PP giải các bài toán cực trị

Mục đích nghiên cứu Từ thực tế giảng dạy môn toán cho học sinh khá , giỏi tôi đã rút ra đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề : “ Một số phơng pháp giải bài toán cực trị ” với

ii Mục đích nghiên cứu

Từ thực tế giảng dạy môn toán cho học sinh khá , giỏi tôi đã rút ra

đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề : “ Một số phơng pháp giải bài toán cực trị ” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh :

-Nắm đợc các dạng bài và phơng pháp giải các bài toán cực trị -Rèn kĩ năng làm bài toán cực trị

-Học sinh thấy đợc loại toán gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế

-Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ , các thao tác t duy : So sánh , phân tích , tổng hợp , đặc biệt hoá , khái quát hoá , …

III Ph – ơng pháp nghiên cứu :

Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là :

- Phơng pháp thực nghiệm

- Phơng pháp phân tích – tổng hợp

- Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá

B Nội dung đề tài Nội dung đề tài gồm 3 phần:

Phần I : Khái quát chung

Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số

Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học

Phần IV : Kết quả thực hiện đề tài Phần V : Kết luận

Phần I

Khái quát chung

A/Mục đích yêu cầu:

1/ Đối với giáo viên:

- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị

- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơngpháp chính giải từng loại về bài toán cực trị

- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khigiải các bài toán về cực trị

2/ Đối với học sinh:

- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bàitoán cực trị

- Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơngpháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó

- Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị vào đời sống

B Lý thuyết chung:

Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xa trong lịch sử toán học Nó bắtnguồn từ hoạt động thực tiễn của con ngời, ngày nay các bài toán cực trị đợcnghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật Chúnggóp phần hình thành nên các ngành của toán học nh quy hoạch tuyến tính, lýthuyết điều khiển tối u

Trong đề tài này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải không dùngphơng pháp đạo hàm

Xét hàm số n biến: F (x,y,z ) liên tục trên miền đóng D ∈ Rn

Nếu F(x,y,z ) ≤ A với mọi (x,y,z) ∈ D = const

Đồng thời ∃ (x 0,y0,z0 ) sao cho F(x0,y0,z0 ) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhấtcủa F (x0,y0,z0 ) trên D Ký hiệu max F (x0,y0,z0 ) = A

Tơng tự, nếu F (x0,y0,z0 ) ≥ A (a = const) ∀ (x,y,z ) ∈ D

Và ∃ (x0,y0,z0 ) ∈ D sao cho F (x0,y0,z0 ) = a

Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z ) trên D

Ký hiệu: min F (x,y,z ) = a

Trong chơng trình Trung học cơ sở, thông thờng n =1 ; 3 Nh vậy để giảimột bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc:

Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z ) ≥ a (hoặc ≤ A)

(Với A; a là hằng số) ∀ (x,y,z ) ∈ D

Bớc 2: Chỉ ra đợc (x0,y0,z0 ) ∈ D sao cho F (x0,y0,z0 ) = a (hoặc = A)

- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt

y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức

+ Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M

¸p dông ph¬ng ph¸p nµy ta cã thÓ lµm cho vÝ dô 3 vµ vÝ dô 4.

VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = ax2 + by2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)

ab

abe ad

- Nếu m < 0 ta có max P = max1 A ; min P = min1 P

Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị củaphân thức về bài toán cực trị của đa thức

Vậy maxM = 43 với x = 21

Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất

khi mẫu nhỏ nhất

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

khi a,b cùng dấu

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

N =

5 4

6 6 2

2

2

+ +

+ +

x x

x x

Giải: N =

5 4

6 6 2

2

2

+ +

+ +

x x

x

5 4

1 2 5

4

2

2 2

+ +

+ + + + +

x x

x x x x

(x + 1)2 ≥ 0 ∀ x

= 1 + ( ( 2)12) 1

2

+ +

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = -1 vậy min N = 1 ⇔ x = -1

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P =

1 2

x x

Giải: P =

1 2

x

2

) 1 (

1 1 1 2

−

+

− + +

−

x

x x x

1

+

+ +

x

x x

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

D =

5 4 4

2 +

+

x x

IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

max f (x) = A

d, Giả sử ta có

min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a1,b1)

Nếu f (x) ≥ 0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a1,b1)

min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a1,b1)

Nếu max f (x) ≥ 0 còn min f (x) ≤ 0 trên đoạn (a 1,b1)

Ta có: max f (x) = max (A; a )

min f (x) = 0

Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a1,b1)

min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a1,b1)

Chứng minh:

a, Luôn đúng theo định nghĩa

b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có

d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên

Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế

( Xét các trờng hợp có thể xảy ra)

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8

Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x) ≥ f (x) + g (x)

Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + + h(x)  ≥ f (x) + g (x) + + h(x)

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x), g (x), , h(x) cùng dấu

(Việc chứng minh đơn giản)

Nếu 1996 ≤ x ≤ 2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2)

Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996 x > 2000 ⇒ 2x > 4000 ⇒ 2x- 3996 > 4000- 3996 ⇒ A > 4 (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ min A = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức x + y≥x +y dấu “ = ” xảy ra khi xy ≥ 0 Ta có: A = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + 2000- x≥ x- 1996- x +2000 = 4 Vậy A ≥ 4 ⇔ (x- 19996) (2000- x) ≥ 0

Lập bảng xét dấu: x 1996 2000

x- 1996 - 0 +  +

2000- x +  + 0

-(x-1996) (2000- x) 0 + 0

(x- 1996) (2000- x) ≥ 0 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

Vậy min A = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B = x- x2 - 43 -2

Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất x- x2 - 43  đạt giá trị nhỏ nhất

Đặt f(x) = x- x2 - 43 ta có f(x) < 0 ∀ x ∈ /R

f(x) = - (x2- x +

4

1

+

2

1

= - (x-

2

1

)2 -

2

1

≤ - 21 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = 12 vậy max f(x) = 12 ⇔ x =12

Theo ý (d) vì max f(x) = - 21 ⇔ x = 21

min f(x) = 21 khi x = 21

min B = 21 - 2 = - 23 khi x = 21

4.3- Bài tập ứng dụng:

Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

A = 2x- 3

B = 5- 3x + 2

C = 5 1- 4x - 1

D = x -1 + x- 4

E = 5- 2x -1

Ví dụ 11: (Đa về hàm giá trị tuyệt đối)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Ví dụ 12: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số không âm (x-2) và (4-x) ta có

x

x x

x

x x

x

−

− + +

x

x

−

− + 16 ≥ 16

Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của:

VI/ Cực trị có điều kiện:

Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó Đểgiải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gianmột cách hợp lý và khéo léo

Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theocách giải ở trên

6.1- Các ví dụ:

Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất,tìm giá trị lớn nhất của x + y

Giải: Với x,y R ta đều có:

(x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy +y2

= 2(x2 + y2) = 2 (Vì x2 + y2 = 1)

Do (x-y)2 ≥ 0 dấu “=” xảy ra ⇔ x= y

Nên (x+y)2 ≤ 2

x+y ≤ 2

- 2 ≤ x +y ≤ 2

Khi x = y ta có x2 + x2 = 1 ⇔ x2 =

2

1 ⇔ x=

2

2

− +

Vậy max (x+y) = 2 x = y =

2 2

min (x+y) = - 2 x = y =

2

2

−

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

N = 2x+ 3y- 4z

Biết rằng x,y,z ≥ 0 và thoả mãn hệ phơng trình

2x+y+3z = 6 (1)

3x+4y-3z = 4 (2)

Giải: Từ hệ phơng trình điều kiện ta có: 5x+5y = 10 ⇔ x +y = 2 ⇔ y = 2-x (3)

Thay (2) vào (1) ta có: 2x+2-x+3z = 6 ⇔ z = 43 - ă 3 x Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có: N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 (34 -3x ) = 2x + 6- 3x- 3 16 + 3 4x = 3 x + 3 2 ⇒Nmin(Nmax) ⇔ 3 x có giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) mà 3 > 0 cố định ⇒ Nmin (Nmax) ⇔ xmin (xmax) Do x ≥ 0 nên min N = 32 ⇔ x=0; y= 2; z= 3 4 Lại có: y ≥ 0 nên từ (3) ta có x ≤ 2 x ≤ 2 z ≥ 0 nên từ (2) ta có x ≤ 4

Vậy maxN = 3 2 + 3 2 = 3 4 ⇔ x = 2, y = 0, z = 3 2 Ví dụ 16: Cho a,b,c ∈ -1;2 thoả mãn a+ b+ c = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2 Giải: Ta có a,b,c ∈ -1;2

⇒ -1 ≤ a ≤ 2 ⇒ a+1 ≥ 0 và a- 2 ≤ 0

⇒ (a+1) (a- 2) ≤ 0 ⇔ a2 ≤ a + 2

tơng tự ta cũng có: b2 ≤ b + 2

c2 ≤ c + 2

Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có:

1 4

Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz+ 36 xy

Giải: Ta chứng minh rằng P > 0 x,y,z

Biến đổi P về tam thức bậc hai đối với x

P= f(x) = 19x2- 2(8z - 18y)x + (54y2 + 16z2- 24yz)

Ta có: ∆ ′x = (8z- 18y)2- 19 (54y2 + 16z2- 24yz)

∆ ′x = - 702y2 + 168yz- 240z2

Ta coi ∆ ′x là một tam thức bậc hai đối với y

Khi đó: ∆ ′y = 842.z2- 702 240z2

∆ ′y =- 161 424y2 ≤ 0 ∀ x

⇒ ∆′x ≤ 0 ∀ y,z

⇒ P = f(x) ≥ 0 ∀ x,y,z

Vậy min P= 0 khi x = y = z = 0

Ví dụ 18: Xác định a,b sao cho hàm số y =

đạt giá trị lớn nhất bằng 4, nhỏ nhất bằng –1

Giải: ta phải tìm a,b để 1≤ 2 +1

+

x

b ax

≤ 4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra.

≤ 4

≥ 1 ∀ x và dấu “=” xảy ra đợc 4x2- ax + 4-b ≥ 0 ∀ x và dấu “=” cũng xảy ra đợc

đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1

VIII/ Tìm cực trị dựa vào miền giá trị hàm số:

+

−

x x

x x

Giải: Để biểu thức A nhận giá trị a ⇔ phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm

+

−

x x

x x

(1) ⇔ax2 + ax + a = x2-x+1

⇔ (a-1)x2 +(a+1)x +(a-1)=0

Trờng hợp 1: Nếu a= 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trờng hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm cần và đủ là ∆ ≥ 0 tức là

(a+1)2- 4(a-1)2 ≥ 0

⇔ (a+1+2a-2) (a + 1- 2a+ 2) ≥ 0

VÝ dô 20: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña

f(x) =

1 2 3

3 10 2

2

2

+ +

+ +

x x

3 10 2

2

2

+ +

+ +

x x

x

x ∈ /R

b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña:

g(x) = 2 2

4 2

) 1 (

3 4 3

x

x x

+

+ +

x x

a, Cho đẳng thức côsi (Cauchy)

Cho n số không âm a1, a2, a12 ta có bất đẳng thức

n

a a

1

2

) ( ≤ ∑

=

n

j j

b

1

2

) ( Dấu “=” xảy ra ⇔ ∃ k ai = k bj ∀ i = 1; n

a1+ 2 + + k

≥ k a1a2 a k

Ta phải chứng minh mệnh đề dúng với n = k + 1

Giả sử a1 ≤ a 2 ≤ a k ≤ a k+1 ( Nếu điều kiện không thoả mãn thì tathay đổi vị trí và đặt lại thứ tự)

⇒ak+1 ≥ a1+a2k+ +a k

Đặt

k

a a

a1+ 2 + + k

= x thì x ≥ 0 ⇒ ak+1 = x+y với y ≥ 0 và xk ≥ a 1a2 .ak ( Do giả thiết quy nạp) ta

a a a

1

+ +

k

y k

+

+ + +

k

a a a

≥ 1 2 1 1

++

k k k

a a a a

Vậy mệnh đề luôn đúng với n ≥ 2

Nếu A= 0 thì a1 =a2 == =a n = 0 bất đẳng thức đợc chứng minh

Nếu B = 0 ta cũng có b1 =b2 = =b n ⇒ bất đẳng thức luôn đúng

Với A ≠ 0 và B ≠ 0, x bất kỳ ∈ R

1 1 1 2 2 1

2 1

2 2

0 ) (

)

( 2 )

(

2

2 2 2 2 1 2

2 1 1 2 2 2

2 2

1

≥ +

−

⇒

≥ + + + +

+ +

− +

+ +

B Cx Ax

b b b x b a b

a b a x a a

a b

9.2- Các ví dụ:

Ví dụ 21: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Cho a,b,c là ba số dơng có tích abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)

Giải: Vì a,b,c dơng áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1+a ≥ 2 a

x 1 +b≥ 2 b

1 +c≥ 2 c

y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) ≥ 8 abc mà abc = 1

⇒y≥ 8 vậy min y = 8 khi a = b = c = - 1

Ví dụ 22: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 1

2 2

a P

Giải: Vì a > 1; b > 1 0

1

; 0 1

2 2

a

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

) 1 )(

1 (

2 1 1

2 2 2

b b

a

1 1

2 1 1

2 2

b b

1 1

2 1 1

2 2

b b

a

Vậy P ≥ 8 do đó min P = 8 khi a = b= 2

Ví dụ 23: (áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky)

Cho hai số dơng x,y luôn nghiệm đúng với hệ thức:

2x +3y tìm giá trị nhỏ nhất của x + y

y

x x

3 2

≥

2+3 = 6

y x

Dấu “=” xảy ra khi

3 2

6

2 + y= + Vậy min(x+y) =

6

6 2

5 + khi x =

6

6 3 , 6

6

2 + y= +

Ví dụ 24:

a, Tìm giá trị lớn nhất của: A = (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2)

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =

x

x x

2

1 4

16 2 + + với x > 0 Giải: a, Xét (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 không đổi

2

1 4

2

1 2

16 2

1 1

1+ + = ⇔x=

9.3- Nhận xét:

a, Bài toán cực trị: Chỉ ra tất cả cacd giá trị của biến để xảy ra dấu đẳngthức bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị của biến

để xảy ra dấu của đẳng thức

b, Trong tất cả các hằng đẳng thức ta cần chú ý đến hai mệnh đề sau:

+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất ⇔ hai số

đó bằng nhau

+ x ,y ∈R , xy = const ⇒ (x+y)min ⇔ x = y ( Nh ở ví dụ 24)

9.4- Bài toán tơng tự:

Bài tập 12: a, Cho x, y sao cho 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 4

Tìm giá trị lớn nhất của Q = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y)

b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1 ≤ t ≤ 2

Tìm giá trị lớn nhất của R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz

c, Cho 2 số x,y thoả mãn x2 + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của H = 3x + 4y

d, Biết x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = 1+x x.1+y y.1+z z

X/ Sáng tạo bài toán cực trị:

Ví dụ: Từ một số phơng pháp đi tìm ực trị ta có thể vận dụng và khái quát thànhmột số bài tập mới

Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳtheo yêu cầu của một số bài toán

Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 25: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = x3 ( 16- x3) với (0 < x3 < 16)

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

x

x 1998 ) 2

( + với > 0 Giải: a, Ta có: x3 + (16- x3) = 16 (không đổi)

Nên x3 (16- x3) lớn nhất khi và chỉ khi

x3 = 16- x3 hay x3 = 8 ⇔ x = 2

Vậy maxA = 23 (16- 23) = 16 khi x = 2

b, B = 2.1998 1998 1998 2 1998

2 2

2

+ +

= +

+

x

x x

x x

Ví dụ 26: Cho biểu thức M = x2+ y2 + 2z2 + t2 Với x,y,z,t ∈ N

Tìm giá trị nhỏ nhất của M là các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng

x2- y2 + t2 = 21 (1)

x2+ 3y2 + 4z2 = 101 (2)

( Thi học sinh giỏi toàn quốc 1985)

Giải: Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta đợc:

2(x2+ y2 + 2z2 + t2 )- t2 = 122

61

2 61

2

≥ +

VÝ dô 27: Cho x,y ∈R tho¶ m·n x2+ y2 = 1

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña x+y

Gi¶i: Tõ (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ≤ 2 (do x2+ y2 = 1)

tõ bµi to¸n trªn ta cã thÓ ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n kh¸c nh sau:

1, x2 + ay2 = 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña S = x + 2y

2, 4x2 + 9y2 = 2 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña S = 2x + 3y

vËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: S = 6

VÝ dô 30: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm

1 + =

⇔ (x2-x)2 + 3(x- 0

4

5 ) 2

1 2 + = (1) Vì (x2-x)2 ≥ 0 ; 3(x- ) ≥ 0 ∀x∈R

2

1 2

⇒ (x2-x)2 + 3(x- 0

4

5 ) 2

Chú ý: Ta vận dụng linh hoạt việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu

thức vaào việc xét phơng trình và tìm nghiệm

XI/ Một số sai sót th ờng gặp trong việc giải toán tìm cực trị:

11.1- Sai lầm trong điều kiện 1:

Ví dụ 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= 2x +3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5

a, lời giải sai:

5 ) 2

1 ( 3 ) 2

−

≥

− +

1 + ≠ 5

Do đó - B ≠ -5

c, Lời giải đúng: Ta xét biểu thức phụ A2 = (2x+3y)2

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski

(am + bn)2 ≤ (a2 + b2) (m2 + n2) (3)

Nếu áp dụng (3) với a = 2, b =3 m = x, n=y ta có:

A2 = (2x+3y)2 ≤ (2 2 + 32) (x2 + y2) = 13 (x2 + y2)

Với cách trên ta không chỉ ra đợc hằng số α mà A2 ≤ α