TOÁN CỰC TRỊ

Các…bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất, v.v … trong mộ

Mục lục

Mục lục 1

A - Mở đầu 1

1 Lý do chọn sáng kiến 1

2 Mục đích của sáng kiến 3

3 Nhiệm vụ của sáng kiến 3

4 Phạm vi nghiện cứu 3

5 Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành 4

B - Nội dung 5

I - Phơng pháp chung để giải các bài toán cực trị đại số: 5

1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 5

2 Các kiến thức thờng dùng: 5

3 Một số phơng pháp giải toán cực trị thờng dùng trong đại số 8

a) Phơng pháp tam thức bậc hai: 8

b) Phơng pháp xét khoảng: 8

c) Phơng pháp miền giá trị của hàm số: 8

d) Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ: 10

4 Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị 12

a) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: 12

b) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: 14

5 Một số chú ý khi tìm cực trị: 16

II Các dạng toán cực trị đại số thờng gặp: 17

Dạng 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 17

Dạng 2: Biểu thức là đa thức 23

Dạng 3: Biểu thức là phân thức một biến 29

Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức 33

C - Thực nghiệm s phạm 38

I Giáo án thực nghiệm: 38

II kết quả thực nghiệm: 43

D - Kết luận 46

I Những vấn đề còn hạn chế: 46

II Bài học kinh nghiệm: 46

III Kiến nghị: 46

IV Kết luận: 47

A - Mở đầu.

1 Lý do chọn sáng kiến

Các bài toán với yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, diện tích lớn nhất, diện tích nhỏ nhất, độ dài đoạn thẳng ngắn nhất gọi chung là các bài toán cực trị Các…bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất, v.v …

trong một bài toán, để dần dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải

pháp tối u cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này.

Qua việc nghiên cứu và thực tế giảng dạy toán THCS, tôi nhận thấy khái niệm cực trị cha đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập đơn giản trong SGK Nhng các bài toán cực trị rất hay gặp trong các kỳ thi, các bài kiểm tra định kỳ hàng năm của học sinh lớp

Về phía giáo viện giảng dạy bộ môn toán, thực tế có không ít những giáo viên còn hạn chế trong việc dạy học sinh giải toán cực trị Một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó là do giáo viên nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến cực trị nhng cha tìm cách phân loại, chỉ ra phơng pháp cơ bản cho từng dạng bài cụ thể, cha tuyển chọn và sắp xếp các dạng toán cực trị theo một trật tự phù hợp với đối tợng học sinh

Đặc biệt từ năm học 2004 - 2005, môn học tự chọn đã chính thức đợc thực hiện giảng dạy cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở các trờng THCS Đây chính là cơ hội để giáo viên dạy toán có thể giúp học sinh của mình dần dần nắm vững khái niệm cực trị và nhất là nắm đợc một số phơng pháp tìm cực trị cơ bản thờng dùng cho một số dạng toán cực trị cụ thể Từ đó các em dần bớt cảm giác "sợ" với những bài toán với yêu cầu của đề bài là tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất

Chính vì những lí do trên đây, tôi đã chọn sáng kiến Dạy học tự chọn toán

theo chủ đề "Toán cực trị đại số" cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS nhằm

tháo gỡ một phần khó khăn cho học sinh khi làm các bài toán cực trị, đồng thời gợi ý

cho giáo viên khi dạy học tự chọn toán cho học sinh lớp 8, lớp 9 một chủ đề có thể thực hiện một cách khả thi tại cơ sở trờng mình công tác.

2 Mục đích của sáng kiến.

Đề tài này nhằm giúp cho học sinh lớp 8, lớp 9 dần bớt khó khăn về đ ờng lối, phơng pháp suy luận hạn chế chững sai lầm đáng tiếc khi học toán nói chung và việc giải các bài toán cự trị nói riêng Qua đó phần nào gây đ ợc hứng thú học tập môn toán cũng nh việc giải các bài toán cực trị có trong chơng trình học tập của các em

Đề tại này cũng nhằm mục đích gợi ý đối với giáo viên dạy học tự chọn toán một chủ đề cần thiết phải dạy cho học sinh lớp 8, lớp 9 trong khi tài liệu dạy học tự chọn chính thống hiện nay cha có

Nh vậy, mục đích chính của sáng kiến vẫn là nhằm góp phần nâng cao chất lợng giáo dục hiện nạy

3 Nhiệm vụ của sáng kiến.

* Đối với giáo viên:

- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị

- Tuyển chọn, phân loại đợc các bài tập cơ bản và nêu lên đợc các phơng pháp chính giải từng dạng bài tập cự trị cụ thể

- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị

* Đối với học sinh:

- Hiểu đợc khái niệm cực trị và nắm vững các bớc giải của bài toán cực trị

- Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó Dần thấy đợc những điểm mà bản thân mình hay sai khi giải toán cực trị và từ đó có ý thức khắc phục những sai lầm

đó

- Bớc đầu thấy đợc những tình huống dẫn đến bài toán cực trị, cách xây dựng một bài toán cực trị Trên cơ sở đó có ý thức vận dụng kiến thức về toán cực trị vào các môn học khác nh vật lý, hoá học , và thấy đ… ợc tính ứng dụng của toán cực trị vào

đời sống hàng ngày

4 Phạm vi nghiện cứu.

Do khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, do thực tế khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh lớp 8, lớp 9 ở trờng THCS, mà sáng kiến này chỉ xin đề cập

đến một số dạng toán cực trị thờng gặp trong đại số có trong chơng trình toán THCS

có thể dạy học tự chọn theo chủ đề bám sát hoặc nâng cao đối với học sinh lớp 8, lớp

9 ở các trờng THCS

5 Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành.

Trong sáng kiến này, tôi áp dụng mô hình một nhóm học sinh tiền trắc nghiệm

và hậu trắc nghiệm, đối chiếu so sánh và rút ra kết luận

Đối tợng khảo sát và thực nghiệm là 58 học sinh lớp 9 đang ở học kỳ I tham gia học tự chọn toán

B - Nội dung.

I - Phơng pháp chung để giải các bài toán cực trị đại số:

Do tính chất s phạm, để nhằm mục đích học sinh hiểu đợc khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực trị), giáo viên khi dạy nên đa khái niệm thật đơn giản tránh

lý thuyết kinh viện Chính vì thế ta có thể cho học sinh tìm hiểu khái niệm cực trị thông qua cực trị của hàm một biến nh dới đây

1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2)

(D) x với M f(x) 1)

0 0

2)

(D) x với f(x)

1)

0 0

Chứng minh

a) Dựa vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối

b) Vì hai vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều không âm, bình phơng hai vế

ta đợc bất đẳng thức tơng đơng:

( ) (2 )2

y x y

⇔ x2 + 2xy + y2≤ x2 + 2x.y + y2

⇔ xy ≤x.y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, vậy bất đẳng thức phải chứng minh đúng

Dấu "=" xảy ra ⇔ x, y cùng dấu

⇔ x2 - 2xy + y2≥ x2 - 2x.y + y2

⇔ xy ≤x.y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, vậy bất đẳng thức phải chứng minh đúng

Dấu "=" xảy ra ⇔ x, y cùng dấu

3) Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) có các dạng sau:

a) (a + b)2≥ 4ab, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

a

b

b

a + ≥ với a.b > 0; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

c) a + b ≥ 2 ab, (a ≥ 0; b ≥ 0), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

Các hệ quả:

d) Với a ≥ 0, b ≥ 0 và a + b = k (không đổi)

Tích (a.b) lớn nhất khi và chỉ khi a = b

• Hai số không âm có tổng không đổi thì tích sẽ lớn nhất khi và chỉ khi hai số

đó bằng nhau

• Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.e) Với a ≥ 0, b ≥ 0 và a.b = k (không đổi)

Tổng (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b

• Hai số không âm có tích không đổi thì tổng sẽ nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số

đó bằng nhau

• Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Chứng minh

a) Từ (a - b)2≥ 0: Bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b, ta suy ra:

b

a 2 2

≥ +

a

b b

a + ≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

c) Từ ( a − b)2 ≥ 0, với a ≥ 0, b ≥ 0

⇒ a + b ≥ 2 ab (3)d) Nếu a + b = k, từ (2) suy ra:

Chứng minh

Xét hiệu: (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2

= a2x2 + a2 y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2

= (ay - bx)2≥ 0 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

* Tơng tự ta có bất đẳng thức Bunhiacốpski áp dụng cho 3 số:

(ax + by + cz)2≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2),Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi xa = yb = zc

5) Bất đẳng thức Mincôpxki:

2 2 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

u ý: Khi cần sử dụng đến các bất đẳng thức Bunhiacốpski và Mincôpxki ta phải

chứng minh rồi mới vận dụng.

3 Một số phơng pháp giải toán cực trị thờng dùng trong đại số.

1 x x D

+

+ +

=

Lời giải:

2 2

2

1 x

1 1 x

1 1 1

x

1 1 x 1 x 1

x

1 x x

D

+

+ +

−

= +

+ +

− +

= +

+ +

3 2

1 t

2

≥ +

1 1 x

1 0 2

1 t 4

3 D

2

=

⇔

= +

Vậy trong mọi trờng hợp ta có minM = 7, đạt đợc khi - 2 ≤ x ≤ 5

Trong ví dụ trên ta có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức:

x + y≤x + y

c) Phơng pháp miền giá trị của hàm số:

Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị (D) Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) với x ∈ (D) Điều này có nghĩa là phơng trình f(x) =

y0 ( với x ∈ (D) ) phải có nghiệm

Sau khi giải phơng trình, điều kiện có nghiệm thờng dẫn đến bất đẳng thức:

m ≤ y0≤ M

Từ đó suy ra: min f(x) = m với x ∈ (D); max f(x) = M với x ∈ (D)

Cũng có trờng hợp ta chỉ tìm đợc giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất, hoặc ngợc lại

7

2 (nghiệm kép vì lúc đó ∆' = 0)

b) Làm tơng tự câu a) ta có max y = −2423 , đạt đợc khi và chỉ khi x = 125

Ví dụ 2: Cho ( )

1x

1xx2

Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1; max A = 3 khi và chỉ khi x = 1

Chú ý: ở ví dụ 2 trên ta có thể giải bài toán theo cách khác.

1x

1x11

x

12xx1x1

x

1xx

2

2

≥+

++

=+

++++

=+

++

=

vì ( ) 0

1 x

1 x

2

2

≥ + + Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1

Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = - 1

2) ( ) ( ) ( ) ( ) 3

1

13

1

121

31

x

1xx

+

−

−+

=+

++

=

x

x x

x x x

−

x

x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Vậy max A = 3 khi và chỉ khi x = 1

d) Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ:

Nội dung của phơng pháp này là vận dụng các bất đẳng thức đã chỉ ra ở mục các

kiến thức thờng dùng để chỉ ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định (D) Ta phải chứng minh:

* f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m

* Chỉ ra trờng hợp x = x0∈ (D) sao cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A = 3 - (2x - 1)2 b) B = 4x - x2 + 2

c)

9 4x x

21 5x

Vậy max B = 6 khi và chỉ khi x = 2

c) x2 - 4x + 9 = (x - 2)2 + 5 ≥ 5, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2

Vì mẫu luôn luôn dơng nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là hằng số dơng nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó:

6 5 3 x

6 15 5x 3

2

+ +

= +

+ +

= +

6

Vậy max D = 5 + 2 = 7 khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a) E = x + 8 − x b) F = |x - 3| + |x - 5|

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức |x| + |y|≥|x + y|, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x.y ≥ 0

a) E = x + 8 − x ≥x+ 8 −x = 8, khi và chỉ khi x(8 - x) ≥ 0

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi (x - 3)(5 - x) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5.

VËy min F = 2 khi vµ chØ khi 3 ≤ x ≤ 5

VÝ dô 3: T×m gi¸ tri nhá nhÊt cña biÓu thøc:

a)

2 x

16 x M

− +

= víi x > 2

x

b x a x

16 2 x 2 x

16

x

− +

16 2 x

ab x b a x x

b x a

x

N

2

+ + +

= + + +

= + +

=

ab 2 x

ab x.

+

=

c

1 b

1 a

1 c b a

c 1 b

c c

b 1 a

b b

a 1 c

1 b

1 a

áp dụng hằng đẳng thức 2

a

b b

a + ≥ (với a, b > 0) ta đợc:

P ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Vậy min P = 9 khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 5: Tìm giá trị lơn nhất của biểu thức:

G = |x + 2y + 3z| biết rằng ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1

1 2

4 x 3 2

4 5 x 2

1 x).4 (3 5).4 (x

=

1x 4x

Vậy max A = 4 khi và chỉ khi x = - 1

4 Những sai lầm thờng gặp khi giải toán cực trị

a) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

17 6x x

Lời giải sai:

Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất

Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 ≥ 8

min (x2 - 6x + 17) = 8 khi và chỉ khi x = 3

Vậy max A = 81 khi và chỉ khi x = 3

Phân tích sai lầm:

Tuy đáp số không sai nhng lập luận sai khi khẳng định "A có tử không đổi nên

A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất" mà cha đa ra nhận xét tử và mẫu là các số

d-ơng

Ta đa ra một ví dụ: Xét biểu thức

4 x

1

B 2

−

= Với lập luận "phân thức B có tử không đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất", do mẫu nhỏ nhất bằng - 4 khi

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân

số có tử và mầu là hai số nguyên

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x4 - 1)(x4 + 1)

Học sinh rất dễ mắc sai lầm với lời giải sai nh sau:

Ta có: x4≥ 0 ∀x Suy ra: x4 - 1 ≥ - 1 ∀x và x4 + 1 ≥ 1 ∀x

Do đó: B = (x4 - 1)(x4 + 1) ≥ (- 1).1 = - 1 ∀x

0.x 11 x

Tuy đáp số không sai nhng việc lập luận để chỉ ra điều kiện 1 ( B ≥ - 1) trong lời giải trên lại sai Để chỉ ra điều kiện 1, ngời làm đã sử dụng phép biến đổi:

b.d

a.c d c

Vậy min B = - 1 đạt đợc khi x = 0

b) Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + x

Lời giải sai:

Ta có

4

1 2

1 x 4

1 4

1 x x x x

x = , vô lí

Lời giải đúng:

Để tồn tại x phải có x ≥ 0

Do đó A = x + x ≥ 0 Vậy min A = 0 khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )( )

x

b x a x

B= + +

, với x > 0, a và b là các hằng số cho trớc

Lời giải sai:

Ta có : x + a ≥ 2 ax (1)

bx 2 b

x + ≥ (2)

x

bx 2 ax 2 x

b x a x

Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số:

x

ab x x

ab bx ax x x

b x

= +

ab x

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x + 5 + 3 − x

Lời giải sai:

* Điều kiện để biểu thức A có nghĩa: - 5 ≤ x ≤ 3

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:

2

1 5 x 1 5

1 5 x

Với điều kiện: - 5 ≤ x ≤ 3 thì x + 5 ≥ 0 và 3 - x ≥ 0

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:

2

16 2

1 2

4 x 3 2

4 5 x 2

1 x).4 (3 5).4 (x

=

a) Chú ý 1: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ta có thể đổi biến

Chẳng hạn ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)

Lời giải:

Ta có P = (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = (x2 + 4x - 5)(x2 + 4x + 3)

Đặt x2 + 4x - 1 = t, khi đó P có dạng:

P = (t - 4)(t + 4) = t2 - 16 ≥ - 16 ∀t

P = - 16 khi và chỉ khi t = 0 ⇔ x2 + 4x - 1 = 0 ⇔ x = − 2 − 5hoặc x = − 2 + 5

Vậy min P = - 16 khi và chỉ khi x = − 2 − 5hoặc x = − 2 + 5

b) Chú ý 2: Khi tìm cực trị của biểu thức nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này

đạt cực trị bởi biểu thức khác đạt cực trị (xét biểu thức phụ)

1 x B

2x 1 1 x

1 2x x 1

1 x

B

1

4

2 4

2 4 4

2 2

+ +

= +

+ +

= +

+

=

a) Tìm giá trị lớn nhất của B:

Vì 2x2≥ 0 ∀x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0

x4 + 1 > 0 Suy ra 0

1 x

2x 4

2x 1

B

1

= 1 ⇔ x = 0

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B:

Ta có: (x2 - 1)2≥ 0, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 = 1 ⇔ x = ± 1

⇔ x4 + 1 ≥ 2x2 Vì x4 + 1 > 0, chia hai vế cho x4 + 1 ta đợc 1

1 x

2x 4

2

≤

Từ (*) ⇒ 1 1 2

B

1 ≤ + = ⇒ min B = 2 khi và chỉ khi x = ± 1

II Các dạng toán cực trị đại số thờng gặp:

Dạng 1: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Các phơng pháp thờng dùng để giải các bài toán dạng này gồm:

* Chia khoảng, xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối So sánh các giá trị trong tất cả các trờng hợp để tìm ra giá rtị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

* Sử dụng các bất đẳng thức phụ:

+ |A| + |B|≥|A + B| Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥ 0

+ |A| - |B|≤ |A - B| Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi B.(A - B) ≥ 0

+ |A| + 2

A

1

≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = ± 1

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (5 - x)(x + 2) ≥ 0 ⇔ - 2 ≤ x ≤ 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7 đạt đợc khi và chỉ khi - 2 ≤ x ≤ 5

- Theo cách 1, nếu bài toán có n dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét (n + 1) trờng hợp ứng với (n + 1) khoảng giá trị của x Rõ ràng với cách này làm cho lời giải bài toán rất dài nếu biểu thức có nhiều dấu giá trị tuyệt đối.

- Theo cách 2 và cách 3 lời giải của bài toán rất gọn ngay cả khi đề bài có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Nhng để làm theo cách 2 hoặc cách 3 thì ta cần phải có thao tác đổi dấu của biểu thức nằm ở một trong hai dấu giá trị tuyệt đối của M trớc khi vận dụng bất đẳng thức phụ Làm nh vậy thì sau khi áp dụng bất đẳng thức phụ

để đánh giá sẽ đợc một hằng số Chính điều này khi dạy, giáo viên cần chỉ ra cho học sinh tại sao phải làm nh vậy, làm nh vậy nhằm mục đích gì? Thực tế học sinh rất dễ sai ở thao tác này khi làm bài

- Nếu đối tợng là học sinh lớp 9, giáo viên nên chỉ ra biểu thức M ở trên có thể thay thế bởi M = x 2 − 10x + 25 + x 2 + 4x + 4, chính điểm này giúp cho học sinh lớp 9 có thể giải đợc không ít các bài tập cực trị có chứa căn thức có trong chơng trình

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời bình:

- Từ ví dụ 1 và ví dụ 2, giáo viên khi dạy có thể cho học sinh nhận xét về đặc

điểm của biểu thức M và N (số dấu giá trị tuyệt đối, cách làm ) qua đó thấy đ… ợc u thế của phơng pháp sử dụng bất đẳng thức phụ |A| + |B| ≥|A + B|

- Đến đây giáo viên có thể khái quát bài toán qua ví dụ 1 và ví dụ 2 đó là:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |f(x) + a| + |f(x) + b|.

Nhng để đi đến bài toán tổng quát, giáo viên cần tiếp tục đa thêm những ví dụ và

đặt ra những câu hỏi trọng tâm để học sinh phát hiện ra vấn đề

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + + … |x - 1999| + |x - 2000|

Lời giải:

B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + + … |x - 1999| + |x - 2000|

= |x - 1| + |x - 2| + + … |x - 999| + |x - 1000| + |1001 - x| + |1002 - x| + … + |1999 - x| + |2000 - x|

= (2000 - 1000) + (1999 - 999) + + (1001 - 1) …

=          

hạng số 1000

1000

1002 x

1001 x

1000 x

2x 1x

0x 2000

0x 1002

0x 1001

0 1000 x

02 x

01 x

- Trớc khi đi đến lời giải của ví dụ 3, giáo viên khi dạy cần cho học sinh nhận xét

về số dấu giá trị tuyệt đối có trong biểu thức Vậy ta cần đổi dấu bao nhiêu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để đợc tổng các số hạng sau khi vận dụng bất đẳng thức phụ là một hằng số?

- Cần lu ý học sinh cách đổi và thứ tự đổi dấu (1000 số hạng cuối)

- Với câu hỏi nh vậy giáo viên đã hớng học sinh tìm đến lời giải của bài toán sau:

Bài toán tổng quát 1: Cho a1, a2, a3, , a… 2m thoả mãn a1 < a2 < a3 < < a… 2m

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi am ≤ x ≤ am + 1.

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:

0 3-x

Rõ ràng với cách chia khoảng nh trên, lời giải sẽ trở nên dài khi số dấu giá trị tuyệt đối nhiều và việc đánh giá các bất đẳng thức kép để xác định miền giá trị của

0 3 x

1 x 1 x

≥

− +

− +

0 3-x

19

0 x-

3

0 1-

0 2

x

0 15

Trớc khi cho học sinh vận dụng bất đẳng thức |A| ≥ A giáo viên nên cho học sinh sắp thứ tự các giá trị tuyệt đối theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần về nghiệm của các nhị thức trong các dấu giá trị tuyệt đối Tiếp đó cho học sinh xác định số biểu thức nằm trong bao nhiêu dấu giá trị tuyệt đối cần đổi dấu và đó là những biểu thức nào? Trong ví dụ 5 ở trên ta đã sắp xếp theo thứ tự

|x + 15| + |x + 2| + |x - 1| + |x - 3| + |x - 19|

và ta đổi dấu của hai biểu thức cuối mà không đổi dấu của hai biểu thức đầu

Đến đây, giáo viên có thể dẫn học sinh đi đến bài toán tổng quát của ví dụ 4, ví dụ 5 là:

Bài toán tổng quát 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )( )

2

2 2

x

27 x 12 x 48 x 16 x

=

Dạng 2: Biểu thức là đa thức.

Các phơng pháp thờng dùng:

- Sử dụng bất đẳng thức A2m ≥ 0 ∀m ∈ N* Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = 0

- Sử dụng phơng pháp đa dần các biến vào hằng đẳng thức

- Phơng pháp miền giá trị, biến đổi đa về tam thức bậc hai, …

15 4

15 2

1 x 4

15 4

1 x x 4 x x A

2

1

x 8

39 8

39 4

1 x 2 8

39 16

1 2

x x 2 B

4

1

4a

4ac b 4a

4ac b 2a

b x a 4a

b c 4a

b x a

b x a

2 2

x =

4a

4ac b

25 4

25 2

3 x 4

25 4

9 x x 4 x x M

−

−

M =

4

25 khi và chỉ khi x = -

2

3.Vậy min M = 254 đạt đợc khi x = - 23

x 3

2 3

2 3

1 - x -3 N

=

4a

4ac b 4a

4ac b 2a

b x a 4a

b c 4a

b x a

b x a

2 2

2

2 2

x =

4a

4ac b

Từ kết quả ví dụ 1c và ví dụ 2c ta rút ra đợc kết luận sau:

+ Đa thức ax2 + bx + c (a > 0) có giá trị nhỏ nhất là

Qua hai ví dụ ở trên, khi dạy giáo viên nên cho học sinh rút ra nhận xét khi nào thì

đa thức ax2 + bx + c có giá trị lớn nhất, có giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: