on tap chuong 1

2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng... Gọi I là trung điểm BC..[r]

M

O D

A

B

C

O D

A

B

C

CÁC DẠNG TOÁN ÔN TẬP CHƯƠNG 1 Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:

* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ

+ K/n Véctơ

+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối

là các đỉnh tam giác?

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm các vectơ cùng phương với AB

; b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB

; c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB

; d) Tìm các vectơ bằng với MO

, bằng với OB

Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0

và cùng phương OA

; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB

; c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB

và có:

+ Các điểm đầu là B, F, C

+ Các điểm cuối là F, D, C

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O

a) bằng vectơ  AB

; OB 

b) Có độ dài bằng OB 



HD:

Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ

Bài 2:

Bài 3:

a DA AD BC CB AO OD DO FE EF        , , , , , , , ,

b OC ED FO  , ,

c Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB

khi đó BB ' AB

* FO

là vectơ cần tìm

E F

D B

A

C

* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB

Do CC’//AB CC ' AB

+ tương tự

Bài 4:

a  AB DC ,OB DO 

b |OB| | BO| | DO| | OD|

Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau:

* Phương pháp : Ta cĩ thể dùng một trong các cách sau:

A

B

o

+ Sử dụng định nghĩa:

| | | | , cùng hướng

a b







 

+ Sử dụng tính chất của các hình Nếu ABCD là hình bình hành thì

,

AB DC BC AD

   

,…(hoặc viết ngược lại) + Nếu a b b c    ,   a c 

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Chứng minh: EF CD 

Bài 2: Cho tứ giác ABCD

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi  AB DC

Bài 3: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu  AB DC thì  AD BC

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

Chứng minh : MN  QP ; NP  MQ

HD

Bài 1:

Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD,

EF=

1

2BC=CD EF=CD EF  CD

 

(1)

EF



cùng hướng CD

(2)

Từ (1),(2)   EF CD

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành

EF=

1

2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD

Bài 2:

Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành 







CD AB

CD

AB //

*

DC AB CD

AB

CD

AB













//

Chứng minh chiều : * AB = DC  AB, DC cùng hướng và AB  DC

* AB và DC cùng hướng  AB // CD (1)

* AB  CD

 AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành

Bài 3 :  AB DC  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành   AD BC

Bài 4 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng

1

2AC

Và đều //AC Vậy MNPQ là hình bình hành

 đpcm

Dạng 3 Chứng minh đẳng thức vectơ:

Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau

1) Biến đổi vế này thành vế kia.

2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.

Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ

 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :  AB

+ BC

= AC

 Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì  AB

+ AD

= AC

 Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA AB    (hoặc OA OB BA    )hay   AB OB OA 

 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :

+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB   0

 Tính chất trọng tâm của tam giác :

+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC     0

BÀI TẬP

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR :



AC + BD = AD + BC

Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :

a/



DO + AO = AB b/ OD + OC =BC

c/



OA + OB + OC + OD = 0

d/ MA +



MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)

Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB.

CMR :



OD + OC = AD + BC

Bài 4 Cho ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA ' , BB ' , CC '

A

D

CMR : AA ' + BB ' +



'

CC = BA ' + CB ' + AC '.

Bài 5 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm

đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:

' ' ' OB OC OA

OC OB

Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :

a) OA

+OB

+OC

+OD

+OE

+OF

=0

b) OA

+OC

+OE

= 0 c) AB

+AO

+AF

=AD

d) MA

+MC

+ME

= MB

+MD

+MF

( M tùy ý )

Dạng 4 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :

Cơ sở:

 sử dụng các quy tắc về véctơ :

+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :  AB

+BC 

= AC   AB BC  AC

+ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì  AB

+ AD

= AC   AB AD  AC

+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA AB    (hoặc OA OB BA    )hay   AB OB OA   AB  OB OA 

 Sử dụng tính chất hai véctơ :

+ Nếu hai véc tơ a 

,b cùng hướng thì |a 

+b

| = |a 

|+|b

| + Nếu hai véc tơ a 

b

và |b

| ≥ |a 

| thì |a 

+b

|=|b

||a 

|

BÀI TẬP

Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.

a/ Tính AD  AB 

b/ Dựng u

=



CA AB Tính u



Bài 2 Cho ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC

a/ Tính 





 AC

AB 

b/ Tính BA  BI

Bài 3 Cho ABC vuông tại A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính





 AC

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO

= a ; BO

= b Tính AB

; BC

; CD

; DA

theo a

và b

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính 





 AD

AB  theo a

Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.

A

D

a/ Tính 





 AD

b/ Dựng u

=





 AC

AB Tính u 

Dạng 5 Xác định vectơ ka :

*Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ ka

và các tính chất

BÀI TẬP

Ví dụ 1 Cho a AB  và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho :

OM  a ON   a

   

Giải

Vẽ d đi qua O và // với giá của a

(nếu O  giá của a

thì d là giá của a

)

 Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a

|, OM

và a cùng hướng khi đó OM3a.

 Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|a

|, ON

và a ngược hướng nên ON  4a

Ví dụ 2 Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=

1

5AB Tìm k trong các đẳng thức sau:

a AMk AB b MA k MB  c MA k AB 

Giải

a)

| |

5

| |

AM AM

AM k AB k

AB AB



 



, vì AM AB k=

1 5 b) k= 

1

1 5

Ví dụ 3

a) Chứng minh:vectơ đối của 5a là (5) a

b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a

+3b , a

2b

Giải

a) 5a

=(1)(5a

)=((1)5) a

= (5) a b) (2a

+3b

)= (1)( 2a

+3b )= (1) 2a

+(1)3b

=(2)a

+(3)b

=2a

3b c) Tương tự

Dạng 6 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :

Ví dụ 1.Cho  ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I

là giao điểm của AD và EF Đặt u    AE v;  AF Hãy phân tích các vectơ    AI AG DE DC, , ,

theo hai vectơ ,

u v

 

O

a

M N

A

Giải Ta có

AI  AD AE AF  u v

     

AG AD u v

   

0 ( 1)

DE FA AF  u  v

    

DC FE  AE AF u v  

     

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai

vectơ u AB v AC    ,  .

Giải

Ta có

2 3

AM  AB BM  AB BC

    

mà BC   AC AB



AM  AB AC AB  u v

     

Dạng 7 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :

Cơ sở:

+ A, B, C thẳng hàng  AB

cùng phương AC

 0≠k  : AB k AC 

+ Nếu AB kCD  và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=

1 3

AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Giải

Ta có

1 2

2

BI BA BM BA BC

BI BA BC

    

  

Ta có

1 3

BK BA AK BA AC

BA BC BA BA BC

BK BA BC

 

    

    

  

Từ (1)&(2) 

4

3

BK  BI BK  BI

   

 B, I, K thẳng hàng.

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:

0

BC MA 

  

,  AB NA 3 AC0 Chứng minh MN//AC

Giải

C

K I

A

B

C

D

3 0

     

     

BC MA AB NA AC

/ /

MN AC

 

Theo giả thiết BC AM

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành

 M không thuộc AC MN//AC

BÀI TẬP

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2



AB + 3AC = 5 CMR : B, C, D thẳng hàng.

Bài 2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3MC ;NA +3NC =0

và



PA + PB = 0 a/ Tính



PM, PN theo AB và AC

b/ CMR : M, N, P thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm

đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm

Dạng 8 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :

Cơ sở:

+  AB  0 A B

+ Cho điểm A và a

Có duy nhất M sao cho :  AM a

+  AB AC  B C AD BD;    A B

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí của G biết AG2GD.

Giải

2

AG GD

 

 A,G,D thẳng hàng

AG=2GD gà G nằm giữa A và D

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Ví dụ 2 Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IA2IB 0.

IA IB  IA  IB IA   IB

      

hay IA=2IB , IAIB Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=

1

3AB

Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD       0

Giải

Ta có GA GB  2GI, trong đó I là trung điểm AB

Tương tự GC GD  2GK, K là trung điểm CD

2 2 0

GA GB GC GD GI GK hay GI GK

 

     

  

 G là trung điểm IK

G

B

A

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.

a/ CMR :



AD + BC = 2EF

b/ CMR :



OA + OB + OC + OD = 0

c/ CMR : MA + MB +



MC + MD = 4MO (với M tùy ý) d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA + MB +





MC+MD  nhỏ nhất

Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR :



AF + BG + CH + DE = 0

b/ CMR :



MA+MB +MC +MD = ME +MF +MG +MH

c/ CMR :





 AC

AB + AD = 4AG (với G là trung điểm FH)

Bài 3: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H

CMR :



AD + BE + CF = 3GH

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :

a/



OA + OB + OC + OD = 0

b/



EA + EB + 2EC = 3AB

c/



EB + 2EA + 4ED = EC

Bài 5: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 2

1  NC Gọi K là trung điểm của MN

a/ CMR :



AK = 4

1



AB + 6

1 

AC b/ CMR : KD = 4

1



AB + 3

1  AC

Bài 6: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2DB , CE = 3EA Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :

a/



AM = 3

1 

AB + 8

1  AC

b/



MI = 6

1



AB + 8

3  AC