Giữa kì 2 toán 9 thanh xuân nam 1819

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình.. của tàu thủy và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng của tàu không đổi Bài 3 2 điểm 1.. Giải hệ phương trình sau: 3.. Xác định vị trí c

TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM MÔN TOÁN LỚP 9

Năm học: 2018 – 2019

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức

Bài 2 (2 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình

của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu không đổi)

Bài 3 (2 điểm)

1 Giải hệ phương trình sau:

3 Cho hệ phương trình:

Bài 4 (3.5 điểm)

2 Chứng minh:

3 Chứng minh:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   

A

c ab a bc b ca

a b c và a b c  1

nhất đó theo R

Bài 5 (0.5 điểm) Cho , , 0

4 Xác định vị trí của điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn

2

4R BI BA AE AK

2

AE AK AM

  Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K

1 Chứng minh 4 điểm: B E I K, , , cùng thuộc một đường tròn

O R đường kính AB Dây MN vuông góc với AB tại I sao cho IAIB Trên đoạn MI lấy điểm E (E M E; I)

Cho đường tròn  ; 

  Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x y 1

   (m0)



x my

 



mx y 2

 

2 Lập phương trình đường thẳng  d đi qua hai điểm: A(1; 3) và B( 2; 4)







    



   



dòng 54 km Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 1 giờ Tính vận tốc riêng

Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 kmhết một thời gian bằng thời gian tàu chạy ngược

7

P

3 Tìm x để 2

 

1 Rút gọn biểu thức P

2 Tính giá trị của P khi x 2(3 5)

 

P

HƯỚNG DẪN

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 1 1 2

P

    với x0;x1

1 Rút gọn biểu thức P

2 Tính giá trị của P khi x2(3 5)

3 Tìm x để 2

7

P

Hướng dẫn

1

P

P

x x

 

được

6 2 5 5 1 1 8 3 5

x P

 

2x 2 x 2 7 x 2x 5 x 2 0 x 2 2 x 1 0

4 1 4

x

x









 



(thỏa mãn ĐK) Vậy: ………

Bài 2 (2 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình

Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 kmhết một thời gian bằng thời gian tàu chạy ngược dòng 54 km Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 1 giờ Tính vận tốc riêng

2(3 5) 6 2 5 5 1

x      2 (thỏa mãn điều kiện), thay vào

Gọi vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước lần lượt là x y x,   y 0 km h/ 

Vì tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 kmhết một thời gian bằng thời gian tàu chạy ngược dòng

54 km nên ta có phương trình 66 54  

1

x y x y

Vì tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì hết 1 giờ nên ta có phương trình

 

1 2

x y x y 

Từ    1 , 2 ta có hệ phương trình

1

x y x y

x y x y







đặt 1 a, 1 b

x y x y

có:

1

33

b

a

 





(thỏa mãn)

Vậy vận tốc riêng của tàu thủy là 30km h/ và vận tốc của dòng nước là 3km h/

Bài 3 (2 điểm)

1 Giải hệ phương trình sau: 2( ) 1 4

    





    

2 Lập phương trình đường thẳng  d đi qua hai điểm: A(1; 3) và B( 2; 4) 

3 Cho hệ phương trình: 2

mx y

x my

 



  

 (m0) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x y 1

Hướng dẫn

1 ĐK x 1 Khi đó hệ phương trình

 

 

1 2

x

 

         

3 / 2

y

 



 

 

 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;   3; 2

2 Phương trình đường thẳng  d có dạng tổng quát yax b Vì  d đi qua điểm A(1; 3) và

( 2; 4)

B   nên ta có:

1

3

a

a b

a b

b

 



  

    



Vậy phương trình  d : 1 10

y x

3

2 2

2

y mx

y mx

mx y

x my

 



 



 



Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  phương trình  * có nghiệm duy nhất

2

   (điều này luôn đúng với mọi giá trị của m)

Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 2

2

5 2 3

3

m x

m m y

m



 

 

 



Ta có:

2

x y

2

    (vì 2

3m 0)

;

Bài 4 (3.5 điểm)

Cho đường tròn O R;  đường kính AB Dây MN vuông góc với AB tại I sao cho IAIB Trên đoạn MI lấy điểm E (EM E; I) Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K

1 Chứng minh 4 điểm: B E I K, , , cùng thuộc một đường tròn

2 Chứng minh: 2

AE AK AM

3 Chứng minh: 4R2 BI BA AE AK

4 Xác định vị trí của điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt giá trị lớn nhất Tính giá

trị lớn nhất đó theo R

Hướng dẫn

1 Ta có: AKB90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BKEI có: EKBEIB90O90O 180O Mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác BKEI nội tiếp hay 4 điểm: B E I K, , , cùng thuộc một đường tròn

2 Vì AB là đường kính, dây MN vuông góc với ABtại I nênsd AM sd AN

Từ đó suy ra AMEAKM , lại có MAE chung nên MAE đồng dạng với KAM

MA AE

AM AE AK

KA  AM  

3 Ta có AMB90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Lại có MBA chung nên BMA đồng dạng với BIM suy ra 2  

BM BI BA

BI  BM  

AM BM AB  R

Từ      1 ; 2 ; 3 suy ra 2

4R BI BA AE AK

4 Chu vi tam giác MIO là: MIIO MO MIIO R

Ta có:  2  2 2 2 2

MIIO  MI IO  OM  R MIIOR

Dấu bằng xảy ra khi MI IO MIO vuông cân tại

2

R

OOI  I là trung điểm OA

Bài 5 (0.5 điểm) Cho a b c, , 0 và a b c  1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ab bc ca

c ab a bc b ca

Hướng dẫn

Vì a b c, , 0 và a b c  1 nên

2

cabc abc a b c  abcacb c ab ac b c

Tương tự ta có:

abc ab ac

bca ab bc

Vậy

A

Theo BĐT Cosi, ta có:

2 a c b c

a c b c

2 a b a c

a b a c

2 a b b c

a b b c

1

2

A

a c b c a b a c a b b c

1

2

ab bc ab ac bc ac A

A b a c 

Vậy GTLN của A là 1

2

1 3

a b c

   