I .Góc giữa hai vectơ :Định nghĩa:Cho 2 vectơ và (khác ).Từ điểm O bất kì vẽ , . Góc với số đo từ 0 đến 180 gọi là góc giữa hai vectơ và KH : ( , ) hay ( ) Đặc biệt : Nếu ( , )=90 thì ta nói và vuông góc nhau .KH: hay Nếu ( , )=0 thì Nếu ( , )=180 thì II. Tích vơ hướng của hai vecto 1. Định nghĩa: Cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của là môt số kí hiệu: được xác định bởi công thức: Chú ý: gọi là bình phương vô hướng của vec . âm hay dương phụ thuộc vào .
Trang 1I Gĩc giữa hai vectơ : Định nghĩa:Cho 2 vectơ ar
và br (khác 0 r
).Từ điểm O bất kì vẽ OA auuur r=
,OB buuur r=
Gĩc AOB∧ với số đo từ 00 đến 1800 gọi là gĩc giữa hai vectơ ar
và br
KH : ( ar
, br) hay (b ar r ,
)
Đặc biệt : Nếu ( ar
, br)=900thì
ta nĩi ar
và br
vuơng gĩc nhau KH: a br⊥r hay br⊥ar
Nếu (ar
, br
)=00thì a br r⇑
Nếu (ar
, br
)=1800thì ar↑↓br
II Tích vơ hướng của hai vecto
1 Định nghĩa:
Cho hai vectơ a br r ,
khác 0 r
Tích vơ hướng của ar vàb r
là mơt số kí hiệu: a br r
được xác định bởi cơng thức:
a br r= a b Cos a br r r r
Chú ý:
* a br⊥ ⇔r a br r = 0
.
a br r= ⇔a b ar r r=
2
ar
gọi là bình phương vơ hướng của vec ar
.
* a br r
âm hay dương phụ thuộc vào Cos a b( , ) r r
.
2) Các tính chất :
Với 3 vectơ a b cr r r , ,
bất kỳ Với mọi số k ta cĩ:
a b b ar r r r=
a b cr r r+ =a b a cr r r r+
( ).k a b k a br r= ( )r r =a k br.( )r
* 2 2
ar ≥ ar = ⇔ =ar r
* Nhận xét :
2
2 2
2 2
uur
uur uur
r r r r
3 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng :
Cho 2 vectơ a a a b b br ( ; ), ( ; )1 2 r 1 2
Ta cĩ :
Nhận xét : a br r
= 0 khi và chỉ khi a b1 1 +a b2 2 =0 (a br r r, ≠ 0)
4 Ứng dụng :
Cho a a a b b br ( ; ), ( ; )1 2 r 1 2
b u r
b u r
a r
O
1 1 2 2
a b a br r= +a b
Trang 2a) Độ dài vectơ : ar = a12 +a22
b) Gĩc giữa hai vectơ :
Hoạt động luyện tập 1 Tính tích vơ hướng của hai vecto.
Phương pháp:
C1: Sử dụng định nghĩa :
-Tính a ; a và góc tạo bởi 2 vecto( )a ; b
-Áp dụng cơng thức a , b = a b cos( )a ; b
C2: Sử dụng các tc và các hằng đẳng thức
C3: Sử dụng cơng thức hình chiếu
C4: Sử dụng biểu thức tọa độ
Thí dụ :
Cho tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ AB =AC = a Tính AB AC ; AC CB
2 2
0
2
1 2 45
AC AB AC
AB
GIẢI
−
=
−
=
−
=
=
= >
⊥
BÀI TẬP
Bài 1.Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh a Tính AB AD ; AB AC ĐS: 0 ; a2
Bài 2.Cho tam giác ABC vuơng tại C cĩ AC = 9 và BC = 5 Tính AB AC ĐS:81
Bài 3.Cho tam giác ABC cĩ AB=2 BC = 4 và CA = 3
AD ra suy rồi AC
; AB theo AD
Tính BC với A góc của trong giác phân điểm giao
là
D
Gọi
.
d
GA GC GC GB GB
.
GA
Tính
.
c
BC AG Tính giác tam tâm trọng là G Gọi b A
cos ra suy AC
.
AB
Tính
.
a
+ +
HD:
5
6 3 6
29
3
5 3
1 3
1 3
2
4 1
=
−
− +
=
= >
+
=
=
−
=
−
=
AD :
ĐS
.
c
: ĐS AB AC AC AB BC
AG AC
AB AM
AG
.
b
A cos 2
3 -: ĐS : vế 2 phương bình
AB
AC
BC
Bài 4.Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G
a)Tính uuur uuur uuur uuurAB BC AB HC ;
(với H là chân đường cao thuộc BC)
b)Gọi I là điểm thỏa mãn uurIA− 2IBuur+ 4ICuur r= 0.CMR tứ giác BCIG là hình bình hành, từ đĩ tính:
IA AB AC IB IC IA IB+
uur uuur uuur uur uur uur uur
(sử dụng trung điểm M của BC)
cos( , )a br r
= a b a b..
r r
r r = 2 1 12 2 22 2
.
a b a b
+
Trang 3Bài 5.Cho hình vuơng ABCD cạnh a tâm O M là điểm tùy ý trên đtr nội tiếp hv và N là điểm
tùy ý trên cạnh BC Tính:
a)MA MB MC MDuuur uuur uuuuruuuur + (tính qua véc tơ tổng)
b)NA AB NO BAuuur uuur uuur uuur ;
(sử dụng B là hc của N trên AB, lấy K là trung điểm AB suy ra M là hc của
O trên AB)
Bài 6.Cho hình thang vuơng ABCD, đường cao AB=2; đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2 Tính:
a)uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD BD BC AC BD ; ;
b)uur uuurAI BD.
(với I là trung điểm CD)
Hoạt động luyện tập 2: Chưng minh một đẳng thức vec tơ cĩ liên quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức các độ dài.
Phương pháp :
-Ta sử dụng các phép tốn về vec tơ và các tính chất của tích vơ hướng
-Về độ dài ta chú ý :AB2 = 2
Thí dụ1 : Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kỳ
1.Chứng minh rằng MA BC + MB CA + MC AB = 0
2.Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh 2 2 2 2 2 2 2
MC MB
3.Suy ra 2 2 2 ( 2 2 2)
3
1
c b a GC
GB
GA + + = + + với a ; b ;c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Chưng minh
( )
( )
( )
( )
( 2 2 2) 2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2)
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
3
1 2
6
4 4
4 3
3 2
3
2 3
2 2
2 2
0
c b a GC GB GA ) c b a ( GC GB
GA
GA GB GC AC
CB
C
M
GC GA GB BC
BA
B
M
GC GB GA AC AB
A
M
.
GC GB GA MG GC
GB GA MG GC GB
GA
MG
GC MG GB MG GA MG GC GB GA
MG
VT
GC MG GC MG GC MG
MC
MC
GB MG GB MG GB MG
MB
MB
GA MG GA MG GA MG
MA
MA
.
MA MC MB MC MC MB MA MB MB
.
MA
MC
.
MA
) MA MB ( MC ) MC MA ( MB ) MB
MC
.(
MA
VT
+ +
= + +
= >
+ +
= +
+
= >
+ +
= +
= >
≡
+ +
= +
= >
≡
+ +
= +
= >
≡
+ + +
= = + + +
+ +
+
=
+ +
+ + + +
=
= >
+ +
= +
=
=
+ +
= +
=
=
+ +
= +
=
=
=
− +
− +
−
=
=
− +
− +
−
=
B1: BÀI TẬP:
Bài 1.Cho 2 điểm cố định A và B và M là một điểm bất kỳ H là hình chiếu của M lên AB và
I là trung điểm của AB.Chứng minh rằng :
IH AB MB
MA ) c
AB MI
MB MA
) b
AB MI
MB
.
MA
)
2
2 4
2 2
2 2
2 2
2
=
Bài 2.Cho tứ giác ABCD
a.Chứng minh rằng AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA 2 = 2 AC DB
b Chưng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD cĩ 2 đường chéo vuơng gĩc là
:AB2+CD2=BC2+AD2
Bài 3.Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ cạnh huyền BC = a√3 Gọi M là trung điểm của BC biết AM , BC = a Tính AB và AC ĐS : AB = a 2 AC = a
2 2
Trang 4Bài 4.Cho nữa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M và N là 2 điểm thuộc nữa
đương trịn và AM và BN cắt nhau tại I
a.Chưng minh AI AM = AI AB ; BI BN = BI BA
b.Từ đĩ tính AI.AM+BI.BN theo R
Bài 5.Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H và M là trung điểm BC Chứng minh
4
2 BC MA
Bài 6.Cho tứ giác ABCD cĩ 2 đường chéo AC và BD vuơng gĩc với nhau tại M và P là trung
điểm của AD Chứng minh MP ⊥ BC <= > MA MC = MB MD
Bài 7.Cho hai điểm A, B với trung điểm O, M là điểm tùy ý CMR: MA MB OMuuur uuur = 2 −OA2 (tính
vế trái bằng vp)
Bài 8.Cho nửa đtr đk AB Cĩ hai dây AC, BD cắt nhau tại E.
CMR: AE AC BE BD AB + = 2(tính các tích vt, cộng lại và bđ bằng vp)
Bài 9.Cho tam giác ABC, H là trực tâm, M là trung điểm BC CMR:
.
4
MH MA= BC
uuuur uuur
2
MH +MA = AH + BC
(sử dụng A1 là chân đcao AH và cĩ CH BMuuur uuuur = −CA CM CM BA CM BAuuur uuuur uuuuruuur uuuuruuur1 ; = 1 và thay vào tích cần tìm là MH MAuuuur uuur = (CH CM BA BMuuur uuuur uuur uuuur− )( − ); tính AH qua MH, MA để cĩ ý b)
Bài10.Cho tam giác ABC, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB CMR:
AM BC BN CA CP AB+ + =
uuuur uuur uuur uuur uuuruuur
Bài11.Cho tam giác ABC, đường cao AH, gọi I là trung điểm của trung tuyến AM CMR:
a)AB2 −AC2 = 2AB MH.
b)2MA2 + MB2 + MC2 = 4MI2 + 2IA2 + IB2 + IC2
Hoạt động luyện tập 3 Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x 1 ;y 1 ) B(x 2 ;y 2 ) và
C(x 3 ;y 3) Xác định hình dạng của tam giác ABC.
Phương pháp:
3 1
2 3 1
2 2 3
2 2 3
2 1 2
2 1
x AB
−
–Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều
–Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân
–Nếu AB = AC và BC = AB√2 => Tam giác ABC vuơng cân tại B
–Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuơng tại A
Ví dụ 1: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng
của tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC
GIẢI :
đvdt BC
.
BA
S
B tại vuông ABC
BC AB
CA BC
AB
;
CA
CA )
( BC
) ( AB
10 2
1
50 10 40 50
50 0
5 6 1 10
1 0 3 6 40
5 1 1
3
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
=
=
= >
∆
= >
+
=
= >
= +
= +
=
=
− +
−
=
= + +
−
=
=
−
− +
−
=
Trang 5Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng của tam giác
ABC ,Tính diện tích của tam giác ABC và chiều cao kẻ từ A
ABC BC
AB CA
; BC
AB = 20 = 10 = 10 = > = 2 = > ∆ vuơng cân tại A
S=5đvdt
Ví dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B(2; 2 3)
Chứng minh tam giac OAB đều Tìm trực tâm của tam giác OAB
Giải :
= >
∆
= >
=
=
=
= >
=
− +
−
=
=
=
3
4
4 0 3 2 4 2 4
3 2 2;
H OAB giác tam tâm trọng là cũng OAB
giác tam của
H
tâm
Trực
đều OAB
AB OB
OA
AB OB
OA
B1: Bài Tập :
Bài 1 Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) và C(0;3).Xác định hình dạng của tam giác
ABC Tìm Tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
ĐS: Vuơng tại A , Tâm I (–1;1)
Bài 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) và C(m+3; 1) Định m
để tam giác ABC vuơng tại A ĐS:m = –1 hay m =-2
Bài 3 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) và C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC
vuơng từ đĩ suy ra khoảng cách từ C đến AB
Bài 4.Ch 2 điểm A (2 ; –1) và B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ là 2 và tam giác ABM vuơng
tại C
ĐS: M(1;2) và M(–1;2)
Bài 5.Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;4) và B(1 ; 1) Tìm điểm C sao cho tam giác ABC
vuơng cân tại B
ĐS: C(4;0) và C(–2;2)
B2: Tất cả HS thực hiện nhiệm vụ
B3: GV chỉ định HS lên bảng làm bài
B4: GV nhận xét và chốt kiến thức
Hoạt động luyện tập 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x 1 ;y 1 ) B(x 2 ;y 2 ) và
C(x 3 ;y 3 ) Xác định trọng tâm G , trực tâm H và tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Phương pháp :
3 3
3 2 1 3 2
; x x x
Tìm trực tâm H
-Gọi H(x;y)là trực tâm của tam giác ABC
(x x ; y y ) Tính AH BC Tính BH ( x x ; y y ) ; BH CA
AH
Do H là trực tâm
=
= 0
0 CA BH
BC AH
Giải hệ trên tìm x ; y
Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2
Trang 6I là tâm đường trịn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI
Giải hệ trên tìm x ; y
Ví dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) và C(–2 ;–1)
a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang
GIẢI
( ); ; IG I ; G ; H thẳng hàng IH
;
IG
,
b
; I y
x y
x
y x )
y ( ) x ( ) y ( ) x (
) y ( ) x ( ) y ( ) x ( CI
AI
BI
AI
ABC giác tam tiếp ngoại tròn đường tâm
là
y)
I(x;
Gọi
; H y
x 49
5y 7x
52 8y 4x ABC
giác tam tâm
trực
là
H
y x ) y ( ) x ( CA , BH )
; ( CA
; y
;
x
BH
y x ) y ( ) x ( BC , AH )
; ( BC
; y
;
x
AH
ABC giác tam tâm trực là
)
y
;
x
(
H
Gọi
; G
; 3
2 -2 5 G ABC giác tam tâm trọng
là
G
a)Gọi
2
= >
=
=
=
=
= >
=
=
<= >
−
=
−
−
= +
−
<= >
+ + +
=
− +
−
− +
−
=
− +
−
<= >
=
=
<= >
= >
=
=
<= >
= +
= +
<= >
− +
=
− +
−
=
=
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
= >
3 3
2 1 3 2 3 3
2
1
3
8 3 2 3
8 3 2 36
10 14
12 6 6 1
2 4
5
7 2
4 5
3
14 3 11 3
14 3 11
49 5 7 7 5 2 7 5
7 7
2
52 8 4 4 8 5 4 8
4 4
5
3
10 3
5 3
1 7 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
BÀI TẬP:
1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
được trong một đường trịn
HD: Tìm tâm I của bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh
IA =ID
2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) và C(4;0).Xác định trực tâm H của tam giác ABC
31
15
31
164
;
3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS:
−
2
1 2
1
; I
4.Trong mpOxy cho 2 điểm A(–2;–2) và B(5 ;–4)
a)Tìm điểm C sao cho trọng tâm của tam giác ABC là điểm G(2;0) ĐS:C(3;6)
b)Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS I
33
47 66
169
;
5.Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) và C(1;5) Tìm trực tâm H của tam giác ABC
11
25 11
21
;
H
Trang 7Dạng : Chứng minh hai đt vuơng gĩc
Phương pháp: Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của chúng cĩ tích vơ
Hướng bằng 0
Bài tập:
1.Cho 4 điểm A, B, C, D CMR nếu AB⊥CD AD; ⊥BC thì AC⊥BD Từ đĩ suy ra định lý 3 đường cao trong tam giác đồng quy
2.Cho tam giác ABC cĩ gĩc A nhọn Vẽ các tam giác vuơng cân đỉnh A bên ngồi tg ABC là ABD, ACE Gọi M là trung điểm BC CMR AM ⊥ DE
2
AM DE= AB AC AE AD+ −
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
= … = 1
2(AB.AE.cos(900+A)-…)=0) 3.Cho tam giác AC vuơng tại A, gọi M là trung điểm BC Lấy các điểm B1, C1 trên AB và AC sao cho AB.AB1=AC.AC1 CMR AM ⊥B1C1
Dạng: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x 1 ;y 1 ) B(x 2 ;y 2 ) và C(x 3 ;y 3 ),Tính cosA Phương pháp :
AC AB
AC AB
CosA
AC AB Tính
; AC và AB Tính AC
;
AB
Tính
=
−
−
−
Ví dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) và C(–6;1).Tínhsố đo của gĩc A
0 135 2
1 5
10 2 10
10 2 12 10
2 40 2
6 5
1
2
=
= >
−
=
−
=
=
−
= +
−
=
=
=
= >
−
−
=
=
= >
−
=
A
AC
.
AB
AC
.
AB
A
cos
AC AB AC
)
; ( AC AB
)
;
(
AB
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)
Chứng minh rằng: tam giác ABC vuơng cân tại A
Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)
a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H
Bài 3.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2)
Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân
Bài 4.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)
a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác
b)Tính gĩc B của tam giác ABC
Bài 5.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi
trên trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 6.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh
rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường trịn
Bài 7.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh
rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường trịn
Bài 8.Cho A(3;1); B(4;2) Tìm tọa độ M sao cho AM = 2 và 0
(uuur uuuurAB AM; ) 135 =
Bài 9.Cho A(7;4); B(0;3); C(4;0) Tìm tọa độ hc H của A trên BC và A’ đx với A qua BC Bài 10.Cho A(1;1) Tìm B cĩ tung độ bằng 3, C trên Ox sao cho ABC đều.
Trang 8Bài 11.Cho A(1;2); B(-1;1); C(5;-1).
a)Tính uuur uuurAB AC.
b)Tính cosin và sin của góc A
c)Tìm tọa độ chân đường cao AA1
d)Tìm tọa độ trực tâm H
e)Tìm tọa độ trọng tâm G
g)Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp; J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC