phương pháp dạy học tích phân

2.1 Phương pháp xác định nguyên hàm Một số bài toán chúng ta dùng đến định nghĩa và các phép phân tích cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số... 2.4 Một số phương pháp khác 2.4.1 Phương ph

2) Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 12

cos x trên khoảng

 

Định lí:

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm f trên K

b) Với mỗi nguyên hàm G của hàm f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C  x K

1.2 Nguyên hàm một số hàm số thường gặp

Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm Việc tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn Sau đây là bảng tính nguyên hàm các hàm số thường gặp

1 2

x

11

được nguyên hàm bởi cách trên Cần giới thiệu cho học sinh một số phương pháp tính nguyên hàm hiệu qua hơn

2.1 Phương pháp xác định nguyên hàm

Một số bài toán chúng ta dùng đến định nghĩa và các phép phân tích cơ bản

để tìm nguyên hàm của hàm số

Định nghĩa: Giả sử y  f(x) liên tục trên khoảng (a; b), khi đó hàm số y 

F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a;b)

Vì (uv)’ = u’v + uv’, ( )'u u 'v 2uv'

2.2 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí:

Quy trình:

Bước 1: Chọn x  (t), trong đó (t) là hàm số ta chọn cho thích hợp

Bước 2: lấy vi phân dx = '(t) dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Tính I g(t)dt

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Bước 1: Chọn t  (x), trong đó (x) là hàm số được chọn sao cho phù hợp

15

x ln(x x 1I

2.4 Một số phương pháp khác

2.4.1 Phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác định nguyên hàm của f(x) bằng kĩ thuật dùng nguyên hàm phụ là tìm kiếm một hàm số g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f (x) g(x) dễ xác định hơn so với hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)

Quy trình:

Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f (x) g(x) tức là:

1 2

F(x) G(x) A(x) C

(I)F(x) G(x) B(x) C

sinx cosx d(sinx cosx)

Tổng hợp, hệ thống lại lí thuyết nguyên hàm là một trong những hoạt động quan trọng của dạy học nguyên hàm Nó giúp học sinh nắm bắt cơ sở lí thuyết để vận dụng vào làm bài tập

Tính tích phân bất định (nguyên hàm) là một trong những phần quan trọng của chương trình toán 12 ở Trung Học Phổ Thông, nó có hệ thống bài tập rất đa dạng, phong phú Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp được học để làm bài tập là một hoạt động quan trọng Học sinh nhận biết được bài tập, đưa ra các phương pháp giải phù hợp chính là thành công hay nói đúng hơn là việc dạy học phần nguyên hàm đạt được mục tiêu đề ra Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán chúng tôi xin đưa ra một số hoạt động dạy học giải bài tập trong phần tích phân bất định

Chương II – MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA

Ví dụ 1: Xác định họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x2 + 3x + 2)ex

Giáo viên đặt câu hỏi mở:

– Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa nguyên hàm trên một khoảng?

Học sinh: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu f(x) = F’(x) với mọi x  K

– Hãy biến đổi f(x) về dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]ex ?

Học sinh: f(x) = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = [(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)’]ex – Hãy xét hàm số: F(x) = (x2 + x + 1)ex Tính F’(x) = ?

Học sinh: F’(x) = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = (x2 + 3x + 2)ex = f(x)

Lời giải:

Ta có: f(x) = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = [(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)’]ex Xét hàm số: F(x) = (x2 + x + 1)ex Ta có:

F’(x) = [(x2 + x + 1)ex]’ = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = (x2 + 3x + 2)ex = f(x) Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) = (x2 + x + 1)ex + C

Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tính nguyên hàm của hàm số dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]ex thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét hàm số F(x) = f(x)ex Nhận xét rằng:

F’(x) = f(x)ex + f’(x)ex = [f(x) + f’(x)]ex

Bước 2: Vậy F(x) = f(x)ex + C là nguyên hàm của hàm số f(x)

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Biến đổi f(x) về dạng: f(x) = u’v + uv’ ?

Vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = x 4 x + C

Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số

có dạng f(x) = u’v + uv’ thì ta làm như sau:

Bước 1: Xét hàm số: F(x) = u.v Ta thấy F’(x) = u’v + uv’

Bước 2: Vậy F(x) = u.v + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Chú ý: Trong một số bài toán thì ta có thể biến đổi hàm số f(x) thành một

trong hai dạng trên, tuy nhiên không phải bài toán nào cũng dễ dàng đưa được về

dạng như trên Ngoài phương pháp tính bằng định nghĩa như trên thì ta còn có thể sử dụng bảng nguyên hàm để giải một số bài toán tìm nguyên hàm

* Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Yêu cầu học sinh nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản ?

Học sinh: Nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản

)x(

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Với hàm số f(x) như vậy thì ta có thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm cơ bản hay chưa ?

Học sinh: Chưa

– Sử dụng các tính chất của lũy thừa để trả lời câu hỏi:

m

n n

n

x

x ; x x x

xx

x)x(

1 6

1 3 2 3

3 3

Học sinh:

Lời giải:

x

1x

xx

x)x(

1 6

1 3 2 3

3 3

7

6x

5

3dxx

xxdx

7 3

5 3

1 6

1 3 2

Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng có thể sử dụng ngay bảng

nguyên hàm cơ bản được, muốn sử dụng được thì ta phải trải qua một hoặc một

số bước biến đổi, phân tích Bây giờ ta sẽ xét thêm một số ví dụ sau:

Ví dụ 5: Tính nguyên hàm của hàm số sau:

a)

xcos.xsin

1)

x

(

b) f(x) = tan2 x

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

a) – Với hàm số này thì ta chưa thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm được, vậy ta phải biến đổi hàm số f(x) trên như thế nào?

Theo công thức lượng giác đã được học thì sin2x + cos2x = ? Áp dụng nó vào bài này như thế nào?

Học sinh: sin2x + cos2x = 1, do đó ta phân tích

xsin

1x

cos

1x

cos.xsin

xcosx

sin

2 2

2 2

2 2

1x

cos

1x

cos.xsin

xcosx

sin

2 2

2 2

2 2







Suy ra:

.Cxcotxtan

dxxsin

1dx

xcos

1dx

xsin

1x

cos

1dx

)x(

11

)xtan1(1)

x(

11

)xtan1(1)

x(

Do đó, ta có:

.Cxtanx

dxxcos

1dx

dxxcos

11

dx)

Giáo viên đưa ra một số bài tập tương tự:

Bài 1 Xác định họ nguyên hàm của các hàm số sau:

Bài 2 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) =

3 2 2

x

1x

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Đây là đa thức bậc ba đơn giản, hãy phân tích (2x + 3)3 ?

2

)1x2(C8

tdt2

tdx)1x2(

4 4

tính tích phân Phương pháp đổi biến số này có hai dạng là: t = (x) và x = (t)

Ở bài trên ta đã sử dụng phương pháp đổi biến số dạng t = (x)

* Phương pháp đổi biến số dạng t = (x)

Bài toán 1: Tính tích phân bất định I = f(x)dx bằng phương pháp đổi biến số dạng: t = (x)

Quy trình giải toán

Bước 1 Chọn t = (x), trong đó (x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp rồi xác định x = (t) (nếu có thể);

x2

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh:

– Ở đây, hàm số

x1

x2

 thuộc dạng nào trong những dạng trên và ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số như thế nào ?

Học sinh: Hàm số có dạng: f (x, (x)) Ta đặt: t = 1x

– t phải có điều kiện gì ?

Học sinh: Điều kiện: t 0

t1(dxx1

x

2 2

– Để tính tích phân trên thì ta phải làm như thế nào?

Học sinh: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân theo t, sau đó thì thay t = 1 x vào

)15t

10t

t25

t(2dt

)1t2t(2dt

t

)t2)(

t1(dxx

1

x

I

2 2

4

3 5

2 4 2

dxI

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Hàm số trong dấu tích phân có dạng như thế nào ? Ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số như thế nào ?

Học sinh: f (x) 1

(x a)(x b)



Ta xét 2 trường hợp sau:

+ Với x > – 1 thì ta đặt t = x1  x2 Khi đó:

2x2

11

x2

)2x(2

1)

1x(2

01x

2x2

11

x2

x

12





Khi đó, ta có:

t

dt2

02x

01x

Suy ra:

dt = dx

)2x(2

1)

1x(2

1)

1x(

12

2x(1x(

1I

2

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Đối với bài toán này thì ta có thể áp dụng dấu hiệu nào ở trên không ? Học sinh: Không

x1x

t    thì x = ? Học sinh: Ta có:

t2

1tx1txt2

x1)tx(x1txx

1xt

2 2

2 2

2 2

1t2

2 

– Tính I = ?

x1)tx(x1t

x       



t2

1tx1txt2

Suy ra: dx = dt

t2

1t2

2  Khi đó, ta có:

Cx

1xlnC

tlndt

t

1dt

t2)1t(

)1t(t2

t thì dx = ? Bài toán sẽ trở thành thế nào?

tcos

tcosdt

tcos

1ttan1

x1

x

11

tsin

2 2

– Yêu cầu học sinh tính I = ?

tcos

tcosdt

tcos

1ttan1

x1

Quy trình giải toán:

Bước 1: Chọn x  (t), trong đó (t) là hàm số ta chọn cho thích hợp;

Bước 2: Lấy vi phân dx = '(t) dt;

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt;

Giáo viên đặt câu hỏi :

– Có dấu hiệu gì để nhận biết bài toán trên hay không ?

Học sinh: Hàm số trong dấu tích phân có dạng 2 2

a  x nên ta sẽ đặt x = sint – Với cách đặt như vậy thì t phải có điều kiện gì?

Học sinh: Điều kiện: t 2; 2

t2sint2

1dt2

t2cos1

Trên đây là một số dạng toán cơ bản và khá phổ biến, với mỗi dạng toán thì

có mỗi cách đổi biến khác nhau Tuy nhiên, trong thực tế thì có nhiều bài toán khi nhìn qua thì ta chưa thể nhìn ngay ra dạng nào và muốn giải được thì ta phải trải qua một số bước biến đổi, phân tích để đưa bài toán về một trong các dạng trên Và việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phép đặt ẩn phụ

thích hợp là một công việc hết sức quan trọng trong việc giải các bài toán Bây giờ ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 6: Tính tích phân bất định:     

3x2x3x2x

dx)1x2(

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Tích phân bất định trên có thuộc một trong những dạng trên hay không ? Học sinh: Không

dx)1x2(

2Đặt: t = x2 + x + 1  dt = (2x + 1)dx Khi đó:

Ví dụ 7: Tính: I = 4 3 5

xcosxsindx

Giáo viên hướng dẫn:

– Bây giờ ta sẽ phân tích biểu thức ở mẫu: 4 3 5

sin x cos x Hãy đưa hàm cosx hoặc sinx ra ngoài căn bậc bốn?

dxx

cosxtan

dxx

cosxsin

dx

Ta đặt: t = tanx  dt = dx

xcos

1

4 3 4 t C 4 tanxt

Ví dụ 8: Tính tích phân bất định sau: dx

2x

2x

2

 

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh:

– Phân tích: Làm thế nào để đưa biểu thức ở tử ra khỏi dấu căn? Nếu nhân

cả tử, cả mẫu với x2 2 ta được điều gì? Từ đó phân tích hàm số dưới dấu căn

Học sinh: Ta có:

2x

32

x

11

x

31

2x

1

1x

3)1x(2x

11

x.2x

2x1

x

2x

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

1I

1I

2 2

x

2 

2 2

t2x

2x

12



Học sinh:

dt)2x(1x.2x2

dt.2x)2x(1x.2x

dx

2 2 2

2

2 2

dt

1t1

t22

dt2t1

t2

2 2

2 2 2

2x3xln32

1

C13t

13tln32

11t3

)3t(d3

11t3

dtI

2 2

2

2 2

2 2

32

x

11

x

31

2x

1

1x

3)1x(2x

11

x.2x

2x1

x

2x

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

3I

2 2

t2x

2x

dt.2x)2x(1x.2x

dx

2 2 2

2

2 2

dt

1t1

t22

dt2t1

t2

2 2

2 2 2

2 2

2x3xln32

2x3xln2

dx

dxI

5 

xsin

dxI

1xx

1

dx

xsin1xcos

xsinI

- Lấy nguyên hàm hai vế ta được điều gì ?

Học sinh: (uv)'dx (u 'v uv')dx uv  vdu  udv

- Từ đó ta có: udv uv  vdu

Trong thực tế có rất nhiều bài toán khi tính tích phân udv thì rất khó khăn (hoặc không thể tính được theo các phương pháp đã học) nhưng nếu chuyển sang tính uv vdu thì sẽ dễ dàng hơn nhiều

Ví dụ 1: Tính I xcosxdx

Giáo viên hướng dẫn:

− Các em hãy tính I bằng phương pháp đặt ẩn phụ hay phân tích ?

− Việc tính I bằng các phương pháp trên là rất khó khăn, mà gần như là không thực hiện được Vậy các em hãy xem xsin xdx là udv và tính vdu ?

Học sinh:

v sin x ( cosxdx dv)cosx dv

Giáo viên: Như vậy với việc dùng phương pháp tích phân từng phần thì việc

những tích phân phức tạp sẽ được tính dễ dàng hơn bằng việc tính qua một tích

phân khác Phương pháp này sẽ phát huy hiệu quả nếu dùng đúng với những hàm số nhất định như hàm lượng giác, siêu việt

Dấu hiệu nhận biết một số hàm số sử dụng phương pháp tích phân từng phần:

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định 3

I  x cos xdx

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

− So với ví dụ 1 thì đa thức P(x) ở đây có bậc như thế nào?

− Nếu đặt u = x3, dv = cosxdx thì kết quả thế nào?

– Lúc này đa thức P’(x) của I1 có bậc như thế nào so với P(x)?

Học sinh: P’(x) có bậc giảm so với P(x) một bậc

– Sau một lần sử dụng tích phân từng phần thì đa thức P(x) hạ bậc Nếu chúng ta sử dụng nhiều lần thì sẽ chuyển về đa thức bậc một (đã xét ở ví dụ 1) rất dễ dàng cho việc tính toán

– Các em hãy tiếp tục tính I1 bằng phương pháp tích phân từng phần để hạ bậc P’(x) sau đó đưa về đa thức bậc một và hoàn thành

− Nếu P(x) có bậc n thì phải sử dụng n lần tính tích phân từng phần

− Những bài toán này có thể giải được nhanh hơn nếu thành thạo công thức Có thể rút ngắn công đoạn nếu biết đưa hàm số ra khỏi dấu vi phân Biến đổi về dạng P(x)L(x)dx P(x)du cũng là một hướng giải quyết (nếu biết vận dụng sẽ rất nhanh) Các em có học lực khá giỏi nên chú ý và có thể áp dụng

I x cos xdx x d(sinx) x sinx sin xd(x )

x sinx 3 x sin xdx x sinx 3 x d(cos x)

x sin x 3[x cos x cos xd(x )]

x sin x 3x cos x 6 x cos xdx

x sin x 3x cos x 6xd sin x

x sin x 3x cos x 6(x sin x cos x) C

Ví dụ 3: Tính tích phân bất định I sin(ln x)dx

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

− Hàm số sin(lnx) thuộc dạng nào?

− Xem P(x) là đa thức bậc 0 thì chúng ta phải đặt thế nào? Tính I?

Học sinh:

+) Thuộc dạng hàm lượng giác sinu(x) trong đó u(x) là một hàm siêu việt

+) Áp dụng bảng dấu hiệu đầu bài: Đặt u sin(ln x)

− Hãy so sánh sự khác biệt giữa tích phân I1 và I ?

− Nêu đặc điểm đạo hàm của hàm sin, cosin? Tính I1 ?

– Hãy xét xem hàm số trên có đặc điểm gì? Đối chiếu với bảng dấu hiệu hãy đưa ra cách đặt hợp lí

Học sinh: Hàm số trên là tích của hàm siêu việt và hàm lượng giác, cả hai hàm đều có tính chất đặc biệt của đạo hàm nên ta sẽ dùng tích phân luân hồi – Hãy áp dụng ví dụ 3 để hoàn thành ví dụ trên

cách biến đổi và phân tích các nhau, các em hãy nhớ dạng tổng quát của các hàm

số này và phương pháp tích phân từng phần để vận dụng vào mỗi bài toán cho hợp lí Giáo viên có thể ra thêm bài tập rèn luyện cho học sinh:

2.4 Một số bài toán giải bằng nhiều phương pháp

Ở phần này chúng tôi xin giới thiệu một số dạng toán điển hình có thể giải bằng nhiều cách khác nhau Tuy nhiên các em học sinh nên chọn nhanh nhất, hiệu quả nhất

Ví dụ 1: Tính tích phân bất định sau:    dx

)1x(

3

)1x(9

1v

dxx3du

)1x(

dxdv

xu

Khi đó: I =   



)1x(

x3

1)1x(9

x

9

2 9

3

Xem I1 =   dx

)1x(

x9

2

)1x(8

1v

xdx2du

)1x(

dxdv

xu

xdx4

1)1x(8

xdx

)1x(

x

Xem I1 =   dx

)1x(

)1x(7

1v

dxdu

)1x(

dxdv

xu

Khi đó:

C)1x(42

1)

1x(7

x)

1x(

dx7

1)1x(7

xdx

)1x

1)

1x(84

x)

1x(24

x)

1x(9

x

2 9

Học sinh: Ta phải tích phân từng phần 3 lần

– Như vậy, đối với bài toán này thì việc sử dụng phương pháp tích phân từng phần là khá phức tạp và mất nhiều thời gian Vậy ngoài phương pháp này thì còn có cách nào khác tính nhanh hơn và đơn giản hơn hay không?

Học sinh: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số

– Yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp đổi biến số ?

1x(

3)

1x(

3)

1x(

1)

1x(

3)

1x(

3)

1x(

1

)1x(9

1)

1x(8

3)

1x(7

3)

1x(6

1

9 8

Qua bài toán trên ta thấy rằng, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải

mà có thể có nhiều cách giải khác nhau Với mỗi bài toán thì ta có thể lựa chọn cách giải sao cho ngắn gọn, nhanh nhất để giải, ví dụ như ở bài toán trên thì ta nên sử dụng phương pháp đổi biến số hay phương pháp phân tích Sau đây ta sẽ xét thêm một số ví dụ khác:

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau:   5 3

xx

dx

Giáo viên đặt câu hỏi: