tài liệu đại cương văn cường ct

Ma traän ñoái xöùng thöïc coù ba trò rieâng döông, suy ra daïng toaøn phöông töông öùng xaùc.. ñònh döông ( hay ma traän ñaõ cho xaùc ñònh döông).[r]

Trang 1

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính

Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 7 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN

CA 1

Câu 1 : Cho ma trận A =











 Tính A2010, biết A có hai trị riêng là 1 và 3

Câu 2 : Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của không gian nghiệm của hệ phương trình











2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0

3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0

5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 = 0

Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3

−→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở chính tắc là

A =







 Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.

−→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở

E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =





2 1 −1

3 2 4

4 3 9



 Tìm cơ sở và số chiều của kerf.

Câu 5 : ChoA là ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10

= 0 Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi và chỉ khi A là ma trận không.

Câu 6 : Tìm m để ma trận A =











 có ba trị riêng dương (có thể trùng nhau)

Câu 7 : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình 5 x2

+2 xy+5 y2

−2 √ 2 x+4 √

2 y = 0 Nhận dạng và vẽ đường cong ( C)

Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm

Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = P DP −1 ; P =







 D =





1 0 0

0 3 0

0 0 3





A2010

= P D2010

P −1 , tính ra được P −1 =











; D2010

=







0 3 2010

0 0 3 2010







Câu 2 (1.5đ) Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }

Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }

Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { 1

√

6( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 1

67( 4 , 1 , −7 , 1 ) }

Trang 2

Câu 3(1.5đ) Có nhiều cách làm Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P = 

1 1 1

2 1 1

1 2 1



Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B = P −1 AP=













Câu 4(1.5đ) Giả sử x ∈ Kerf; [x] E = ( x1, x2, x3) T

Khi đó f( x) = 0 ⇔ [f( x) ] E = 0 ⇔ A · [x] E = 0

⇔







2 1 −1













x1 x2 x3















 ⇔ [x] E =







6 α

−1 1 α α





⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) Dim( Kerf) = 1 , cơ sở: ( 1 0 , −7 , 4 )

Câu 5 (1.5đ) Vì A10

= 0 nên A chỉ có một trị riêng là λ = 0 (theo tính chất, nếu λ0 là TR của A, thì λ10

0 là TR của A10 A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P −1 , D là ma trận 0 nên A = 0

Câu 6 (1.5đ) Ma trận đối xứng thực có ba trị riêng dương, suy ra dạng toàn phương tương ứng xác

định dương ( hay ma trận đã cho xác định dương) Theo Sylvester, A xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính dương ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8

Câu 7(1.0đ) Xét dạng toàn phương 5 x2

1 + 2 x1x2+ 5 x2

2 có ma trận A =

5 1

1 5

Chéo hóa trực

giao ma trận A bởi ma trận trực giao P = √1

1 −1

1 1

và ma trận chéo D =

6 0

0 4

Đường cong ( C) có ptrình trong hệ trục Ouv với hai véctơ cơ sở là

√

2 ,

√

,

−1

√

2 ,

√

là:

6 ( u +1

6) 2

+ 4 ( v +3

4) 2

= 11

12 Đây là đường cong ellipse Hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cách

quay 1 góc 4 5 o ngược chiều kim đồng hồ

Trang 3

CA 2

Câu 1 : a/ Cho ma trận A =

7 −3

1 0 −4

a/ Chéo hoá ma trận A.

b/ Áp dụng, tìm ma trận B sao cho B20

= A.

E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =





1 2 0

2 1 −1

3 0 2





Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc

Câu 3 : Cho ma trận A =











 Tìm trị riêng, cơ sở của các không gian con riêng của

ma trận A6

Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m) T là véctơ riêng của ma trận A =







−5 3 3

−3 1 3

−3 3 1













 có đúng hai trị riêng dương và một trị riêng âm

Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều

kim đồng hồ một góc 6 0 o Tìm ánh xạ tuyến tính f Giải thích rõ.

Câu 7 : Cho A là ma trận vuông cấp n Chứng tỏ rằng A khả nghịch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG là

trị riêng của A.

Khi A khả nghịch chứng tỏ rằng nếu λ là trị riêng của A, thì 1

λ là trị riêng của A −1

Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP −1 ; P =

3 1

5 2

D =

2 0

0 1

Ta có A = P · D · P −1 Giả sử B = Q · D1· Q −1 , ta có B20

= Q · D20

1 · Q −1 = A Chọn Q = P và D1 =

20√

0 20√

Vậy ma trận B = P · D1 · P −1

Câu 2 (1.5đ) Có nhiều cách làm Gọi ma trận chuyển cơ sở từ E sang chính tắc làP Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là : P −1 =







1 1 1

2 1 1

1 2 1





Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong

Trang 4

cơ sở chính tắc là B = P −1 AP=

−1 2 8 4



Câu 3 (1.5đ) Giả sử λ0 là trị riêng của A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0· x0 Khi đó

A6

· x0 = A5

· A · x0 = A5

· λ0· x0 = λ0 · A5

· x0 = · · · = λ6

0· x0

Lập ptrình đặc trưng, tìm được TR của A: λ1 = 1 , λ2 = 2 ,

Cơ sở của E λ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của E λ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }.

TR của A6: δ1 = 1 6

, δ2 = 2 6, Cơ sở của: E δ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của E δ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }.

Câu 4 (1.5đ) x là VTR của A ⇔ A · x = λ · x ⇔







−5 3 3

−3 1 3

−3 3 1













m





 = λ ·







m





 ⇔ m = 1

Câu 5 (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f( x, x) = x2

1 + mx2

2 + 6 x2

3+

6 x1x2 − 4 x1x3 − 8 x2x3 Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange f( x, x) = ( x1 + 3 x2− 2 x3) 2+

2 ( x3+ x2) 2+ ( m − 1 1 ) x2

3 Ma trận A có một TR dương, 1 TR âm ⇔ m < 1 1

Câu 6 (1.5đ) f : IR2

−→ IR2 f được xác định hoàn toàn nếu biết ảnh của một cơ sở của IR2

Chọn cơ sở chính tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.

Khi đó f( 1 , 0 ) = ( 1

2, − √ 3

2 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( √23,12) f ( x, y) = ( x2 +y √23, −x √ 3

2 +y2)

Câu 7 (1.0đ) A khả nghịch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 không là TR của A Giả sử λ0 là TR của A

⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A −1 · A · x0 = A −1 · λ0· x0 ⇔ A −1 · x0 = 1

λ0 · x0 (vì λ0 = 0 ) → đpcm.

Trang 5

CA 3

Câu 1 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con

F = {( x1, x2 , x3, x4) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = 0 & 2 x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = 0 & 3 x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = 0 } Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của F

E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =









Chéo hoá ánh xạ tuyến tính f.

E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =





1 1 2

2 3 0

3 5 −4





Tìm cơ sở và số chiều của Imf.

Câu 4 : Cho A và B là hai ma trận đồng dạng Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi và chỉ khi B chéo

hoá được







 có ít nhất một trị riêng âm

−→ IR3, biết f( x) = f( x1, x2, x3 ) = ( −x2 + 2 x3, −2 x1+ x2 +

2 x3, x1− x2+ x3) Tìm m để véctơ x = ( 2 , 2 , m) là véctơ riêng của f

Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng trong hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng 2 x−3 y = 0

Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của các không gian con riêng của f Giải thích rõ.

Câu 1(1.5đ) Tìm một cơ sở tùy ý của F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }

Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }

Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { 1

√ 6( 2 , −1 , 1 , 0 ) , 1

√ 67( 4 , 1 , −7 , 1 ) }

Câu 2(1.5đ) Chéo hóa ma trận (1.0 đ) A = P · D · P −1 , P =







2 1 1

3 1 3

3 1 4





 D =







2 0 0

0 1 0

0 0 3







Cơ sở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) } Ma trận của f trong B là D Các cột của P là các VTR của A, phải đổi sang cơ sở chính tắc!!

Câu 3(1.5đ) Dim(Imf) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f( E) >=< f( 1 , 0 , 1 ) , f( 1 , 1 , 0 ) , f( 1 , 1 , 1 ) >=

Trang 6

=< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) > Cơ sở của Im( f ) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) } Cách

khác: Vì Dim(Imf) = r( A) = 3 , nên Im( f) là IR3 và cơ sở của Im( f) là cơ sở chính tắc của IR3

Câu 4(1.0đ) A đồng dạng B ⇔ ∃Q : B = Q −1 · A · Q Giả sử A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P −1

Khi đó B = Q −1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) −1

· D · ( P −1 Q) ⇔ B = G −1 · D · G →đpcm.

Câu 5 (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f( x, x) = x2

1 + mx2

2 + 4 x2

3+

8 x1x2− 2 x1x3+ 4 x2x3 Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange

f ( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3) 2+ 3 ( x3 + 2 x2) 2+ ( m − 2 8 ) x2 2 A có một TR âm ⇔ m < 2 8

Câu 6 (1.5đ) x là VTR của f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m)

⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2

Câu 7 (1.5đ).f : IR2

−→ IR2 VTR là véctơ qua phép biến đổi có ảnh cùng phương với véctơ ban

đầu Các véctơ cùng phương với véctơ chỉ phương a = ( 3 , 2 ) của đường thẳng là tất cả các VTR tương ứng với TR λ1 = 1 ; các véctơ cùng phương với véctơ pháp tuyến n = ( 2 , −3 ) của đường thẳng là tất cả các VTR tương ứng với λ2 = −1 Vì f là axtt của không gian 2 chiều nên không còn VTR khác Kluận: Cơ sở của E λ1 : ( 3 , 2 ) của E λ2 : ( 2 , −3 )

Trang 7

Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Bộ môn Toán Ứng Dụng Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút

Câu 1 : Tìm tất cả các nghiệm của phương trình z4

+ i = 0

Câu 2 : Trong không gian IR3 cho hai không gian con F = {( x1, x2, x3) |x1 + x2 + 2 x3 = 0 },

G = {( x1, x2, x3) |2 x1+ 3 x2+ x3 = 0 } Tìm chiều và một cơ sở của F ∩ G

Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở

E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) } và F = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 1 ) } là A =

1 −2 1

Tìm f( 4 , 7 , 3 )

Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 2 ) ; f( 1 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 ) ;

f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 1 , −1 ) Tìm một cơ sở E và chiều của Ker f

Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2, biết f( 1 , 1 ) = ( −5 , −1 1 ) ; f( 0 , 1 ) = ( 3 , 7 ) Tìm tất cả các

trị riêng của f.

Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 thoả ∀( x1, x2) ∈ IR2 : f ( x1, x2) = ( 2 x1+ x2, x1− 3 x2)

Tìm ma trận A E,E của f trong cặp cơ sở E, E, với E = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 1 ) }.

Câu 7 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc cho x = ( 1 , 0 , 1 , 1 ) và không gian con

H = {( x1 , x2, x3, x4) |x1 + x2 − x3 + x4 = 0 & 2 x1 + 3 x2 − x3 + 3 x4 = 0 } Tìm hình chiếu vuông góc pr H x từ x xuống không gian con H.

Câu 8 : Tìm một ma trận đối xứng thực A cấp 3 (không là ma trận chéo), sao cho A có ba trị riêng là

2 , 4 , 5

Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh

Trang 8

Câu 1 : Giải phương trình z4

+ 4 z3

+ z2

− 1 6 z − 2 0 = 0 , biết z = 2 + i là một nghiệm.

Câu 2 : Tính định thức của ma trận A100, biết A =

3 1

2 4

Câu 3 : Tìm m để r( A) = 4 , biết A =









Câu 4 : Trong P2 [x], cho không gian con F = {p( x) | p( 1 ) = 0 } và tích vô hướng ( p, q) =

1

0 p( x) q( x) dx Tìm m để véctơ f( x) = x2

− 8 x + 1 thuộc không gian F ⊥

Câu 5 : Trong IR4cho không gian con F = {( x1, x2, x3, x4) |x1 +x2+x3−x4 = 0 & 2 x1+3 x2−x3−3 x4 = 0 }

và một véctơ x = ( 1 , 0 , 0 , 1 ) Tìm hình chiếu vuông góc của x xuống F

E = {( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =







1 2 −1

2 1 0

3 0 −1







Tìm ma trận B của f trong cơ sở chính tắc.

−→ IR3, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) ,

f ( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) Tìm m để x = ( m, −1 , 0 ) là véctơ riêng của f

Câu 8 : Đưa dạng toàn phương sau về chính tắc bằng BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi:

f ( x, x) = f ( x1, x2, x3 ) = 4 x1x2+ 4 x1x3+ 4 x2x3.

Trang 9

Câu 1 : Tính z = − 1 + i

( √

3 − i) 17

Câu 2 : Trong IR3, với tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1, x2, x3 ) , ( y1, y2, y3 ) ) = 5 x1y1 + x2y2 + 2 x3y3, cho

không gian con F = {( x1, x2, x3) | x1+ x2− 2 x3 = 0 } Tìm m để véctơ x = ( 1 , 5 , m) ∈ F ⊥

Câu 3 : Tìm m để A khả nghịch, biết A =









Câu 4 : Trong P2[x], cho hai không gian con F =< x + 1 , x2

− 1 > và G =< x2

+ 1 , 2 x + 1 >.

Tìm chiều và một cơ sở F ∩ G.

−→ IR3, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) ,

f ( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) Tìm ma trận B của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) }

E = ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) là A =





1 1 −1

2 3 0

3 5 1



 Tìm cơ sở và chiều của Kerf.

−→ IR2, biết f( 1 , 1 ) = ( 5 , 8 ) ; f( 1 , 2 ) = ( 5 , 9 ) Tìm một cơ sở B của IR2 sao cho ma trận của f trong B là ma trận chéo Tìm ma trận chéo này.

−→ IR3, biết nhân sinh ra bởi ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) và f( 1 , 0 , 1 ) = ( 2 , 0 , 2 ) Tìm trị riêng và cơ sở của các không gian con riêng.

Trang 10

Câu 1 : Giải phương trình z4

+ 3 z2

− 4 = 0 trong C.

Câu 2 : Tính 3 A2

− 5 I, với I là ma trận đơn vị cấp 3 và A =





1 0 −1





Câu 3 : Trong không gian IR3 cho hai không gian con F = {( x1, x2, x3) |x1 + x2 − x3 = 0 } và

G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >.

Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩ G) ⊥

Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở

E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A =







1 2 −1





 Tìm một cơ sở và chiều của Im f.

Câu 5 : Chéo hóa ma trận A =

2 1

2 3

Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả

∀( x1, x2, x3) ∈ IR3 : f( x1, x2, x3) = ( 3 x1+ x2+ x3, 2 x1+ x2+ 2 x3, x1− x2− 2 x3)

Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) }.

Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x1, x2 ) = x2

1+ 4 x1x2+ x2

2 về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi

Câu 8 : Tìm m để λ = 1 là giá trị riêng của ma trận A =







7 4 1 6







đầu Các v? ?ct? ? phương với v? ?ct? ? phương a = ( , ) đường thẳng tất VTR tương ứng với TR λ1 = ; v? ?ct? ? phương... data-page="5">

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Mơn học: Đại số tuyến tính

Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu

Sinh viên khơng sử dụng tài liệu

HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN

CA... data-page="3">

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Mơn học: Đại số tuyến tính

Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu

Sinh viên không sử dụng tài liệu

HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN

CA

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	420,7 KB