Bài tập tính đơn điệu của hàm số có đáp ná thầy lê bá trần phương

Tìm mđể hàm số 1đồng biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6... Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.

Bài 1 Cho hàm số y 2x 39mx212m x 1 (1)2  Tìm mđể hàm số (1)nghịch biến trên khoảng

 2; 3

Giải

y 6x 18mx 12m ,y có '  36m2 0 suy ray có nghiệm x'  2m,x m

và ta có sơ đồ dấu củay trong các trường hợp sau : '

Để hàm số(1)nghịch biến trên 2; 3 ta phải cóy' 0trên 2; 3

(VN)

ĐS:  2 m 3 2

Bài 2 Cho hàm số y x 33x2mx m (1) Tìm mđể hàm số (1)đồng biến trên nửa đoạn



0;

 



Giải

2

y' 3x 6x m ,y có '  12(3 m)

TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

2m





m





   +



2m

m

Để hàm số(1)đồng biến trên  0; ta phải có y' 0 trên  0; 

+) Nếu   0 3 m 0 m 3 thì y' 0 vớixy' 0 trên  0; m 3 thỏa mãn

+) Nếu  0 m 3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x 3 9 3m

3

và ta có sơ đồ dấu củay như sau: '

3

3

Đểy'0trên  0; ,ta phải có 3 9 3m 0

3

  3 9 3m 0

 9 3m   3 3m 0 m 0

Kết hợp với m 3  0 m 3

0 m 3

 

  

Bài 3 Cho hàm số y 1x3 mx2 (m 6)x 1 (1)

3

      Tìm mđể hàm số (1)đồng biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6

Giải

2

Để hàm số(1)đồng biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6 thì ta phải cóy' 0trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6

y ' có  4m2 4m 24

+) Nếu 2 m 3 thì y' 0 vớix   2 m 3 không thỏa mãn

+) Nếu  0 m  2 m 3 thì y ' có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2,và ta có sơ đồ dấu củay ' như sau

Để y' 0trên một đoạn có độ dài đúng bằng 2 6ta phải có x1x2 2 6

3 9 3m 3

   3 9 3m

3

  

+



0

-

1



 2

  

  

 



Bài 4 Cho hàm số y x 33(m 1)x 23m(m 2)x 1 (1)  Tìm mđể hàm số (1)đồng biến trên

các đoạn    2; 1và 1; 2 

Hướng dẫn

- tính y' thấy y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt

- từ nghiệm của y' => tìm ra các khoảng đồng biến đó là (; m 2) , (m;)

- nhúng các khoảng mà đề bài cần xét vào các khoảng đồng biến trên Khi đó ta có 3 trường

hợp

TH1: Hai đoạn 2; 1  ,1; 2 đều thuộc (; m 2)

TH2: Hai đoạn 2; 1  ,1; 2đều thuộc (m;)

TH3:  2; 1 thuộc (; m 2) còn đoạn 1; 2  thuộc (m;)

 Các điều kiện của m

Lời giải

2

y' 3x 6(m 1)x 3m(m 2)  

y ' có  36 0 suy ray có nghiệm phân biệt x m,x m 2'    và ta có sơ đồ dấu củay ' như sau :

Để hàm số(1)đồng biến trên các đoạn   2; 1và1; 2 thì ta phải cóy' 0 trên các đoạn 2; 1

  

 và1; 2

 Hoặc m 2





+



-2

-

+



2

-

+



-1

-

1

Hoặc m 2 2  m 4

Hoặc m 2 1 m 1

m 1

   

 



ĐS: m 2,m 1,m 4 

Bài 5 Cho hàm số y  x3 3mx23(1 2m)x 1 (1)  Tìm mđể hàm số (1)nghịch biến trên tập

xác định

Giải

2

y' 3x 6mx 3(1 2m) 

Để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định, tức nghịch biến với mọi x ta phải có y' 0 với x

  3x26mx 3(1 2m) 0 x    2

  4(m 1) 2  0 (m 1) 2  0 m 1

ĐS :m 1

Bài 6 Cho hàm số y m 1 x3 mx2 (3m 2)x (1)

3

Giải

2

y' (m 1)x  2mx 3m 2 

Để hàm số (1) luôn đồng biến thì ta phải có y' 0 x 

+) nếu m 1 0  m 1 thì y' 2x 1  đổi dấu khi x vượt qua 1

2

 ,suy ra hàm số(1)không thể luôn đồng biến

  



     

ĐS :m 2

Bài 7 Cho hàm số y x 4mx2 m 2 (1) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên nửa đoạn



1;

 



Giải

y' 4x 2mx 2x(2x m)

Để hàm số (1)đồng biến trên  1; thì ta phải có y' 0 trên 1; 

Xétf(x) 2x 2m,f(x)có   8m

+) Nếu   0 m 0 thì f(x) 0 x  Khi đó ta có sơ đồ dấu củay như sau '

Do đóy' 0 trên 1;  m 0 thỏa mãn

+) Nếu   0 m 0 thìf(x)có 2 nghiệm x m

2

Để y' 0trên 1; ta phải có

Kết hợp với m 0   2 m 0

ĐS : m 0 m 2

2 m 0

 

  

Cách khác

Để hàm số (1) đồng biến trên  1; thì ta phải cóy'0trên 1; 

4x32mx 0, x 1   2x2m 0, x 1    2x2 m, x 1 

2

x 1

Max( 2x ) m



Xétf(x) 2x ,x 12  ,ta cóf (x)'  4x 0 , x 1   suy raf(x)nghịch biến vớix 1

x 1

Max f(x) f(1) 2



    Suy ra giá trị cần tìm là m 2

Bài 8 Cho hàm số y x 3m 1 (1)

x m

 



 Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên nửa đoạn  3; 

Giải

TXĐ: R\ m  ,

 2

1 4m y'

x m







Để hàm số nghịch biến trên 3, , ta phải có:







m 2

2



+

+

+







m 2

2



+

o



1

m 3 4



(m<3 để đảm bảo hàm số nghịch biến tại mọi điểm trên  3, , ví dụ: khi m=4 => điều kiện

xác định x khác 4 => h/s không thể nghịch biến tại 4)

Mặt khác, ta thấy với m 1

4

 thì y' 0 trên toàn bộ tập xác định

m 1

4

  không thoả mãn điều kiện

4 

Bài 9 Cho hàm số: ym 1 x  4mx2 3 m Tìm m để hàm số đồng biến trên 1,

Giải

y' 4 m 1 x  2mx 2x 2 m 1 x   m

Hàm số đồng biến trên 1, y' 0 với x1,, tức y' 0 với  x 1

+ m = 1 thì y' 2x

Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên 1,

m = 1 không thoả mãn

+ m – 1 > 0 m 1 , y' 0 có 3 nghiệm

2 m 1



+ m – 1 < 0m 1

Xét f x  2 m 1 x  2m  f 8m m 1  

- Nếu   0 8m 0 m 0 kết hợp với m 1  0 m 1 thì f x 0 với mọi x

Suy ra ta có sơ đồ dấu củay' 2x 2 m 1 x     2mnhư sau: (tự vẽ)

0 m 1  không thoả mãn

- Nếu   0 m 0 thì y’ có 3 nghiệm Ta có sơ đồ dấu của y’như sau (tự vẽ)

Không thể có y' 0 trên 1,

Vậy: m 2

Bài 10 Cho hàm số: 3    

2



2,

 



Giải

 

2

y' mx 2 m 1 x 3m 6  

Để hàm số đồng biến trên đoạn  2, , ta phải có y' 0 với  x 2

* Xét trường hợp: m = 0

Ta có: y' 2x 6, y' 0   2x 6 0   x 3 m 0 không thoả mãn

* Xét trường hợp: m < 0

y ' có   ' 2m24m 1

2



 thì y' 0 với x

 => không thoản mãn

2

thì y' 0 có hai nghiệm x , x , và ta có sơ đồ dấu của 1 2 y ' như sau: (tự vẽ)

Trường hợp này ta không thể có y' 0 với  x 2

* Xét trường hợp: m 0

y ' có   ' 2m24m 1

2



=> y' 0 với x 3 m 2 6

2



2



2

x

m

Và ta có sơ đồ dấu củay ' như sau : (tự vẽ)

Để y' 0  x 2 ta phải có:

 

2

2 2

2

2 m

6

2

m 0, m

3











=>2 m 2 6



Từ (*)và (**) => m 2

3



2

x

3



      Tìm m để hàm số đồng biến trên (0, 3)

Giải

 

2

y'  x 2 m 1 x m 3  

y ' có hai nghiệm phân biệt x m 1   m2m 4

và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)

Để hàm số đồng biến trên (0, 3) ,ta phải có y' 0 trên (0,3)

m 7

          

Bài 12 Cho hàm số: y x 33x2m 1 x 4m   Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1,

1)

Giải

2

y' 3x 6x m 1 

Để hàm số nghịch biến trên (-1, 1), ta phải có: y' 0 với  x 1,1

y ' có   ' 6 3m

- Nếu    ' 0 6 3m 0 m 2 thì y' 0 với x

m 2

  không thoả mãn

- Nếu    ' 0 6 3m 0 m 2 thì y ' có hai nghiệm phân biệt x 3 6 3m

3

Và ta có sơ đồ dấu của y ' như sau : (tự vẽ)

Để ý: y' 0 trên (-1, 1), ta phải có:

1 3

6 3m 36

  

 



  

  

  

ĐS:m 10

Bài 13 Cho hàm số y mx 1

x m





 (1) Với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến, nghịch biến,

không đổi trên TXĐ?

Giải

Ta có:

2 2

1 m

x m





 Nếu 1 m 2    0 1 m 1 => y' 0 thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (; m) và

(m; )

 

 => y' 0 thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

 Nếu 1 m 2  0 m 1 thì y không đổi trên TXĐ

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai