chúng tôi xin được trao đôi một sô dạng cơ bản của tích phân hàm lượng giác và các phương pháp đôi biên tương ứng thường gap trong các kì thi tuyên sinh vào Đại học và Cao đăng.. Tíc
Trang 1
Chuan bi
cho ki thi
jú nghiện THPT
\ va thi vao
— chân học
rong bài viết nảy chúng tôi xin được trao
đôi một sô dạng cơ bản của tích phân
hàm lượng giác và các phương pháp đôi biên
tương ứng thường gap trong các kì thi tuyên
sinh vào Đại học và Cao đăng
Tích ee hàm lượng giác tông quát có dạng:
I=
F(sinx,cosx)dv
Tùy thudc vao tinh chat va dang đặc biệt của
ham F(sinx cosx) hodc mdi quan hé gitta ham
F(sinx cosx) với các cận lây tích phân mà
chúng ta sử dụng phép đôi biên tương ứng
DANG 1 F(sinx, cosy) = F(-sinx, —cosv) (F
la ham so chan theo sinx va cosx)
Cach gidi Dat t = tanx hoặc f = cot+
* Thí dụ 1 Tính tích phân
l sin x—sSinx
I= Ỉ —————.cotx ở
7 sin? x
<
ee ae ee sin? x-sinx
Loi gidi RO rang F = ——_———-cotx la
sin? x ham so chan theo sinx va cosx
34-3
Ta co 1=] = * cotx dx
6
acs een
TRONG TICH PHAN
HAM LUGNG GIAC
ĐĂNG THANH HÁI - TRAN TUYẾT THANH
(GV Hoc viện PKKQ, Sơn Tây, Hà Nôi)
Dat t= cotx > dt = —————dtv
sin-x
Từ đỏ 7= oe [fara 29% 3——
DANG 2 F(sinx, cosv) = —F(sinx, —cosx) (F
la ham so lé theo cosx)
Cach gidi Dat t = sinx
, 4 —% - 5 sn2x
* Thí dụ 2 Tính tích phân 1 =|———————
›(2~+sn*} S5 M017 ‘ sin2x 2Sinxcosx Loi gidi Ta thay F = —— = ——
(2+sinx)- (2+sinx)-
là ham số lẻ theo cosx Đặt t= sinx
=> dt=cosxdv
Khix=0 >t=0:x=~ >fH1
DANG 3 F(sinx, cosv) = —F(-sinx, cosx) (F
là hàm sô lẻ theo sinx)
Cácit giải Đặt t = cosx
* Thí dụ 3 Tính tích phân
+
_'sinx- sin? x
1
Trang 2
sin x — sin? x
Loi gidi RO rang F = ———— 1a ham s6
cos2x
lẻ theo sinx Đặt 7 =COSX => dr= — sinxdy
Khi x—= O =>f=1:x=— ope Tu do
Ssinx— sin? x g sin?-x—1
I= f—————_ ar = f = C—Sin x)clx
= cos2x 9 2cos- x —
5 2cos-x—1 3 2t- —1
2 i 24 —1 2 i i 2t 1)
8 &
1} 2 tt v2: tr 6v°r.cn
=— — ƒ đ —-— | dr
2\ 3 23 @/J2£—1)(^/2£~1)
5T 5 i dr — j dr
= Š ie — lạ” sE 1] —1n(-/2 +1)
DANG 4
a sin x + b.cosx —c,;
F(sinx, cosx) = -
a>sinx + b.cosx — €Œ¬
Cach gidi Dat t = tan~
*® Thi du 4 Tinh tich phan
<t dx
ˆ 4sinx ~ 3cosx ~ S `
Loi giai Datit= 2 thi
ios
1—r- sinx = :cOsx = —-
1~£2 1>“
Khix= 0 =>1=0:x= 5 —>-r7r= 1 Từ đó
of? + 4+4
MOT SO BAI TOAN KHAC
* Thí du 5 Tinh tich phan
7Z=Í——————-d‹ ứ: là sẽ nguyên dương)
¬ COS”x — Si1”x
Loi gidi Đặt ? =——x => dx =-d
<=
7t
Khi x= O —z =- sàn =—>->r=CO
wa
'
cos” (§ —f J
— HN
sin”? x af:=
a
j sin*r
cos? x
7
dx = —
2
inf Do can lay tich phan cé dang a = 0:
7 _ : - : 7 - a ale
b= —.nén cac ham sinx va cosx co moi lién
hệ của các góc phu nhau Trong truong hop
~ 7 ` 7 Fh wp othe zt
nay ta thuong dung pheép doi bién rf = = — x
*& Thi du 6 Ti tich phan I = { sinx.sin2x.sin3xdx
5
Loi giai Taco
3=
Ww n
I= | sinx sin2x sin3x dx + 'sinx.sin2x sin3xdr (1)
Xét tich phan J = J sinx.sin2x.sin3xdx
>
Đặt / — 3zr—x — dk =-d
thi m =:=—=: x=3r —=ứ=O
TY ds
o
«Z7 =— | sin(3x—f).sin(6z — 2r).sin(9n — 37) dt
2=
=— j sin?t.sin2?.sin3tdt =— ƒ snx.sin2x.sn3xdx (2)
Từ (C1) vả (2) ta được 7 = O
© Lời b?nii Có thê sử đụng kết quả sau đề suy
ra kết quả thí đụ 6: C70 /ŒX) ià Hàm: TiÊH tuc trén doan [O: 2a] Khi do
f Z#(Cx)đx= f (SCO + F@a—x))dxr
Hiréng ddan Í/œax = (ae) dx + {rc dx
Doi bién so r= 2a — x trong tich phan thi hai
@ ve phai dang thitc trén duoc
2a 0 a
ƒ ZŒœ)dx =Í ƒ7@a—t?)(—œ) =[ ƒ(2a-— x)dx
a 2 ©
từ đó suy ra điêu cân chứng rminh
Đề kết thúc bải viết mdi cac bạn hãy thứ tính
các tích phân sau:
“
a: I=ftan®xd: 2: F =f = dx:
cos? x +cosix
—dœ-; _ sin? x +sin*x
b li, =} Ww
a, z‡
J 4—2cos2x J sin? x.cos*x
3 +