- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có B2: d là tiếp tuyến của C hệ phương trình sau có nghiệm : B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào 1
Trang 1ủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1: Một số bài toán về hàm số đồng biến, nghịch biến:
1/ Điều kiện để hàm số luôn luôn nghịch biến :
Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với
hằng số thì điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là:y’< 0
Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức
bậc nhất thì hàm số không thể luôn luôn nghịch biến
.Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức
bậc 2 Đ/k để hàm số luôn luôn đồng biến là:
y’ 0 x
(Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a=
0 )
2/ Điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến :
Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với
hằng số thì điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là:y’> 0
Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức
bậc nhất thì hàm số không thể luôn luôn đồng biến
.Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức
bậc 2 đ/k để hàm số luôn luôn đồng biến là:
Trang 22/ Tìm m để hàm số y= (m+1)x3–3(m–2)x2 +3(m+2)x+1 tăng (đồng biến)trên R
Giải
Txđ: , y/=3(m+1)x2 - 6(m-2)x +3(m+2)
Để hàm số luôn đồng biến trên R y/ 0 x 3(m+1)x2 - 6(m-2)x +3(m+2) 0 x(1)
Nếu m= –1 (1) -18x+3 0 x x (không thoả x )
Nếu m –1: điều kiện để (1) xảy ra là
Vậy m>1 là giá trị thoả ycbt
Bài tập đề nghị:
1/ Xét chiều biến thiên của các hàm sớ:
6 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến trên R
Trang 3Vấn đề 2 : Một số bài toán về cực trị :
1/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x 0 :
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực
đại,cực tiểu): (tham khảo)
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu
6/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3nghiệm phân biệt
Một số ví dụ:
1/Xác định m để hàm số: đạt cực đại tại x=2
Trang 4Ta có học sinh tự giải tiếp tục.
3/Định m để hàm số y= có cực đại, cựctiểu
Giải
Txđ :D= R ; y/= 3x2 -6mx +3(m2-m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu y/=0 có 2 nghiệm phân biệt 3x2 -6mx +3(m2-m)=0 có 2 nghiệm phân biệt 9m2 -9m2 +9m >0 m>0 vậy m>0 là giá trị cần tìm
Bài tập đề nghị:
1 Tìm cực trị của các hàm sĩ.
2: Định m để y= đạt cực đại tại x=1
3: Cho hàm số y= Định a,b để hàm số đạt cực trịbằng –2 tại x=1
4 Tìm m để các hàm sớ sau cĩ cực đại và cực tiểu.
Trang 5Phương pháp giải :
*Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định hay một khoảng :
-Tìm tập xác định
-Tính y’, tìm các nghiệm của phương trình y’=0 hay tại đĩ y’ khơng xác định
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên GTLN, GTNN
* Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các nghiệm của phương trình y’=0 thuộc đoạn [a;b] Giả sử cácnghiệm là x1, x2,…, xn
- Tính các giá trị f(a), f(x1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN là số lớnnhất trong các giá trị vừa tìm được, GTNN là giá trị nhỏnhất trong các số vừa tìm được
Trang 6Ta có y( = ; y(1)=3 ; y(2)=
= f( =f(2)= ;
Bài tập đề nghị :
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm sớ sau:
1) y = x2 – 2x + 2 2) y = -x2 + 4x + 1 3) y = x3 – 3x2 + 1
4) y = x2 + 2x – 5 trên đọan [-2 ; 3] 5) y = x2 – 2x + 3 trên đọan [2 ; 5]6) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1] 7) y = trên đọan [-4 ; 0]8) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2] 9) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3]10) y = x4 – 2x2 + 1 trên đọan [1 ; 4] 11) y = trên đọan [2 ; 5]
12) y = x + trên khỏang (0 ; + ) 13) y = x - trên nữa khỏang (0 ; 2]14) y = trên đọan [1 ; 4] 15) y = trên đọan [-3 ; 3]16) y = trên đọan [-8 ; 6]
17 Tìm GTLN và GTNN của hàm sớ trên đoạn
18 Tìm GTLN và GTNN của hàm sớ trên đoạn
19 Tìm GTLN, GTNN của hàm sớ: trên đoạn
20 Tìm GTLN và GTNN của hàm sớ trên đoạn
21 Tìm GTLN và GTNN của hàm sớ trên đoạn
Trang 722 Tìm GTLN và GTNN của hàm sớ trên đoạn
23 Tìm GTNN, GTLN của hàm sớ:
24 Tìm GTLN, GTNN của hàm sớ
25 Tìm GTLN, GTNN của hàm sớ
Vấn đề 4 Tiệm cận
1) Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang
a) Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm sớ y=f(x) nếu:
b) Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm sớ y=f(x) nếu:
I/ Khảo sát hàm đa thức và hàm phân thức
1) Kiến thức trọng tâm ( Xem sgk trang 31 – trang 38)
2) Bài tập áp dụng:
a) Hàm bậc ba:
1) y=-x3 +3x+2 ( a<0 và y’=0 có 2 nghiệm phân biệt)
2) y=x3 +4x2+4x (a>0 và y’=0 có 2 nghiệm phân biệt)
3) y= x3+x2+9x (a>0 và y’=0 vô nghiệm)
4) y= -x3+x2-9x (a<0 và y’=0 vô nghiệm)
Trang 85) y= -x3+3x2-3x-2 (a<0 và y’=0 có nghiệm kép)
6) y= x3+3x2+3x-1 (a>0 và y’=0 có nghiệm kép)
b) Hàm trùng phương
1) (a>0 và y’=0 có 3 nghiệm phân biệt)
2) y=-x4 + 2x2+2 (a<0 và y’=0 có 3 nghiệm phân biệt)
3) (a<0 và y’=0 có 1 nghiệm )
4) y= x4 +2x2+1 (a>0 và y’=0 có 1 nghiệm)
c) Hàm số:
1) (y’<0)
2) (y’>0)
Bài tập đề nghị:
Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:
1/ y=x3 – 3x2 2/ y= - x3 + 3x – 2 3/ y= x3 + 3x2 + 4x -8
* Bài toán 1: Vị trí tương đối giữa hai đồ thị
1) Tìm số giao điểm của hai đường:
Giả sử hàm số y=f(x)có đồ thị (C1) và hàm số y=g(x) có đồ thị (C2)
Trang 9* Hoành độ giao điểm (nếu có ) là nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (*)
Nếu x0, x1, x2, x3,… là nghiệm của phương trình (*) thì các điểm M0(x0;f(x0)), M1(x1; f(x1)),… là các giao điểm của (1) và (C2)
+Đặc biệt: (C1) tiếp xúc (C2) có nghiệm
2) Biện luận số giao điểm của (C ): y=f(x)
và đường thẳng (d) qua A(xA; yA): y=k(x-xA)+yA
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và (d):y = k(x-xA)+yA (*)
a) Nếu phương trình (*) bậc hai: ax2+bx+c=0
Tính và xét dấu số giao điểm của (C ) và (d)
b) Nếu phương trình (*) bậc ba thì phân tích thành:
- Giải và biện luận (2)
- Số giao điểm của (1) và (2) là số giao điểm của (C) và (d)
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường
thẳng y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số
tại hai điểm phân biệt
3) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x,m)=0 (1)
B1: Từ phương trình f(x,m)=0 <-> f(x)=g(m), Số nghiệm của phương trình (1)
bằng với số giao điểm của hai đồ thị: và y=g(m) (d)
B2: Dựa vào đồ thị để kết luận số giao điểm
( * Chú ý: biện luận dựa vào đồ thị ta dựa vào ycđ và yct
của hàm số )
Ví dụ: Cho hàm số y= -x3+3x
1)Khảo sát và vẽ đthị (C)
2)Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3-3x+m=0
Trang 10* Bài toán 2: Tiếp tuyến với đồ thị
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếptuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;y 0 ) :
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : =k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 f(x0) phương trình tiếp tuyến
Chú ý:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có
B2: d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm :
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp
tuyến thế vào (1) phương trình tiếp tuyến
*Bài toán 3: Tìm trên đồ thị (C): y=f(x) có tọa độ nguyên:
B1: chia đa thức: y= thương (nguyên) + dư/mẫu số
Trang 11B2: Với x nguyên, để y nguyên thì dư là ước của mẫu sốB3: Giải mẫu số x= y= , rồi kết luận
Ví dụ: Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C) củahàm số
Bài tập đề nghị:
Câu 1: Cho hàm sớ
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sớ (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
4 Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng:
5 Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung
6 Biện luận sớ nghiệm của phương trình: theo m
7 Biện luận sớ nghiệm của phương trình: theo m (tham khảo)
Câu 2: Cho hàm số
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm
3 Biện luận số nghiệm của pt:
Câu 3:1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm sớ
2 Dựa vào đồ thị , biện luận theo sớ nghiệm của phương trình:
Câu 4: Cho hàm sớ
Trang 121 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sớ.
2 Biện luận theo m sớ nghiệm thực của phương trình
Câu 5: Cho hàm sớ cĩ đồ thị
1 Khảo sát hàm sớ
2 Dựa vào , tìm m để phương trình: cĩ 4 nghiệm phân biệt
Câu 6: Cho hàm sớ , gọi đồ thị của hàm sớ là
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sớ
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm cực đại của
Câu 7: Cho hàm sớ: cĩ đồ thị
1 Khảo sát hàm sớ
2 Cho điểm cĩ hoành độ là Viết phương trình đường thẳng d đi qua
M và là tiếp tuyến của
Câu 8: Cho hàm sớ cĩ đồ thị , m là tham sớ
1 Khảo sát và vẽ đồ của hàm sớ khi m=1
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cĩ hoành độ
Câu 9:
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm sớ
2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cĩ hoành độ là nghiệm của phương trình y/=0
Câu 10: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phươngtrình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoànhđộ = 4
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3 d/ Biết tiếp tuyếnsong song với đường thẳng
Trang 13a Tại điểm cĩ hoành độ
b Tại điểm cĩ tung độ y = 3
c Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
d Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng:
Câu 12 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm cĩ tung độ bằng -1
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5
c) Vuơng gĩc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0
Câu 13 Cho (C) : y = Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5
c) Vuơng gĩc với đường thẳng d2: y = -x
d) Tại giao điểm của hai tiệm cận
Câu 14 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
b) y = đi qua điểm A(0 ;
c) y = đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y = đi qua điểm A(2 ; 1)
Câu 15: (ĐH -KA –2002) (C):
a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m =1
b- Tìm k để pt : Có 3 nghiệm phân biệt
Câu 16: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
* Tại điểm có hoành độ bằng
* Tại điểm có tung độ bằng 3
* Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007
* Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y =
Câu 17: Cho hs : ( C )
a-Khảo sát vẽ đồ thị ( C )
Trang 14b-CMR: Đường thẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểmphân biệt A;B với mọi m Xác định m để AB ngắn nhất (Nângcao)
Câu 18: - Cho hs : ( C )
a- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b-Tìm m đường thẳng y= mx+m+3 cắt đồ thị (C) tại haiđiểm phân biệt
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thịhàm số với trục tung
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm củađồ thị hàm số với trục hoành
e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyếnsong song với đường thẳng
Câu 19: Cho HS ( C ) y = x3 - 6x2 +9x-1
a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
b- Đường thẳng (d) qua A(2;1) có hệ số góc m Tìm m để (d)cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Câu 20: Cho hàm số , gọi đồ thị là (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
b)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cựcđại của (C)
Câu 21: Cho hàm số
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song vớiđường thẳng
y = 4x -2
c Viết phương trình tiếp tuyến với © biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường phân giác thứ nhất
Câu 22) Cho hàm sớ y = -x3 + 3x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sớ
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m sớ nghiệm của phương trình x3 – 3x + m = 0.c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cĩ hịanh độ x0 = 1
Câu 23) Cho hàm sớ y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sớ
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với đường thẳng y =
Trang 15c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Câu 24) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = - 9x + 1
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
Câu 25) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)
Câu 26) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
Câu 27) Cho hàm số y = x3 + x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Câu 28)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hòanh độ x =
Câu 29) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Câu 30) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ;
Câu 31) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Trang 16Câu 32)Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = -2x + 1
Câu 33) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hòanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = -x + 2
Câu 34) Cho hàm số y = (H)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung
Câu 35) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hòanh
c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt
Câu 36) Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4)
Câu 37) Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y=x+4
Câu 38) Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-3y-6=0
Câu 39) Cho hàm số: (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2005
Trang 17ủ đề 2:
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I) HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Trang 18Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx
Ở phần này xem như các đk đã cĩ đủ để logarit cĩ nghĩa
4 Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ
cấp thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)
Trang 195 BẢNG ĐẠO HÀM.
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tập: LUỸ THỪA Bài 1:Tính a)
