Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm... Phương trình có nghiệm, y0 = 1là một giá trị của hàm... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
Trang 1CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005
Bài giải:
Ta có f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005
= (x2 + 3x + 1)2 + 2004 ≥ 2005
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x2 + 3x + 1 = 0
⇔ 3 5 3 5
x= − + ∨ − −
Vậy minf = 2004
Câu 2: Cho biểu thức: A = -a2 – b2 + ab + 2a + 2b
A đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào?
Bài giải:
Ta có: A = -a2 – b2 + ab + 2a + 2b
⇔ 2A = -2a2 – 2b2 + 2ab + 4a + 4b
= 8 – (a – b)2 – (a – b)2 – (b – 2)2 ≥ 8
⇔ A ≤ 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
0
Vậy: A đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b = 2
MaxA = 4 khi a = b = 2
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F = 3(x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10
Bài giải:
Ta có:
F = 3(x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10
= (x – y)2 + (y – x)2 + (z – t)2 + (t – z)2 +(x2 + x) + (y2 – y) + (z2 – z) + (t2 – t) + 10 = (x – y)2 + (y – x)2 + (z – t)2 + (t – z)2 + (x - 1
2 )
2 + (y - 1
2 )
2 + (z - 1
2 )
2 +
(t - 1
2 )
2 + 9
Do đó ta có: f ≥ 9
Trang 2Dấu “=” xảy ra x = y = z = t = 1
2 Vậy minf = 9
Câu 4: Cho x và y là hau biến số thực, a là hằng số.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
f = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2
Bài giải:
Ta có: f = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 ⇒ ≥f 0
Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
4
x y
a
x ay
− + =
+ + =
Do đó ta có: minf = 0 khi a ≠ −4 và 10 3
;
a
+
= − = −
* Nếu a = -4, ta có: f = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2
Đặt t – x – 2y +1, ta có: f = t2 + (2t + 3)2 = 5t2 + 12t + 9 =
2
6 9 9 5
+ + ⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra 6 5 10 11 0
5
⇔ = − ⇔ − + =
Do đó: minf = 9
5 nếu a = -4 và (x, y) thỏa 5x – 10y + 11 = 0
Vậy * minf = 0 nếu a ≠ -4
• minf = 9
5 nếu a
Câu 5: Cho ba số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 4
T
a b c abc
+ +
= + +
Bài giải:
Ta có (a2 – bc)2 + (b2 + ca)2 + (c2 – ab)2 ≥ 0
⇒ + + + + + ≥ + + (1)
Ta lại có : (a2 – bc)2 + (b2 + ca)2 + (c2 – ab)2 ≥ 0
⇔ + + − − − ≥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
a + + ≥ + + b c a b c abc
Với a, b, c > 0 nên ta có:
4 4 4
1
T
a b c abc
+ +
+ +
Trang 3Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
Vậy minT = 1 khi a = b = c
Câu 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị
lớn nhất của các biểu thức:
Bài giải:
Đặt x = 6 a y , = 6 b z , = 6 c
Ta có: x = 3 a y , = 3 b z , = 3 c
x3 = a y ; 3 = b z ; 3 = c
6 6 6 1
⇒ + + =
Ta có:
2
2 2 2 2 4 4 4
2 2 2
Do đó ta có:
Dấu “=” xảy ra 1
3
a b c
⇔ = = =
Vậy: max T = 3 9
Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
F = x2 + y2 Biết x và y là nghiệm của phương trình: 5x2 + 8xy + 5y2 = 36
Bài giải:
Ta có: 5x2 + 8xy + 5y2 = 36
Trang 4⇔ +f 4 (f x y+ )2 =36⇒ ≤f 36
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
5 8 5 36
x
x xy y
= ±
⇔
Do đó: maxf = 36
* 5x2 + 8xy + 5y2 = 36
( )2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 0
x y
⇔ = = ±
Do đó: minf = 4
Vậy * maxf = 36
minf = 4
Câu 8: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x, y, t, z là các số nguyên không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t biết rằng:
2 2 2
21
Bài giải:
Ta có:
2 2 2
21
2 2
61
M t
M
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 0
Vậy: M đạt giá trị nhỏ nhất là 61
minM = 61 tại t = 0
Khi đó, ta có:
2 2
2 2 2
21
+ + =
Ta có: (1)⇔ + ( x y x y ) ( − ) = 21 ⇒ > x y
Trang 5x, y ∈ ⇒ + ≥ − > N x y x y 0.Do đó ta có:
Từ (2) ⇒3y2 <101⇒ y2 <34⇒ ≤ ≤0 y 5
Ta chọn y = 2 ⇒ = ⇒ = x 5 z 4
Vậy: minM = 61 ứng với x = 5, y = 2, z = 4, t = 0
Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Trong đó x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện
2 2 2 3
x + y + z ≤
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
• (1 + xy) +(1 + yz) +(1 + zx)
3
≥
P
3
≥
3
xy yz zx P P
xy yz zx
+ + +
Mà xy + yx + zx 2 2 2 3
3
2
≤ + + ≤ ⇒ ≥ Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1
Vậy: minP = 3
2
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2 2
2 2
x y
+
= + +
Bài giải:
Xem hàm số:
2 2
2 2
x y
+
= + +
Tập xác định của hàm số là R
Gọi y0là một giá trị của hàm Ta có: 2
0 2
2 2
x y
+
= + +
Trang 6( ) 2 ( )
⇔ − + + − = (1)
Xét hai khả năng:
Ta có: (1) ⇔ = x 0.
Phương trình có nghiệm, y0 = 1là một giá trị của hàm.
b.Nếu y0 ≠1 Ta có:
( )2
0 8 0 1 7 0 16 0 8
V
2
0
8 2 2 8 2 2
Do đó ta có: * Maxy = 8 2 2
7 +
* Miny = 8 2 2
7
+ .
Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Bài giải:
Để cho gọn, ta đặt:
2 2 2
+ − =
+ − =
+ − =
Với x, y, z > 0 a = y + z, b =z + x, c = x + y Ta có:
Trang 78 18 32
2
P
b c a a c b a b c
P
+ − + − + −
= + ÷ + + ÷ + + ÷ ≥ + + = ⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
7
2
x
c x y
= + =
=
= ⇒ = + =
Chọn x = 2 ⇒ a = 7, b = 6, c = 5 ⇒ P = 26
Vậy minP = 26
Câu 12: Cho các số thực dương x, y, z: Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( 2 ) ( ) ( )
xyz M
=
Bài giải:
Vân dụng bất đẳng thức Côsi:
Suy ra:
8
xyz
M
x y y z z x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z
Vậy maxM =1
8 khi x = y = x
Câu 13: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
Trang 81 1 1
M
= + ÷ + ÷ + ÷
Bài giải:
M
= + ÷ + ÷ + ÷
1 1 1 1 1 1 1
1
= + + + + + + +
Với x, y, z > 0 và x + y + z = 1, vân dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
•
3
27
x y z xyz
xyz
+ +
•
2 3
+ + ≥ ÷ ≥
9
x + + ≥ y z xyz ≥
Dấu “=: xảy ra
1 3
1 9 27 27 64
M
⇔ = = =
Vậy minM = 64
Câu 14:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C = − x − x− y + y−
Bài giải:
= − − ÷ − + ÷−
= − − ÷ − − + ÷ − −
⇔ = − − ÷ − + ÷ +
Do đó ta có: C ≤ 4
Trang 9Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
0
0
Vậy: maxC = 4 tại x = 4
5 , y = -
3 5
Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2 4
y = x − + − x
Bài giải:
Chứng minh bài toán phụ:
( )2 ( 2 2) ( 2 2)
Dấu “=” xảy ra a b
⇔ =
Chọn a = x−2 , c = 1, b = 4 x − , d = 1 với 2≤ ≤x 4(*) Ta có:
2
2
2 4 ( 2) 4 2 4
2
y
y
= − + − ≤ − + −
⇔ ≤
⇔ ≤
Vì y > 0 nên ta có: 0 < ≤ y 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2 4 3
x
− = −
⇔ − = −
⇔ =
thỏa (*)
Vậy max y = 2 tại x = 3
Câu 16: Tìm số nguyên không âm x, y, z sao cho
Và tổng x + y + z đạt giá trị bé nhất
Bài giải:
Trang 10Xét
⇔
15 270 10 20
15 222 9 21
Suy ra: y2 − = z2 48
( y z y z ) ( ) 48
⇔ − + = (1)
Ta lại có:
( y z − + + = ) ( y z ) 2 y (2)
Từ (1) và (2) suy ra y + z và y – z cùng chẵn Mặt khác x, y, z nguyên không âm
0
⇒ + > − >
Từ đó ta có:
12
4
y z
y z
+ =
− =
hoặc
8 6
y z
y z
+ =
− =
hoặc
24 2
y z
y z
+ =
− =
4
y
z
=
hoặc
7 1
y z
=
=
hoặc
13 11
y z
=
=
Và tìm được
46
8
4
x
y
z
=
=
=
hoặc
16 7 1
x y z
=
=
=
hoặc
256 13 11
x y z
=
=
=
Do tổng x + y + z đạt giá trị nhỏ nhất nên
16 7 1
x y z
=
=
=
Câu 17:
Cho x3 +y3 +3( x2 + y2) +4( x y+ ) + =4 0 và xy > 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 1 1
x+ y
Bài giải:
x3 + y3 + 3 ( x2 + y2) + 4 ( x y + ) + = 4 0
Trang 11( ) ( ) ( ) ( )
⇔ + + + + + + + + + + + =
⇔ + + + + + + + =
Đặt X = x + 1, Y = y + 1 ta được
3 3
0
X Y X XY Y
+ + + =
⇔ + − + + = (1)
Vì
2 2
0
X − XY Y + = X − + >
Nên từ (1) suy ra X + Y = 0 hay x + y = -2
Ta lại có: M = 1 1
+ = −
Mà xy ( )2
4
x y +
≤ với mọi x, y ⇒ xy ≤ 1
Vì xy > 0 nên M = 2
2
xy
− ≤ −
Vậy giá trị lớn nhất của M = -2 ⇔x = y = -1
Câu 18:
Cho x, y là 2 số thỏa mãn đẳng thức sau:
2 2
2
1
4
y
x
Tìm giá trị của x, y để xy đạt giá trị bé nhất
Bài giải:
Xét phương trình
2 2
2
1
2
y
x
Đẳng thức xảy ra
1
2 0
2
x
x y
x
− =
hoặc 1
2
x y
= −
=
Vây xy đạt giá trị nhỏ nhất là -2
Trang 122
x
x
=
⇔ = −
hoặc
1 2
x y
= −
=
Câu 19: Cho x, y, z là các số không âm và xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + z2
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm
1
⇒ + + ≥ + + =
Tương tự:
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 3
Đẳng thức xảy ra 1
3
⇔ = = =
Hãy tìm các giá trị nguyên dương của x, y, z để P đạt giá trị dương nhỏ nhất
Bài giải:
Đặt Q = 1 1 1
+ + + (x, y, z nguyên dương)
Cần tìm x, y, z nguyên dương sao cho
2 1
2
Q
+ + <
nhỏ nhất (1)
Vì x < x + y < x + y + z (do x, y, z nguyên dương)
Nên từ (1) ⇒ x = 3
Trang 13Lúc đó ta cần tìm y, z nguyên dương sao cho
1
2
y y z
Q
+ <
+ + +
nhỏ nhất (2) ⇒ y = -4
Và ta cần tìm z nguyên dương sao cho
7 42
1
2
z
Q
<
+
−
nhỏ nhất (3)⇒ z = 36