day them tich phan

NGUYÊN HÀMI Định nghĩa nguyên hàm : Cho 2 hàm số Fx và fx xác định trên tập D.. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số.. Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích ph

NGUYÊN HÀM

I) Định nghĩa nguyên hàm :

Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D

F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x), ∀x∈D

II) Định nghĩa tích phân không xác định :

Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác định của hàm f(x)

Ký hiệu : ∫f x dx F x C( ) = ( )+ (Họ các nguyên hàm)

III) Bảng các nguyên hàm :

dx x C= +

∫

1

x

1

α+

α +

∫

dx ln x C

∫

∫

x

ln a

∫

cosxdx sin x C= +

∫

sin xdx= −cosx C+

∫

cos x

∫ 2

sin x

kdx kx C= +

∫

α +

∫

1

ax b 1

+

ax b 1 ax b

a

∫

a

∫

a

∫ ( + ) = ( + +)

a cos ax b

( + ) = − ( + +)

∫ 2

a sin ax b

TÍCH PHÂN

I) Định nghĩa tích phân xác định :

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K

F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b]

Ký hiệu : b ( )

a

f x dx

∫

a a

f x dx = F x  = F b − F a

∫

Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)

a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân

II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K

a

f x dx 0=

∫

f x dx= f x dx+ f x dx c ∈ a;b 

a

f x ≥ ∀ ∈0, x a;b ⇒∫f x dx 0≥

f x ≥g x , x a;b∀ ∈ ⇒∫f x dx≥∫g x dx

a

a

t biến thiên trên đoạn a;b ⇒G t =∫f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a =0

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1) Diện tích hình phẳng :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó

y1, y2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau :

b

a

S =∫f x − f x dx

2) Thể tích vật thể tròn xoay :

• Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = a, x = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể

Ox

V = π∫y dx = π ∫f x dx

• Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, y = a, y = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể

Oy

V = π∫x dy = π ∫g y dy (Dành cho ban nâng cao!)

Chủ đề III : BÀI TẬP NGUYÊN HÀM

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất

1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1 f(x) = 2

4 3 2

x

x + ĐS F(x) = C

x

x −3+ 3

2 3

2

2 1)

(

x

x − ĐS F(x) = C

x x x

+ +

− 2 1 3

3

3 f(x) = 1 32

x

x − ĐS F(x) = 2 x−3 3 x2 +C

4 f(x) =

2 sin

2 2 x

ĐS F(x) = x – sinx + C

5 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

6 14 f(x) =

x x

x

2

2 cos sin

2 cos

ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

7 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos 5x− cosx+C

5 1

8 f(x) = ex(2 + )

cos2x

e−x

ĐS F(x) = 2ex + tanx + C

9 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C

a

a x x

+ + 3 ln

3 ln

2

f(x)

=

5 f(x)

=

- + ; 12/f(x) = sin 7x cos 5x cos x 13/

2

17x f(x)

=

-14 f(x) = x+ 3 x+ 4 x ĐS F(x) = x + x + x +C

5

4 4

3 3

5 3

4 2 3

15 f(x) =

2 2

x

−

16 f(x) = 3 1

x

ĐS F(x) = x −x3 +C

2 3 5

17 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

18 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+ sin 2x+C

4

1 2

1

19 f(x) =

x

2 cos

sin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

20 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos 3x+C

3

1

21 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos 5x− cosx+C

5 1

22 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x −e x +C

2

1

23 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1 +C

3 1

2/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ?

1 f(x) = 2 – x2 và F(2) = 7/3 ĐS F(x) = 1

3 2

3

+

−x

2 f(x) = 4 x −x và F(4) = 0 ĐS F(x) =

3

40 2 3

−

−x

x x

3 f (x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3 ĐS F(x) = x4 – x3 + 2x + 3

4

1 x x

1 x x x

)

x

+ +

− + +

3

1 F(1) = ĐS ?

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = ∫f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt U = u(x) Đặt U = u(x)⇒dU u x dx= '( )

I = ∫ f u x u x dx[ ( )] '( ) =∫ f U dU( )

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ∫ x2 + 7xdx

)

1

2

) 5

x

x

5

x

x

3 2

2 5

3

; b ∫e x +1

dx

) 1

x

dx

x

x

∫ln3 ; 8.∫x e x2 + 1dx

x

x

5

cos

sin

; 10 ∫cotgxdx ; 11 ∫costgxdx2 x ;12

∫sindx x ;

13 ∫cosdx x ; 14 ∫ dx

x

e x

x

e

dx e

x

e tgx

2

cos ; 17 ∫cos 3 xsin 2xdx ; 18 ∫x x− 1 dx

;

Cố gắng các em nhé !

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên K thì

∫u(x).v' (x)dx =u(x).v(x) −∫v(x).u' (x)dx

Hay

∫udv =uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

19.∫(x2 + 5 ) sinxdx

; 20 ∫(x2 + 2x+ 3 ) cosxdx

; 21.∫xsin 2xdx ; 22.∫xcos 2xdx; 23.∫x.e x dx; 24

∫lnxdx

25∫x ln xdx; 26.∫ln 2 x dx; 27.∫lnxdx x ; 28.∫ dx

x

x

2

cos ; 29 ∫sin x dx; 30 ∫ln(x2 + 1 )dx

; 31

∫e x cosxdx ; 32.∫x3e x2dx

; 33.∫xln( 1 +x2 )dx

; 34.∫2x xdx ; 35.∫x lg xdx ; 36.∫2xln( 1 +x)dx

x

x

2

) 1

ln(

; 38.∫x2 cos 2xdx

TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG.

DẠNG 1 : Tính tích phân bằng định nghĩa

PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm

Bài 1 : Tính các tích phân :

1/ x(x2 1 )dx

1

0

+

∫ ; 2/ x x(x2 1)dx

16 1

−

x

x x

∫8 − +

1 3

2 5 3

x x

x

∫4 −

1

3

) 1 (

Bài 2 : Tính các tích phân :

x

∫2 −

1 5 3

3

x

x

∫2 −−

11 2

1 2

x

x x

∫5 −− +

4

2

3

5 2

x x

x

∫5 − − +

4

2 3 2

3 2

x x

∫5 − +

4

2 3 2 1

x x

x

∫4 −− +

3

2 3 2

3

x x

∫5 − +

4

2 6 9

3

x x

x

∫5 − − +

4

2 6 9

1 2

x

2

1











− + ; 10/

dx

x

x

∫1 +

0

2

3

1

Bài 3 : Tính các tích phân :

0

cos 3 cos

π

xdx

x ; 2/ ∫2

0

sin 2 sin

π

xdx

x ; 3/ ∫2

0

3 sin cos

π

xdx

x ; 4/ ∫2

0

5 cos 2 sin

π

xdx x

5/∫2

0

4

cos

π

xdx ; 6/∫3

6

2

2 cos sin 1 π

π

dx x

x ; 7/ ∫3

6

2

2 cos sin

2 cos π

π

dx x x

x

x

e e

x

cos 3 (

4 0

2

∫ + −

π

DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2

* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ∫b

a

dx x u x u

f[ ( )] ' ( ) ( trong đó u(x) là hàm số biến

x)

*Phương pháp:

+ Đặt U = u(x) ⇒ dU = u’(x)dx

+ Đổi cận : Khi x = a⇒U = u(a), khi x = b ⇒U= u(b)

+ Thay thế :

Khi đó ∫b

a

dx x u x u

f[ ( )] ' ( ) =

( ) ( )

( )

u b

u a

f U dU

*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu,

Bài 1 :Tính các tích phân :

1/ ∫8 +

3 1 x dx

x

; 2/ ∫1 +

0

8

15 1 x dx

0 1 x dx

x

; 4/ln∫2 −

0

1dx

e x

; 5/∫2 +

1 x 1 x2

dx

2 x 1 x2

dx

Bài 2 : Tính các tích phân :

1/ e x xdx

∫1 − +

0

2

2

; 2/ e x cosxdx

2 0

sin 2 1

∫ +

π

; 3/ e e x e x dx

∫1 0

; 4/∫e e x x dx

1

ln

x

e tgx

∫2

0 2

cos

π

; 6/

dx

x

e tgx

∫2

0

2

cos

π

Bài 3 :Tính các tích phân :

x

x

∫2 +

01 2cos

sin

π

x x e

e

∫

2

ln

1

; 3/∫1

0

sine dx

e x x

; 4/∫ + −

1

0

dx e e

e x x

x

; 5/27∫ +

1 x(1 3 x)dx

dx

; 6/

∫

π

0

4

2 ln

0

x

e

dx

; 8/ ∫2

6 3

sin cos π

x

dx x

x

; 9/2∫ln2 −

2

ln e x 1

dx

; 10/ ∫2 +

0

3 3

3

cos sin

sin

π

dx x x

x ; 11/

3

2

0

cos

x

dx

π

+

∫

DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần

* Aùp dụng cho những tích phân có dạng ∫b

a

dx x v x

u( ) ' ( ) ( trong đó u(x), v’(x) là

những hàm số biến x)

*Phương pháp:

+ Đặt







=

=

dx x v dv

x u

u

) ('

)

(

ta có







=

= ) (

)

('

x v v

dx x u du

Khi đó ∫b

a

dx x v x

u( ) ' ( ) = b

a

x v x

u( ) ( ) -∫b

a

dx x v x

u' ( ) ( )

*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …

- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv( cụ thể Thầy đã dạy ở phần lý thuyết)

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1/ ∫2

0

cos

π

xdx

e x ; 2/ ∫2

4 2

sin

π

π

dx x

x

; 3/∫π

0 2

cos

sin

dx x

x x

; 4/∫1 +

0

2 ) 1 ln( x dx

0

2

) (ln ; 6/ ∫2 ++

61 cos sin π

π

dx x

x x

7/ ∫2

0

2sin

π

xdx

1

2

) ln 1

e dx x

1

ln ; 10/ ∫2

0

sin

π

xdx

0

) 1 ln( x dx

dx x x

e

e









2

ln

1

ln

1

2

DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1

* Aùp dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức a2 −x2 , 2 1 2

x

a + mà không thể

tính bằng các phương đã học

*Phương pháp:

+ Đặt biến mới

-Dạng chứa a2 −x2 : Đặt x = asint, t∈  − 

2

; 2

π π

- Dạng chứa 2 1 2

x

a + : Đặt x = atant, t 







−

∈

2

; 2

π π

+ Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2

Bài tập : Tính các tích phân sau :

1/∫a x a −x dx

0

2 2 2

( a > 0 ) 2/ dx

x

x

∫1 − 2 2

2

2 1

3/∫e x −dx x

1 4 ln2

4/∫1 −x + x+ dx

0

2 2 3 5/∫3 +

0 2

9

1 dx

1 1

2 2 5

1

dx x x

7/∫3 −

1 2 4 2

1

dx x

0

2

2 1 x dx

1 2 4 2

x x

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

BÀI TOÁN 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [ ]a b; Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới

hạn bởi (Chỉ Thầy Trò ta ký hiệu thế này thôi nhé !!!  )

- Đồ thị hàm số y= f x( )

- Trục Ox : ( y=0 )

- Hai đường thẳng x a x b= ; =

Được xác định bởi công thức : b ( )

S =∫ f x dx

1) Tính S D =? , biết D giới hạn bởi đồ thị: 2

2

y x= − x, x= −1,x=2 và trục Ox 2) Tính S D =?, biết D={y xe y= x, =0,x= −1,x=2}

3) Tính S D =? với D={ y= − −x2 4 ,x x= −1,x= −3}

4) Tính S D =?, với , 0, , 0

3

D=y tgx x= = x=π y= 

5) Tính S D =?, 2

ln

x

x

6) Tính S D =?, 1, , 0, ln

2

x

x

7) Tính S D =? 2 3 1, 0, 1, 0

1

x

+

8) Tính S D =?, sin2 cos ,3 0, 0,

2

BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi… : (Xem kỷ lại lý thuyết Thầy đã dạy)

+ ( )C1 :y= f x( ) , ( )C2 :y g x= ( )

+ đường thẳng x a x b= , =

Được xác định bởi công thức: b ( ) ( )

a

S =∫ f x −g x dx

PP giải: B1: Giải phương trình : f x( ) =g x( ) tìm nghiệm x x1, , ,2 x n∈( )a b; (x1<x2 < < x n)

B2: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

, ,

n

n

1) Tính S D =?, { ( )5 }

D= y= +x y e x= = x= 2)Tính S D =? , 2 2

3) Tính S D =?, D={y= +2 sin ,x y= +1 cos ,2 x x∈[ ]0;π }

4) Tìm bsao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ): 2 2

1

x

x

= + và các đường thẳng

y= x= x b= bằng π4

BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị: y= f x y g x x a( ), = ( ), =

Khi đó diện tích x0( ( ) ( ) )

a

S = ∫ f x −g x dx với x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

( ) ( )

f x =g x .

1) Tính S H =? , với H ={y e y e= x, = −x,x=1}

2) Tính S H =?, H ={y x= 1+x Ox x2, , =1}

3) Tính S D =? 3 1, ,

1

x

x

− −

−

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2 ;x 3 ; 0

y= y= −x x= 5) Tính S H =? , H ={x= y x y, + − =2 0,y=0}

BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số:

( ); ( )

y= f x y g x=

PP giải: B1 : Giải phương trình f x( ) −g x( ) =0 có nghiệm x1 <x2 < < x n

B2: Ta có diện tích hình ( )D : x n ( ) ( )

S =∫ f x −g x dx

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x= 2−2x ; y= − +x2 4x

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y= − +x2 2x và y= −3x

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y2−2y x+ =0 và x y+ =0

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y2+ − =x 5 0 và x y+ − =3 0

5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2

y= x − x+ và y x= +3 6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 2

4

x

y= − và 2

4 2

x

y=

:ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường:

( )

y= f x ; y=0; x a x b a b= ; = ;( < ) xung quanh trục Ox”.

PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 b ( )2

V =π∫ y dx=π∫ f x dx

Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: x= f y( )

; x=0; y a y b a b= ; = ;( < ) xung quanh trục Oy”.

PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 b ( )2

V =π∫ x dy=π∫ f y dy

1) Cho hình phẳng D giới hạn bởi : , 0, 0,

3

D=y tgx y= = x= x=π

a) Tính diện tích hình phẳng D

b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox

2) Cho hình phẳng ( )D giới hạn bởi ( )P y: 2 =8x và đường thẳng x=2 Tính thể tích khối tròn xoay khi lần lượt quay hình phẳng ( )D quanh trục Ox.

BÀI TOÁN II : “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các

đường: y= f x( ) ; y g x= ( ) ; x a x b a b= ; = ;( < ) xung quanh trục Ox”.

PP giải: Ta áp dụng công thức b 2( ) 2( )

V =π∫ f x −g x dx

1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

2) Cho hình phẳng D giới hạn bởi y= −4 x y x2; = 2+2 Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này.

BÀI TẬP

1) Tính V Ox biết: D={y x= ln ,x y=0,x=1,x e= }

2) Cho D là miền giới hạn bởi đồ thị 2 ; 0; 0;

4

y tg x y= = x= x=π a) Tính diện tích miền phẳng D

b) Cho D quay quanh Ox, tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành.

3) Tính V Ox biết: 3, 2

3

x

D=y= y x= 

4) Tính V Ox biết: 0; 1 sin4 cos4 ; 0,

2

5) Tính V Ox biết: D={x2+ − =y 5 0;x y+ − =3 0}

6) Tính V Ox biết: D={ y=2 ;x y2 =2x+4}

7) Tính V Ox biết: D={ y x= 2−4x+6;y= − −x2 2x+6}

8) Tính V Ox biết: D={ y x y= 2; = x}

CÁC BÀI TẬP DỄ VÀ HAY!

1.y= x e x , trục Ox, x=1, x = 2 ; 2 y = lnx , x =1 , x = 2 và trục Ox

3.y = x3 + 1, Ox, Oy và x = 1 ; 4 y = 1 – x2 , y = 0

5.y = cosx, y = 0, x = 0 và x = π.; 6 y = tanx , y = 0, x = 0 và x = π4 .

7.y2 = x3 , y = 0, x = 1 y = sin2x; 8 y = 0, x = 0 và x = π

x

xe , y = 0, x = 0, x = 1 ; 10 y = -x2 + 2x, trục hoành

Bài tập tích phân từng phần

1

3

3 1

ln

e

x dx x

1

ln

e

∫ 3

1

2

0

1

ln

e

∫

5

3

3 1

ln

e

x dx x

∫ 6

1

ln

e

1

2

0

1

ln

e

∫

9 2

0

π

+

1

1

e

x

+

2 2

1

ln( x + x dx )

∫ 12

3

2

4

tan

π

π∫

13

2

5 1

ln x dx x

2

0

cos

π

1

0

x

xe dx

2

0

cos

x

π

∫

Tính các tích phân sau

1) ∫1

0

3

.e dx

x x

2) ∫2 −

0

cos ) 1 (

π

xdx

0

3 sin ) 2 (

π

xdx

0

2 sin

π

xdx

x

5) ∫e x xdx

1

1

2).ln 1

1

ln

4x x dx 8) ∫1 +

0

2 ).

3 ln(

9) ∫ +

2

1

2 1)

10) ∫π

0

cos x dx

0

2.cos

π

dx x

0

2 2 ).sin (

π

dx x x x

13)

2

5

1

ln xdx

x

0

x cos xdx

π

1 x 0

e sin xdx

2

0

sin xdx

π

∫ 17)

e 2 1

x ln xdx

18) 3

2

0

x sin xdx

cos x

π

+

0

xsin x cos xdx

π

0

x(2cos x 1)dx

π

−

2 2 1

ln(1 x)dx x

+

22)

1

2 2x

0

(x 1) e dx+

e

2 1

(x ln x) dx

0

cosx.ln(1 cosx)dx

π

+

25) 2

1

ln

e

e

x dx

x+

1 2 0

xtg xdx

0

2

) 2

28) 1∫ +

0

2) 1

x

x

1

ln

30) ∫ +2

0

3 )sin cos

(

π

xdx x

0

) 1 ln(

) 7 2

2

ln( x x dx