Chuyên đề HSG:Toán cực trị

Chuyên đề 6:Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất A- Tóm tắt kiến thức cơ bản I... Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất... Xác định giá trị đó.

Chuyên đề 6:

Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất

A- Tóm tắt kiến thức cơ bản

I Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định với x  D

Nếu có hằng số M sao cho: 













M x

f D x

D x M x f

) ( : , ) (

0 0

thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x)

Kí hiệu: M = max f(x)

Nếu có hằng số m sao cho: 













m x

f D x

D x m x f

) ( : , ) (

0 0

thì m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x)

Kí hiệu: m = min f(x)

Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa

II Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số

1) Dùng tính chất A  A Dấu “=” xãy ra  A 0

Ta có:

+ A 0 Dấu “=” xãy ra khi A = 0

+ x  y  x + y Dấu “=” xãy ra khi xy0

+ x  y  x - y Dấu “=” xãy ra khi x = y

2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 và g(x) > 0

+ Cho f(x) = A +

)

(x

g B

Khi đó: * f(x) lớn nhất  g(x) nhỏ nhất

* f(x) nhỏ nhất  g(x) lớn nhất

+ Cho f(x) = A -

)

(x

g

B

Khi đó: * f(x) lớn nhất  g(x) lớn nhất

* f(x) nhỏ nhất  g(x) nhỏ nhất

3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn

Ta có F(x) 2n

0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n N

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho: + y = M - g(x) 2n , n Z+  y M

Do đó y max = M  g(x) = 0

+ y = m + h(x)  2k , k Z+  y M

Do đó ymin = m  h(x) = 0

4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết

+ Luỹ thừa bậc chẳn:

A2k 0 với mọi k Z+, dấu “=” xãy ra  A = 0

+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm

Với a,b 0, ta có

2

b

a 

 ab Dấu “=” xãy ra  a=b + Bất đẳng thức Bunhiacốpski

Với các số a,b,c,d ta có: (ac + bd)2  (a2 + b2) (c2 + d2)

Dấu “=” xãy ra  ad – bc = 0

5) Dựa vào tập giá trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

Nếu phơng trình y = f(x) có nghiệm thuộc D  a  y b thì min f(x) = a và max f(x) = b

B- bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

a) A = 3,7 + 4 , 3  x

b) B = 3x 8 , 4 - 14,2

c) C = 4x 3 +5y 7 , 5 + 17,5

Giải

a) Vì 4 , 3  x  0 với x, do đó A  3,7 với x

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3,7 khi 4 , 3  x = 0 hay x = 4,3

b) Vì 3x 8 , 4  0 với x, do đó B  -14,2 với x

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -14,2 khi 3x 8 , 4 = 0 hay x = - 2,8

c) Vì 4x 3  0 với  x và 5y 7 , 5  0 với  y

 4x 3 +5y 7 , 5  0 với x, y  C 17,5 với x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi 4x 3 = 0 và 5y 7 , 5 = 0

hay x= 0,75 và y = -1,5

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) D = 5,5 - 2x 1 , 5

b) E = - 10 , 2  3x - 14

c) F = 4 - 5x 2 - 3y 12

Giải

a) Vì 2x 1 , 5  0 với x nên D = 5,5 - 2x 1 , 5  5,5 với x

Vậy giá trị lớn nhất của D là 5,5 khi 2x 1 , 5 = 0 hay x = 0,75

b) Vì 10 , 2  3x  0 với x nên E = - 10 , 2  3x - 14 = -14 - 10 , 2  3x 

-14

với x

Vậy giá trị lớn nhất của E là -14 khi 10 , 2  3x = 0 hay x = 3,4

c) Ta có F = 4 - 5x 2 - 3y 12 = 4 - [ 5x 2 + 3y 12 ]

Vì 5x 2 + 3y 12  0 với x,y nên F  4 với x,y

Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi 5x 2 + 3y 12 = 0  











0 12 3

0 2 5

y x













4 4 , 0

y

x

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = x 2002 + x 2001

Giải

Ta có

M = x 2002 + x 2001 = x 2002 + 2001  x x 2002  2001  x =1 (áp dụng tính chất x  y  x + y )

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x – 2002 và 2001 – x cùng dấu nhĩa là

2001  x 2002

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A= (x-3)2 + (y-1)2 + 5

b) B = x 3 + x2 + y2 + 1

c) C = x 100 + (x - y)2 +100

Giải

a) Ta có (x-3)2  0 với x

(y-1)2  0 với y

 (x-3)2 + (y-1)2  0 với x,y

 A = (x-3)2 + (y-1)2 +5  5 với x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi  (y  1 ) 2  0  y  1

b) Ta có x 3  0 với x; x2  0 với x; y2  0 với y

 x 3 + x2 + y2

 0 với x, y  x 3 + x2 + y2 + 1 1 với x, y

 Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất là 1 nếu 









0 0 3

2

y x











0 3

y

x

 không tồn tại x thoả mãn

Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất

c) Ta có x 100  0 với x; (x - y)2

 0 với x, y

 x 100 +(x - y)2

 0 với x, y  x 100 +(x - y)2 + 100  100 với x, y

Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi 











0 )

(

0 100

2

y x x

 







y x

 x = y = 100

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a) A = 100 – (y2 – 25)4

b) B = - 125 – (x – 4)2 – (y - 5)2

Giải

a) Vì (y2 – 25)4

 0 với  y nên 100 – (y2 – 25)4

 100 với y Vậy giá trị lớn lớn nhất của biểu thức A là 100 khi (y2 – 25)4 = 0  y2 – 25 = 0

 y = 5

b) Ta có B = -125 – {(x - 4)2 + (y – 5)2}

Vì (x - 4)2  0 với x , (y – 5)2  0 với y nên B  -125 với x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -125 khi 











0 ) 5 (

0 ) 4 (

2 2

y x

 



 5 4

y x

Bài 6:

a) Tìm các số nguyên để biểu thức

A = x 1+ x 2 đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm giá trị của x để biểu thức

B = 10 - 3 x 5 đạt giá trị lớn nhất c) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức

C = -15 - 2x 4 - 3y 9 đạt giá trị lớn nhất

Giải

a) Xét các trờng hợp sau:

+ Nếu x < 1 thì A = 1 – x + 2 – x = 3 – 2x Do x < 1

vì thế A = 3 – 2x > 3 – 2 = 1 (*)

+ Nếu 1  x  2 thì A = x – 1 + 2 – x = 1 (**)

+ Nế x > 2 thì A = x – 1 + x – 2 = 2x – 3 > 4 – 3 = 1 (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 1  1  x  2

Vì x  Z nên x = 1; 2

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2

b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi và chỉ khi x = 5

c) Giá trị lớn nhất của C là -15 khi và chỉ khi x = 2; y = -3

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 1

Giải

Ta có thể viết A = (x + y + 1)2 + (x – 2)2 – 4  - 4

 A min = - 4  













0 ) 2 (

0 ) 1 (

2 2

x y x

 





 3 2 (

y x

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y = 6  x + x 2

Điều kiện: 6 – x 0, x + 2  0  -2  x  6

Ta có y2 = ( 6  x + x 2)2 , y > 0

Chọn a = 1, c = 6  x, b = 1 , d = x 2

áp dụng bất đẳng thức (ac + bd)2 (a2 + b2) ( c2 + d2)

Ta có y2

 (1 + 1) ( 6 – x + x + 2) = 2.8 = 16

 y  4  - 4  y  4

Do y > 0 nên ta có 0  y  4

Vậy y max = 4

Bài 8: Cho y =

1

4 2



x

x

Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất Xác định giá trị đó

Giải

Ta có a2 + b2

 2ab nên suy ra x4 + 1 = (x2)2 + 12

 2x2

 1 

1

2

4

2



x

x = 2y

Xét

1

2

4

2



x

x = 1

 x4 – 2x2 + 1 = 0  (x2 - 1)2 = 0  x2 = 1  x = 1

Do đó x = 1 thì y max =

2 1

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x20 – 5x4 + 9

Giải

Ta có y = (x20 – x4) – 4(x4 – 1) + 5 = x4(x16 – 1) – 4(x4 – 1) + 5

= x4{(x4)4 – 1} – 4(x4 – 1) + 5 = (x4 – 1)(x16 + x12 + x8 + x4 – 4) + 5 Với x  1 thì x16

 x12

 x8

 x4

 1

 x4 – 1  0 và x16 + x12 + x8 + x4 – 4  0  y  5

Với x < 1 thì x16 < x12 < x8 < x4 < 1

 x4 – 1  0 nên x16 + x12 + x8 + x4 – 4 nên y > 5

Do đó y min = 1 khi x = 1

c Bài tập về nhà

Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

A = x 1  x 4

B = x  8  x

Bài 2: Với giá trị nào nguyên của x thì biểu thức D =

x

x



 4

14

có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó?

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 5 – 3(2x – 1)2; B =

3 ) 1 ( 2

1

2 



2

8

2 2





x x

Bài 4: Tìm giá trị của n N để phân số

3 2

8 7





n

n

đạt giá trị lớn nhất

Hớng dẫn

Bài 1: Tơng tự bài 4a

Bài 2: D = 1 +

x

 4 10

 Dmax  4 – x đạt giá trị nguyên nhỏ nhất

Bµi 3: max A = 5; max B =

3 1

; max C = 4