Giữa kì 2 toán 9 đống đa 1819

4 Q P có giá trị nguyên Bài 2 2.0 điểm: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một trường A có tổng số giáo viên là 80, hiện tại tuổi trung bình của giáo viê

NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN 9

Thời gian 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức: 1 1 2( 0; 4)

a



a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để 1

3

P

c) Tìm tất cả các giá trị của a để 9

4

Q P có giá trị nguyên

Bài 2 (2.0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một trường A có tổng số giáo viên là 80, hiện tại tuổi trung bình của giáo viên là 35 Trong đó, tuổi trung bình của giáo viên nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo viên nam là 38 Hỏi trường học A có bao nhiêu giáo viên nữ và bao nhiêu giáo viên nam?

Bài 3 (2.0 điểm):

1) Giải hệ phương trình: 3 4 8

   





 

2) Cho parabol ( ) : P y2x2 và đường thẳng ( ) : d y 4x2

a) Tìm tọa độ tiếp điểm của ( )d và ( )P

b) Viết phương trình đường thẳng ( ')d có hệ số góc m và đi qua điểm A(1, 2) Chứng minh ( ')d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt với mọi m4

Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn ( )O và một điểm M nằm ngoài đường tròn , kẻ tiếp tuyến MA (A

là tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC và dây cung AB vuông góc với OM tại H

a) Chứng minh BC OM và tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn

b) Kẻ dây CN của đường tròn ( )O đi qua H Tia MN cắt ( )O tại điểm thứ hai D Chứng minh 2

MA MN MD c) Giả sử AOB120 Tính độ dài cung nhỏ AB và diện tích hình quạt tròn AOB

d) Chứng minh ba điểm B O D, , thẳng hàng

Bài 5 (0.5 điểm): Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: 2

(x y 1) xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2 1 2 xy

xy x y x y

 

HƯỚNG DẪN

Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức: 1 1 2, ( 0; 4)

a



a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a để 1

3

P

c) Tìm tất cả các giá trị của a để 9

4

Q P có giá trị nguyên

Hướng dẫn

a) Với a0;a4 ta có:

P



Vậy 2

2

P a





b) Để 1

3

Vì 3.( a   2) 0 4 a  0 a   4 a 16

Vậy để 1

3

P thì 0 a 16;a4

a   a   a   a   a

Vậy để Q nguyên thì 25

4

a

Bài 2 (2.0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một trường A có tổng số giáo viên là 80, hiện tại tuổi trung bình của giáo viên là 35 Trong đó, tuổi trung bình của giáo viên nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo viên nam là 38 Hỏi trường học A có bao nhiêu giáo viên nữ và bao nhiêu giáo viên nam?

Hướng dẫn

Gọi số giáo viên nam của trường A là x người ( 0 x 80)

Gọi số giáo viên nữ của trường A là y người ( 0 y 80)

Theo bài ta có hệ phương trình

80

.38 32

38 32 y 2800 38 32 2800 35

80

x y

x y

 



38 32 2800 38 32.40 2800 40

Vậy trường A có 40 giáo viên nam và 40 giáo viên nữ

Bài 3 (2.0 điểm):

1) Giải hệ phương trình: 3 4 8

   





 

( ) : P y2x và đường thẳng ( ) : d y 4x2 a) Tìm tọa độ tiếp điểm của ( )d và ( )P

b) Viết phương trình đường thẳng ( ')d có hệ số góc m và đi qua điểm A(1, 2) Chứng minh



Hướng dẫn

1) Ta có với x0; y0

0

x

( thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , )x y (0, 4)

2)

a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P

2x 4x 2 2x 4x  2 0 2.(x 2x  1) 0 2(x1)      0 x 1 0 x 1

Tung độ giao điểm là: y4.1 2 2

Tọa độ giao điểm của ( )d và ( )P là: (1, 2)

b) Gọi phương trình đường thẳng ( ') : yd mx b

Vì ( ')d đi qua A(1, 2)nên: 2m.1   b b 2 m

Đường thẳng ( ') : d ymx 2 m

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ')d và ( )P là:

mx  m x  x mx  m

4.2.( 2) 8 16 ( 4)

Ta thấy với m4 thì  0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Vì vậy với m4thì ( ')d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt

Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn ( )O và một điểm M nằm ngoài đường tròn , kẻ tiếp tuyến MA (A

là tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC và dây cung AB vuông góc với OM tại H

a) Chứng minh BC OM và tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn

b) Kẻ dây CN của đường tròn ( )O đi qua H Tia MN cắt ( )O tại điểm thứ hai D Chứng minh 2

MA MN MD c) Giả sử AOB120 Tính độ dài cung nhỏ AB và diện tích hình quạt tròn AOB

d) Chứng minh ba điểm B O D, , thẳng hàng

Hướng dẫn

a) Xét ABC có 1

2

BOOAOC AC nên ABC vuông tại B ABC  90 BC AB

Mà ABOMOM BC

+ Vì OM  AB tại Hnên HAHB

Xét AOB có OA OB   R AOB cân tại O mà OH AB AOH BOH

Xét AOM và BOM có

chung

OM











90

MOA MOB OB MB

Xét tứ giác AOBMcó OBM OAM     90 90 180(tổng 2 góc đối)

Vì vậy AOBM là tứ giác nội tiếp

b) Xét MAN và MAD có

chung

1

2

AMD











2

c) Độ dài cung nhỏ ABlà: .120 2

Diện tích hình quạt tròn AOBlà:

2

d) + Tứ giác NADB nội tiếp ( )O nên AND ABD(cùng chắn cung AD) (1)

+ MO BCMHNBCN (2 góc đồng vị)

Mà MBN BCN (cùng bằng 1

2 số đo cung BN )MBN MHN

D

N H

B

O

M

AND ABD

Từ (1) và (2) ta có: MBAABDCNDDNAMBDCNA  90 MBBD

Mà MBBO B, O, D thẳng hàng

Bài 5 (0.5 điểm): Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: 2

(x y 1) xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2 1 2 xy

xy x y x y

 

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

2

2 3( ) 8( ) 4 0 ( 2)(3(x y) 2) 0 2

3

Với x y 2 ta có:

2

P

xy



1 1 2

P

   

Vậy giá trị nhỏ nhất của P2 khi x y 1