DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ

Lời nĩi đầuBất đẳng thức và các bài tốn cực trị đại số là hai chuyên đề ít được đề cập đến lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa tốn ở bậc trung học cơ sở.Ở lớp 8 chuyên đề bất đẳn

Lời nĩi đầu

Bất đẳng thức và các bài tốn cực trị đại số là hai chuyên đề ít được đề cập đến lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa tốn ở bậc trung học cơ sở.Ở lớp 8 chuyên đề bất đẳng thức được trình bày 2 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập,do yêu cầu của chương trình

mà hai chuyên đề này trong chương trình sách giáo khoa khơng đi sâu vào mơ tả khái niệm bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp,tuy nhiên trong sách bài tập lại đưa ra bài tập của hai chuyên đề này vào cuối của một số chương, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc thi vào lớp 10 các trường chuyên thì học sinh lại gặp những bất đẳng thức rất phức tạp.Nhiều học sinh

đã tỏ ra lúng túng khi đứng trước bài tốn chứng minh bất đẳng thức hoặc bài tốn tìm cực trị của một biểu thức cĩ nhiều em đã chán nản khi phải học bất đẳng thức.Tự kiểm điểm lại bản thân, các em thấy rằng mình đã rất cố gắng trong quá trình học tập, cứ nghĩ mình đã nắm rất vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong sách giáo khoa thế nhưng đứng trước bài tốn chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị của một biểu thức thì lại bế tắc khơng tìm ra lời giải.về sau tham khảo lời giải của những bài tốn ấy thì thấy khơng cĩ gì khĩ khăn lắm vì chỉ tồn sử dụng kiến thức cơ bản về bất đẳng thức,cĩ những bài giải rất đơn giản nhưng chỉ vì một chút thiếu sĩt hoặc khơng nghĩ đến cách ấy mà các em đã giải sai.Là giáo viên tốn, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài trơng sách giáo khoa thơi thì chưa đủ mà phải biết vận dụng kiến thức để giải quyết trong những tình huống cụ thể, phải biết phân loại các dạng tốn và cách giải từng dạng tốn Các bài tốn về bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức trong các sách bồi dưỡng học sinh giỏi, tạp chí tốn học, báo tốn học tuổi trẻ, , và cả trên thư viện điện tử rất đa dạng, phong phú cĩ những bài cĩ nhiều hướng giải quyết và cũng khơng ít bài cĩ cách giải độc đáo.song thời gian dạy và hướng dẫn cho học sinh học tập lại hạn chế, do đĩ địi hổi người thầy phải biết tổng hợp,phân loại các dạng tốn thường gặp

và các phương pháp để giải chúng.Từ đĩ hướng dẫn học sinh rèn

luyện ý thức định hướng và đúc rút kinh nghiệm.Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại được một số dạng toán về bất đẳng thức, bài toán cực trị thường gặp và các phương pháp thích hợp để giải chúng.vì vậy tôi mạo muội viết ra những kinh nghiệm của bản thân để chia sẻ cùng các thầy(cô) dạy toán,các em học sinh và những ai yêu thích môn toán.

 Nhiều học sinh học yếu môn toán.

 Học sinh chưa nắm vững khái niệm, cũng như các tính chất của bất đảng thức

 Chưa vậ dụng linh hoạt lí thuyết về bất đẳng thức vào giả các bài toán cụ thể

 Kinh nghiệm giả toán bất đẳng thức và toán cực trị còn ít

 Hệ thống bài tập tự giải tự tích lũy của các em chưa nhiều

 Các em chưa phân loại được các dạng tốn cùng phương pháp chứng minh.

Từ thực trạng tình hình và phân tích nguyên nhân các em học sinh gặp vướng mắc khigiải tốn bất đẳng thức trong quá trình dạy học, tơi đã tổng hợp được một số dạngtốn chứng minh bất đẳng thức và giải bài tốn cực trị ở bậc THCS cùng với phươngpháp giải chúng.Sau đây là phương pháp giải một số dạng tốn về bất đẳng thức vàtìm cực trị của một biểu thức đại số

Khái niệm về bất đẳng thức:

Ta gọi a b (hay a b, , a b) là bất đẳng thức a là vế trái,

b là vế phải của bất đẳng thức.

a b

Một số tính chất:

* Với a,b,c R ,a>b, ta cĩ:

c) ac<bc (nếu c<0) c) a>b và b>c thì a>c

* V ới a>b>0,n là số nguyên dương, ta cĩ

* với mọi a,b R , ta cĩ: a>b  a-b>0

Chú ý: Các tính chất trên vẫn đúng trong trường hợp dấu của bất đẳng

thức là “ hoặc”

I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG

PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

VD 1 : Chứng minh rằng:

bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Dấu “=” x ảy ra khi a=b=c

VD 2: Chứng minh rằng 2a 2 +b 2 +c 2 2(ab+ac) với mọi a, b, c

hiễn nhiên đúng với mọi a,b,c dấu “=” xảy ra khi a=b=c

vậy 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a,b,c

theo chứng minh trên, ta có 1 1 4 = 4 2 (1)

VD 6: chứng minh rằng: 1 2 1 2 2

1a 1b 1ab với mọi ab>1

CM: nhân cả hai vế của BĐT với (1+a2).(1+b2).(1+ab) thì

1a 1b 1ab  (1+a2).(1+ab)+(1+b2) (1+ab)2(1+a2)(1+b2)

 (1+a)(2+a2+b2)-2(1+a2)(1+b2) 0

 2+a2+b2+2ab+ab.a2+ab.b2-2-2b2-2a2-2a2b2

là một số bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp áp dụng bấtđẳng thức cô sy

II DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

dấu “=” xảy ra khi a1a2 a3 , ,a k1

từ (1),(2) và (3) suy ra BĐT luôn đúng với mọi n 2

ghi chú: Cách chứng minh trên là cách chứng minh bằng phương pháp

quy nạp kiểu cauchy

VD1: Chứng minh rằng (a+b) (1+ab) 4ab với mọi a,b>0

Phân tích: ta không thể áp dụng ngay BĐT cô sy trong trường hợp này vì

ở vế trái là một tích để áp dụng bất đẳng thức cô sy ta phải viết vế trái

thành tổng

CM: ta có (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2 vì a,b>0 nên a,ab2,b,a2b>0

Theo bất đẳng thức cô sy, ta có a+a2b+b+ab2

4 a a b ab b . 4 a b 4ab

Dấu “=” xảy ra khi a=b=1

Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với mọi a,b>0

VD 3: Chứng minh rằng a+b+1 ab a b a,b 0 

phân tích: khác với hai ví dụ đã giải ở trên, ở trong B ĐT này cả hai v ế

đều là một tổng ba hạng tử trong bất đẳng thức trong BĐT cô sy chiềunhỏ hơn là nna a a 1 2 n vì vậy mỗi hạng tử ab, a, b là một vế nhỏ

hơn của ba bất đẳng thức cô sy khác Căn cứ vào điều này ta có thểchứng minh bài toán như sau:

Phân tích: Trong BĐT này ở vế trái có ba hạng tử, vế phải có hai hạng tử

vì vậy khi chứng minh bất đẳng thức này cần khéo léo tách các hạng tử ở

vế trái một cách hợp lí, tuy nhiên nếu chỉ để ý vế trái thôi thì việc phân tíchcũng sẽ gặp khó khăn, mà để làm được điều này ta cũng cần để ý vế phải

để có cách phân tích phù hợp Ta có thể giải bài tập này như sau:

CM: vì a,b0 nên 2a,2b0

Áp dụng bất đẳng thức cô sy, ta có

12

a 

+

1222

22

n

n

n

a a a a

VD 2: cho a,b,c >0 chứng minh rằng

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

VD 3: cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng: 2 2 1 1 9 1 1

dụng bất đẳng thức cộng mẫu rồi cộng vế với vế của hai bất đẳng thức đó.

Ta có thể chứng minh như sau:

1 2 3

n n

Bài tập tự giải:

Bài 1: Ch ng minh xứ  y 2 nếu 1a x  1y 2 1a

b) TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc : P = 1 + 2x + 1 + 2y

Trong quá trình dạy học chứng minh BĐT nhiều khi ta còn gặp những bài toán không thể áp dụng những bất đẳûng thức cổ điển như cô sy hay Bunhiacopski mà đòi hỏi sự sáng tạo trong quá trình phân tích và chứng minh bất đăûng thức.Có khi chúng ta phải tách các số hạng hoặc các thừa số ở một vế nào đó của bất đẳng thức cũng có khi phải đưa vào trong bài toán moat đại lượng trung gian để so sánh.Sau đây là hai phương pháp để giải một số bài toán như đã nói.

tách các số hạng hoặc tách các thừa số của một vế.

Trong một số trường hợp ta tách số hạng hoặc thừa số của một vế rồi từ đó thực hiện phép tính.

ta nhận thấy với mọi n N ta luôn có 1 vì vậy vế trái bằng:

( 2)2

2.3.4 1 2.3.4 ( 1)2.2 3.3 4.4. . ( 1)( 1) 2( 1) (1)

CM 1.2 2.31  1  n n( 11)  1 n Z+

IV Phửụng phaựp laứm troọi:

Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A ≥ B

2 Ví dụ:

Ví dụ 1 Chứng minh rằng:

n n

1

2

1 1

n n

11

1

4 3

1 3 2

1 2 1

4

1 3

1 3

Bài tập tự giải:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi *

Dạng 1: Tìm cực trị của biểu thức là đa thức bậc hai.

Muốn tìm GTNN của biểu thức dạng ax2+ bx+c (a, b, c là

các số, a0) ta biến đổi biểu thức về dạng (a’x+b’)2+c’, khi

đó GTNN của biểu thức là c’.

v (x 2) 0 nên x 2 5 5 vậy GTNN của biểu thức là 5 và biểu thức có GTNN khi x=-2

 

2 2

2 2 2 với mọi x do đó GTLN của biểu thức là 2

2

1 biểu thức đạt GTLN khi x= 2

Bài tập tự giải:

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức:

Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức: x(x+1)(x+2)(x+3).

Cũng có khi chúng ta gặp những bài toán tìm cực trị của một đa thức nhiều biến khi đó

ta cũng biến đổi biểu thức về dạng A(x,y)+c (nếu là bài toán tìm GTNN) trong đó

A(x,y) không âm, c là môt số hoặc biến đổi về dạng - A(x,y)+c (nếu là bài toán tìm

GTLN) trong đó A(x,y) không âm, c là môt số.

VD: Tìm GTNN của biểu thức A=x2y2+x2-6xy+4x-3.

2

2 2

Nhận xét: Cách giải giải trên không hề dễ dàng gì đối với học sinh vì việc phân tích

và tách biểu thức như vậy không mấy học sinh làm được Ta còn có thể giải bài tập này bằng cách đơn giản sau:

Có khi giải bài toán cực trị của biểu thức phân ta phải rút gọn biểu thức phân đó Để

được biểu thức đơn giản, sau đó mới tìm cực trị của bài toán.Sau

đây là ví dụ về bài toán như vậy:

2( 1) D=

1

x x x

 



Dạng 3: Áp dụng bất đẳng thức cô sy để giải bài toán cự trị

Từ bất đẳng thức cô sy, ta chứng minh được tính chất sau:

Nếu tổng của hai số không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Nếu tích của hai số dương không đổi, thì tổng của chúng bé nhất khi hai số đó bằng

nhau.

Trong trường hợp tổng quát mở rộng ta có:

1) Nếu a1….an=p=const thì Min (a1+…+an)=nn khi a1 2

a) Ta nhận thấy x3+ (54-x3) =54 không đổi.Do đó x3(54-x3) có

giá trị lớn nhất khi x3= (54-x3) =>2x3=54 => x3=27 =>

GTLN của biểu thức A là 27(54-27) =729

b) phân tích: Nếu ta xem 3x2 là một thừa số và 8-x2 là một

thừa số thì tổng của chúng là 2x2+8 phụ thuộc vào x Nếu

ta xem x2 và 8-x2 là hai thừa số của tích thì ta thấy x2

+(8-x2)= 8 không đổi.

x2+(8-x2)= 8 không đổi Do đó x2(8-x2) đạt GTLN khi x2 = (8-x2) suy ra x2=4 GTLN của biểu thức là 4(8-4) =16 vậy GTLN của biểu thức B=3x2(8-x2) là 3.16 =48

Tại x=3 thì

1 1 , khi đó ta phải nhân 9 vào để được biểu thức có giá trị là 3, 1 9 3

8 tuy nhiên ta lại phải bớt đi

x



2 ; 1 1

2 2 2 2 với mọi x dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi x=-1.

Vậy GTNN của f ( ) 2.

x

x x

là x

Bài tập tự giải:

Bài 1: cho a,b>0 và a+b=9 Tìm

c)Max(5 a b )

Bài 2: cho a,b,c>0 a+b+c=9 Tìm

a) Max(a.b.c) b) max(a2.b3.c4) c) Max 6 a b c .4 3 

Bài 3: Tìm GTNN của A=1 1 với x,y>0 và x2 y2 1

Gợi ý: Bài 3 áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu.

Dạng 4: Aùp dụng bất đăûng thức Bunhiacopski để giả bài tốn cực trị VD 1: Tìm GTLN của f( )x  x   3 6 , x  x     3,6  

VD 3: Tìm GTNN của biểu thức D=x2+2y2; (x+y=1)

Giải: Aùp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có

Dấu "=" xảy ra khi 2 , khi đó GTNN của D là

3 1

Bài tập tự giải:

Bài 1:Tìm GTLN của biểu thức x+y+z; với x,y,z thỏa mãn:

Dạng 5: GIải bài toán cực trị bằng phương pháp khác

VD: Tìm GTNN của các biểu thức sau:

này GTNNcủa biểu thức là 1

trong trường hợp

b) x22x1 + x2  6x9   x 1 x 3 Đến đây làm tương tự như câu a)

ta được GTNN của biểu thức là 4.

Bài tập tự giải:

Tìm GTNN của các biểu thức sau:

2 2 2

x

x x d

các nhà trường cần phải có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kém,

bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; mỗi giáo viên phải không ngừng tự

học, phải thương yêu học sinh,tận tâm với nghề có như thế thì chất

lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn mới tăng lên được.

Bằng cách tổ chức phụ đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề bất

đẳng thức và toán cực trị, với những phương pháp giải các dạng

toán như đã nêu ở trên cho thấy rằng học sinh đã có sự tiến bộ rất

nhiều trong quá trình học tập chuyên đề bất đẳng thức và toán cực

trị.Các em đã nhận được dạng toán và đã phần nào biết cách giải

các dạng toán thường gặp, thậm chí có những học sinh còn có

những cách giải độc đáo.Sau đây là kết quả thống kê điểm kiểm

tra ( 90 phút) của 26 học sinh học sinh được áp dụng đề tài này.

Kết quả này là chưa cao,nhưng nếu so sánh kết quả này với kết

quả kiểm tra trước khi áp dụng đề tài này thì đây là sự tiến bộ rất

đáng kể của học sinh.Với những gì đã làm được khi dạy học ở

trường THCS Lê Quý Đôn, thông qua đề tài này tôi mong muốn

được đóng góp một phần rất nhỏ bé của mình vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học càng phất triển đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục.

Trong phạm vi đề tài này, bản than tôi đã có nhiều cố gắng nhưng

vì khả năng có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi sai sót.Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo để đề tài này được hoàn thiện hơn.

Tài liệu tham khảo

Trong quá trình viết đề tài này tôi đã tham khảo một số tài liệu sau:

1) Sách toán 8 tập 2 (Phan Đức Chính tổng chủ biên)

2) Toán nâng cao chọn lọc đại số 8 (Nguyễn Vĩnh Cận –Lê Khắc Bảo-vũ Thế Hựu-Lê Đình Phi-Phan Thanh Quang-Phạm Đan Quế)

3) Tài liệu ôn thi vào lớp 10 chuyên Lê hồng phong (2003-2004) môn toán Và một số tài liệu khác.

Chứng minh BĐT bằng phương pháp biến đổi tương đương 3

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh BĐT 10 Chứng minh BĐT bằng phương pháp tách các số hạng… 12

Chuyên đề toán cực trị

Tìm cự trị của một đa thức bật hai một ẩn 15

Tìm cực trị của một số biể thức phân 17

Áp dụng BĐT cô sy để giải bài toán cực trị 20

Áp dụng BĐT Bunhiacopski để giải bài toán cực trị 22 Giải bài toán cự trị bằng các phương pháp khác 23