẫn

1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp

Chứng minh M D1 ( cùng phụ hai góc bằng nhau) (1)

1 2 180

D D  ( AND là góc bẹt) (2)

2 180

M D

   ( 2 góc ở vị trí đối diện)

 CDNM nội tiếp (đpcm)

2) Gọi Hlà trung điểm của BN , chứng minh O là trực tâm của tam giác MAH

Vì CD là đường kính của (O) (gt) nên 0

Ta có:

 

 

OA OB gt

OH

BH HB gt







/ /

OH AN

Mặt khác: AN  AC cmt( )

OH AC

  ( quan hệ từ vuông góc tới song song)

Như vậy:

 

( )

OH AC

AB MH gt











O

 là trực tâm của tam giác MAH (đpcm)

3) Kéo dài MOcắt AHtại K Chứng minh:

a) Chứng minh: OAK∽OMB g g( )

2

OA OK

OA OB OK OM OA OK OM

OM OB

b) Đề sai

Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn đồng thời các điều kiện

a b c a b c   ab bc ca   a) Chứng minh rằng là a c, hai nghiệm của phương trình bậc hai 2    2

x  b x b 

Hướng dẫn

2 1

1

K

H

N

M

D

O A

B C

Ta thay lần lượt a, c vào phương trình trên:

a  b a b 

c  b c b 

Lấy    1  2 và a b c a b c,   6, ta được 0c a 0( luôn đúng)

Như vậy, a,c là nghiệm của phương trình bậc hai 2    2

b) Chứng minh rằng 0     a 1 b 3 c 4

Hướng dẫn

Ta có: a b c a b c,   6,ab bc ca  9

a b c  a b c 

 Chứng minh: a b c, , 0, ta có:

4

(



a b c ac bc c  c a b c   c c

 Chứng minh:

c c  c

2

            

Do đó, giả sử sai nên c4

 Chứng minh a1:

Giả sử: 1   a b c 4

Như vậy:



   





,

Lấy      1  2  3 ,ta được: 2 2 2

a b c  a b c       v ly

Do đó, giả sử sai nên a1

Ta có: a1;c4 nên b      6 a c 6 1 4 1

 Chứng minh b3:

Giả sử:b3 , ta có: b3c 3 0

ab bc ca a b c bc a b c a

a b c

        

          

   