P 2 : Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức... Trong các [r]
Trang 1
CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Bài tốn: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x)
P 2: Ta cần thực hiện các bước sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm f ’(x), rồi giải phương trình f ‘(x) = 0
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số
B4: Kết luận
Bài tập ơn luyện: Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
1 y = 1 + 4x –x2
2 y = 2x2 -3x -1
3 y = x2(4 – x2)
4 y = x4 – 2x3 + 2x +1
5 y = 1 3 2
3x x x
6 2
2
x
y
x
7
2
2 2
y
x
8 2
1
x
y
x
9 2 1
y
10
2
2
y
y x x
y x x
13 y = 3x2 – 8x3
14 y = x3 – 6x2 + 9x
15 y = 16x + 2x2 – 16
3 x3 – x4
16 y = x4 + 8x2 + 5
17 2 2
1
x y
18 y x x( 1), (x 0)
19 3 2
7
x y
x
20 22
9
x y x
21
2
1
y
x
22
2
2
y x
25
24
100
x y
x
25 1 4 3
5 2
y x x x
26 3 4 3 3 2
y x x x x
27 3 4 5
8 5
28 7 6 7 5
6
y x x x
29 1 1
y
x
30 1
3
x y x
31 23
1
x y x
32 2
CHỦ ĐỀ 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN
Bài tốn: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng I
P 2: Ta cần thực hiện các bước sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm f ‘(x)
B3: Lập luận cho các trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) như sau:
Hàm số đồng biến trên R àm
H
số xác định với mọi x
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
Hàm số đồng biến trên [a, +) àm
H
số xác định với mọi x [a,+ )
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
số xác định với mọi x
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
'( ) ( , ),
số xác định với mọi x
0 dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của (a,b).
Hàm số đồng biến trên đoạn cĩ độ dài bằng k. f ‘(x) x [a k a, ], đẳng thức chỉ xảy tại
Trang 2
Để giải các biểu thức điều kiện của y ‘ phương pháp được sử dụng phườngổ biến nhất là phương pháp tam thức bậc 2, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể sử dụng ngay phương pháp hàm số để giải, cụ thể như:
f ‘(x) 0 với min '(x) 0
x D
f ‘(x) 0 với max '(x) 0
x D
Chú ý: Ta cần nhớ rằng với y’= g(x) = ax2
+ bx + c (a 0) thì:
Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến
0
a
0 ( ) 0 x
0
a
2.g x( ) 0 x > (hay x ( ; + )) khi một trong
hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a > 0
Tóm lại: 0
0
TH2: Nếu 0, điều kiện là a > 0 và phương
trình g(x) = 0 có hai nghiệm thoả mãn
1 2
x x
0 ( ) 0
2
a ag S
2 g x( ) 0 x > (hay x ( ; + )) khi một trong hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a < 0
Tóm lại: 0
0
TH2: Nếu 0, điều kiện là a < 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm thoả mãn
1 2
x x
0 ( ) 0
2
a ag S
3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; )) khi một trong
hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a > 0
Tóm lại: 0
0
TH2: Nếu 0, điều kiện là a > 0 và phương
trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả
mãn x1 x2
0 ( ) 0 2
a
a g S
3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; )) khi một trong hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a < 0
Tóm lại: 0
0
TH2: Nếu 0, điều kiện là a < 0 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 x2
0 ( ) 0 2
a
a g S
4 g x( ) 0 x ( ; ) khi một trong hai trường
hợp sau xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a > 0
Tóm lại: 0
0
TH2: Nếu 0, xét hai khả năng sau:
o Nếu a > 0 thì điều kiện là phương trình
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
4 g x( ) 0 x ( ; ) khi một trong hai trường hợp sau xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a < 0
Tóm lại: 0
0
TH2: Nếu 0, xét hai khả năng sau:
o Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
Trang 3
1 2
1 2
( ) 0
2 ( ) 0
2
a g S
a g S
o Nếu a < 0 thì điều kiện là phương trình
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
( ) 0 ( ) 0
a g
a g
1 2
1 2
( ) 0
2 ( ) 0
2
a g S
a g S
o Nếu a > 0 thì điều kiện là phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả:
( ) 0 ( ) 0
a g
a g
Bài tập ôn luyện – nâng cao
Bài 1: Tìm m sau cho hàm số:
1 y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2)x – 2 luôn đồng biến
2 y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trong (-1; 1) Đs: m 10
3 y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – 6 đơn điệu trên R
4 y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3m(m-2)x + 1 hàm số đồng biến trên R
5 y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 luôn đồng biến
6 y = 1
3x3 – 2x2 + 3x, hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
7 y = 1
3
m
x3 + mx2 + (3m – 2)x luôn đồng biến
8 y = -1
3x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x đồng biến trong (0; 3)
9 y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trong khoảng (2; +)
10 y = x3 – (m+1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến khi x 2
11 y = x2(m – x) – m Tìm m để hàm số:
a Đồng biến với mọi x
b Đồng biến trong (1; 2)
12 y = 1
3mx3 – (m – 1)x2 + 3(m - 2)x + 1
3
13 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m - 1)x + m + 3
a Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x
b Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng ( ; 1] và (2; +)
14 Cho hàm y =
3
2
3
x
a Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (0; 3)
b Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (3; +)
15 Cho hàm số 1 3 2
3
y m x x mx
a Tìm m để hàm số luôn đồng biến
b Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
16 Cho hàm số y = x2(m – x) – mx + 6 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
17 Cho hs 1 3 2
3
y mx mx x luôn nghịch biến
18 Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + m – 6 Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (-; 0)
19 Cho hs y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2) – 2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến
20 Cho hs y = (2m + 3)sin2x + (2 – m)x Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Trang 4
21 Cho hs 2
y x x x m Luôn nghịch biến x R
22 Cho hs 1 3 2
3
y x mx m x m Tìm m để hs nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
23 Cho hs y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 (đs: m = 9/4)
24 Cho hs y = -1
3x3 + 2x2 + (2m + 1)x -3m + 2, nghịch biến trên R Đs:
25 Cho hs y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m, nghịch biến trên (-1; 1)
26: Cho hs 1 3 2 2
y x m x m
a Đồng biến trên khoảng (1; +)
b Đồng biến trên R
27 Cho hs y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1, đồng biến trên R
28 Cho hs
3 2 ( 1)
3
, luôn đồng biến trên R
29 Cho hs y = (m – x)x2 + m, đồng biến trên (1; 2) Đs: m 3
30 Cho hs 1 3 2
3
y x m x m x
a Luôn luôn giảm Đs: Không có giá trị m
b Luôn tăng trên (0; 3) Đs: 12
7
m
31 Cho hs 3 2 2 4 1
yx m x m m x , luôn nghịch biến trên (-1; 1).Đs:
8 52 3
4 76 3
m
m
32 Cho hs y = x3 – mx2 + 3x – 1, luôn đồng biến Đs: 3 m 3
33 y = 2x + mcosx, tăng trên R Đs: 2 m 2
34 y = 2x3 + 3x2 + 6(m + 1)x + m2 , nghịch biến trên (-2; 0) Đs: m 3
(sin cos ) sin 2
y x m m x x m, đồng biến trên ( ; )
36 y = x3 + (m - 1)x2 – (2m2 + 3m + 2)x, đồng biến trên (2; ) Đs: 3 2
37 y = x + msinx, đồng biến trên R Đs: 1 m 1
38 y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến trên R Đs: 4 2
3
m
39 y = x3 + 2mx2 + m – 2, nghịch biến trên (1; 3) Đs: 9
4
m
40 1 3 2
3
y x m x m x , luôn tăng trên R Đs: 1 m 3
Bài 2: Tìm m sao cho hàm số:
3
mx
y
x m
luôn nghịch biến
2
2
y
x m
đồng biến với mọi x > 1
3
2
1
y
mx
đồng biến trong khoảng (0; +)
4
2
1
y
x
đồng biến trong (0; +)
Trang 5
5
2
1
y
đồng biến trong (1; +)
6
2 2
2 1
y
x
luôn đồng biến trên miền xác định của nó
7
(m 1)x 2mx (m m 2)
y
x m
luôn nghịch biến trên miền xác định của nó
8
1
y
x
luôn nghịch biến trên miền xác định của nó
9
2
y
nghịch biến trong (1; +)
10
2
2x (1 m x) 1 m
y
x m
đồng biến trong (1; +) Đs: m 3 2 2
11
2
2x (1 m x) 1 m
y
nghịch biến trong (2;+)
12 Cho hàm số
2
y
x
Tìm m để hàm số nghịch biến
1
2
13 Cho hs
2
y
Tìm m để hs đồng biến trên (1;+)
14 Cho hs
2
1 1
y
x
đồng biến trên (-; -1) và (1; +)
15 Cho hs
2
2
y
x
nghịch biến trên [1; +) Đs:
14 5
m
16 Cho hs
( 1)
y
nghịch biến trên (0; +) Đs:
1
17 Cho hs
2
2x (1 m x) m 1
y
nghịch biến trên (2; +) Đs: m 5 3 2
18 Cho hs
2
1
y
x
, đồng biến trên (3; +)
19 Cho hs y x
x m
a Luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Đs: m < 0
b Luôn đồng biến trên (-1; +) Đs: m < -1
20 Cho hs y mx 4
,
a Đồng biến trên (3; +) Đs: m > 2
b nghịch biến trên ( ;1) Đs: 2 m 1
CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài toán: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đảng thức
P 2: Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức
Cụ thể: Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b],
- Nếu f ‘(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] f x( ) f a( ) hoặc f x( ) f b( )
- Nếu f ‘(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] f x( ) f a( ) hoặc f x( ) f b( )
Bài Tập Áp Dụng:
Trang 6
Bài 1 Cho 0 2 x Chứng minh rằng: a sinx < x b tanx > x Bài Giải a Xét hàm số f(x) = sinx – x với 0 2 x Đạo hàm: f ‘(x) = cosx – 1 < 0 với 0 2 x hàm số f(x) nghịch biến trên (0; ) 2 Do đó: f(x) < f(0) với 0 2 x sinx – x < 0 với 0 2 x sinx < x với 0 2 x (đpcm) b Xét hàm số f(x) = tanx – x với 0 2 x Đạo hàm: f ‘(x) = 12 cos x – 1 = tan2x > 0 với 0 2 x hàm số f(x) đồng biến trên (0; ) 2 Do đó: f(x) > f(0) với 0 2 x tanx – x > 0 với 0 2 x tanx > x với 0 2 x (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: 3 sin 6 x x x với x > 0 Bài Giải: Xét hàm số f(x) = 3 sin 6 x x x với x > 0 Đạo hàm: f ‘(x) = 2 1 cos 2 x x ; f ‘’(x) = -x + sinx; f ‘’’(x) = -1 + cosx < 0 với x > 0 f ‘’(x) nghịch biến với x > 0 f ‘’(x) < f ‘’(0) với x > 0 f ‘’(x) < 0 với x > 0 f ‘(x) nghịch biến với x > 0 f ‘(x) < f ‘(0) với x > 0 f ‘(x) < 0 với x > 0 f(x) nghịch biến với x > 0 f(x) < f(0) với x > 0 3 sin 0 6 x x x với x > 0 3 sin 6 x x xvới x > 0 Lưu ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f ‘(x) 0, x [a; b] hoặc f ‘(x) 0, x [a; b] Trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x Bài 3: Chứng minh rằng: sin200 > 1 3 Bài Giải Áp dụng công thức: sin3x = 3sinx – 4sin3x Ta có: sin600 = 3sin200 -4sin3200 Do đó sin200 là nghiệm của phương trình 3 3 3 4 2 x x Xét hàm số f(x) = 3x – 4x3 Đạo hàm: f ‘(x) = 3 – 12x2 Bảng biến thiên: x - 1
2 1
2 +
y’ - 0 + 0 -
y +
-
Ta có: sin200
- 1 3
1 1 ( ; )
2 2
là khoảng đồng biến của hàm số f(x)
Trang 7Nên: sin200 > 1
3
Lưu ý: Một số bài toán bất đẳng thức khi đưa về xét hàm số cần quan tâm tới các cực trị
BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1 y x 6
2 y 8 x 1
3 yx24x1
4 y 3x25x1
5 y 2x21
6 yx32x2 x 1
7 yx32x2 x 1
8 1 3 2
3
y x x
9 1 3 2
3
y x x x
10 y x3 3x29x1
11 yx3x2 8x1
12 yx3x2 8x1
13 yx33x2 3x1
14 1 3 2
3
y x x x
15 1 3 3 2
2 3
y x x x
16 4 3 2
3
y x x x
17 y2x33x21
18 yx32x2 x 1
19 yx4x2 1
20 y2x44x2 5
21 yx4x21
22 1 4 2
4
y x x
23 3
2 1
x y
x
24 4
y x
x
25 yx42x25
2
x y x
27
1
y
x
28 yx36x217x4
29 yx3 x cosx4
30 1 3 2
3
y x x x
y x x x
32
5
y
x
2
1
x
34
2
2 1
y
x
35 y x2 2x3
36 f x ( ) 1 x2 nghịch biến trên 0;1
37:y 4x2
38: y 2xx2
39: 5 4 10 3 7
y x x x
Câu 39: Chứng minh hàm số y x x2 8nghịch biến trên
Câu 40:Tìm m hàm số: 3 2
yx mx x đồng biến trên ĐS: 6 m 6
Câu 41:Tìm m hàm số: 3
yx mx đồng biến trên ĐS: m 0
Câu 42:Tìm a hàm số: 3 2
1
yx ax x nghịch biến trên khoảng 1; 2 ĐS: 13
4
Câu 43:Tìm m hàm số:
2
1
y
x
đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 44:Tìm m hàm số: 3
2
mx y
x m
nghịch biến trên từng khoảng xác định
Câu 45:Tìm m hàm số:
2
1
y
x
đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 46:Tìm m hàm số: 2
1
m
y x
x
đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 47:Tìm m hàm số: 2 3 2
y m m x mx x đơn điệu trên R
Câu 48:Tìm a hàm số: 1 3 2 2 (2 1) 3 2
3
y x x a x a luôn nghịch biến trên ĐS: 5
2
a
Trang 8
Câu 49:Tìm m hàm số: 3 2
yx m x m x đồng biến trên 2; ĐS: 5
12
m
câu 50: Cho hàm số 3 2 2
yx m x m m x m m Tìm m để hàm số đồng biến khi 2
x ĐS: 2 m 3
Cau 51: Cho hàm số yx3 3x2 (m 1)x 4m Tìm m để hs nghịch biến trên ( 1;1) ĐS: m 10
Câu 52: Cho 2
3
mx y
x m
Tìm m để hs luôn nghịch biến trong miền xác định của nó ĐS: 1 m 2
Câu 53: Cho
1
y
x
Tìm m để hs luôn đồng biến trên TXĐ của nó.đs: 0 m 2
Câu 54: Tìm m để hàm số luôn đồng biến trong(0; ):
1)
2
1
y
x
2 1
y mx
ĐS: 0 m 1
Câu 55: Tìm m hàm số sau đồng biến trong (1; ):
1)
2
y
x m
4
4
2)
2
1
y
ĐS:m2 22
Câu 56 Chứng minh với mọi x > 0 ta có:
2
1
2
e x
HD:xét hàm số :
2
2
f x e x (đồng biến mọi x > 0)
Câu 57 Chứng minh với: 0
2
x
chứng minh tgxx HD:xét hàm số : f x( ) tgxx ; f x'( ) tg x2
Câu 58.:Chứng minh với: 0
2
x
chứng minh 2sinx2tgx2x1
HD:Dùng bđt côsi: xét hàm số : f x( ) tgx sinx
Câu 59 Chứng minh với mọi x > 0 ta có:
e
2) 1 ln( 1)
x
1)HD:xét hàm số: f x( ) e xx; f x( ) ln(x 1) x; ( ) ln( 1)
1
x
x
Câu 60 (Gk)Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x x với x 0, sin x x với x 0
b)
2
cos 1
2
x
3
sin
6
x
x x với mọi x 0,
d
3
sin
6
x
x x với mọi x 0
Câu 61 (Gk)Chứng minh rằng: sin x tan x 2 x với mọi 0;
2
x