10 de thi thu dai hoc mon toan

Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ABC thỏa mãn: IA= − 2IH, góc giữa SC và mặt đáy ABC bằng 60 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ t

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 Môn thi: TOÁN, Khối A ĐỀ 5 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm).

Câu I ( 2 điểm)

Cho hàm số y=x3 + ( 1 − 2m)x2 + ( 2 −m)x+m+ 2 (1) m là tham số.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.

2 Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+y+ 7 = 0 góc α , biết

26

1

Câu II (2 điểm)

1 Giải bất phương trình: 4 5

4

2 log 2 2











−x

x

.

2 Giải phương trình: 3 sin 2x.(2 cosx+ 1)+ 2 = cos 3x+ cos 2x− 3 cosx.

Câu III (1 điểm)

Tính tích phân: I

=4

0

2 2 1 1

1

dx x

x

.

Câu IV(1 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB =a 2 Gọi I là trung điểm của

BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA= − 2IH, góc giữa SC và mặt đáy (ABC)

bằng 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH) 0

Câu V(1 điểm)

Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2 +y2 +z2 ≤xyz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xy z

z zx y

y yz

x

x

P

+

+ +

+

+

PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ).

A Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trìnhx+y+ 1 = 0 ,

trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết

phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3

Câu VII.a (1 điểm)

14 2

2 1 0 2 2

10

1 2

1 + x x +x+ =a +a x+a x + +a x Hãy tìm giá trị của a6.

B Theo chương trình nâng cao:

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng 5 , 5 và trọng tâm G

thuộc đường thẳng d: 3x+y− 4 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.

2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P)x+y−z+ 1 = 0 ,đường thẳng d:

3

1 1

1 1

2

−

−

=

−

−

=

x

Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách

I một khoảng bằng 3 2.

Câu VII.b (1 điểm)

ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM – ĐỀ 5

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010

MÔN:TOÁN, Khối A

Giải phương trình ( ẩn z) trên tập số phức: 1

3

=













−

+

z i i z

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.

I(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số khi m = 2

Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3− 3x2 + 4

a) TXĐ: R

b) SBT

•Chiều biến thiên:

Có y’ = 3x2− 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2

y’ + 0 − 0 +

y

−∞

4

0

+∞

Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), nghịch biến trên (0 ; 2)

0,25

•Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = y(2) = 0

0,25

c) Đồ thị:

Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2)

0,25

2(1đ) Tìm m

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k; − 1 )

d: có véctơ pháp n2 = ( 1 ; 1 )

Ta có













=

=

⇔

= +

−

⇔ +

−

=

⇔

=

3 2 2

3 0

12 26

12 1 2

1 26

1

cos

2

1 2

2 2

1

2 1

k

k k

k k

k n

n

n

n

α

0,5

Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình: 1

/ k

y = (1) và

2 / k

y = (2) có nghiệm x

⇔













=

− +

− +

=

− +

− +

3

2 2

) 2 1 ( 2 3

2

3 2

) 2 1 ( 2 3

2 2

m x

m x

m x

m x

⇔









≥

∆

≥

∆

0

0 2 / 1





≥

−

−

≥

−

−

0 3 4

0 1 2 8

2 2

m m

m m

⇔













≥

−

≤

≥

−

≤

1

; 4 3

2

1

; 4 1

m m

m m

⇔m≤ −41 hoặc

2

1

≥

m

0,25 II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình

có nghiệm

1

I

2

2 -1

4

y

có nghiệm













≤

−

≤

−≤

−

≤−

⇔













≤

−

≥−

−

⇔

)2(3 4

2 log 2

)1(2 4

2 log 3

9 4

2 log

04 4

2 log

2 1

2 1

2

2 1

2

2 1

x x x x

x x x

Giải (1): (1)

5

16 3

8

0 4 165

0 4

83 8 4

2













≤

−

−

≥

−

−

⇔≤

−

x x x

x x

Giải (2): (2)

9

4 17

4

0 4 49

0 4

4 17 4

1 4

2 8

1

≤≤

⇔













≤

−

−

≥

−

−

⇔≤

−

x x x

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm    5 

16

; 3

8 9

4

; 17

4

2(1đ) Giải PT lượng giác

Pt⇔ 3 sin 2x( 2 cosx+ 1 ) = (cos 3x− cosx) + (cos 2x− 1 ) − ( 2 cosx+ 1 )

) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2 ( 2 sin

0 ) 1 sin 2 2 sin 3 )(

1 cos

2

0,5

6 2 sin(

2 2 cos 2 sin 3 0 1 sin 2 2 sin

⇔x= −π +kπ

6

0,25

2 3 2

2 3

2 0 1 cos

k x

k x











 +

−

+

=

⇔

=

+

π π

π π

0,25

Vậy phương trình có nghiệm: π 2π

3

2

k

x= + ; π 2π

3

2

k

x= − + và x= −π +kπ

6 (k∈Z)

III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân.

IV

I ∫ ( + + )

+

= 4

0

2 2 1 1

1

dx x

x

x

dx dt

x

2 1 2

1

+

=

⇒ + +

2

2

2 t t

x= −

Đổi cận

0,25

t t t dt

t

t t t dt

t

t t t

∫









=

− +

−

=

− +

2

2 4

2

4 2

2

2 3 2

3 2

1 2 4 3 2

1 ) 1 )(

2 2 ( 2 1

=  − t+ t +t

ln 4 3 2 2

=

4

1 2 ln

0,25

(1đ) Tính thể tích và khoảng cách

•Ta có IA= − 2IH ⇒H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH

BC = AB 2 = 2a ; AI= a; IH=

2

IA

=

2

a

AH = AI + IH =

2

3a

0,25

•Ta có

2

5 45

cos

2 2

HC AH

AC AH

AC

Vì SH ⊥( ABC) ⇒ (SC; (∧ABC)) =SCH∧ = 60 0

2

15 60

tan 0 a HC

0,25

•

6

15 2

15 )

2 ( 2

1 3

1

3

2

a a

a SH

S

H

K

I

B A

S

C

• BI (SAH )

SH BI

AH BI

⊥

⇒







⊥

⊥

2

1 )) (

; ( 2

1 ))

(

; (

)) (

;

BI SAH

B d SAH

K d SB

SK SAH

B d

SAH K d

=

=

=

⇒

=

=

0,25

P x x xy y y zx z z xy

+

+ +

+ +

Vì x;y;z> 0, Áp dụng BĐT Côsi ta có: P≤ 2 x x2yz + 2 y y2zx + 2 z z2xy =













+ +

=

xy zx yz

2 2 2 4

1

0,25







≤







 + +

=







 + + + + +

≤

xyz

z y x xyz

xy zx yz y

x x z z y

2 2 2

2

1 2

1 1 1 1 1 1 1 4 1

2

1 2

1

=









≤

xyz

xyz

0,5

Dấu bằng xảy ra ⇔x=y=z= 3 Vậy MaxP =

2

PHẦN TỰ CHỌN:

Câu ý Nội dung Điểm VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường tròn…

KH: d1:x+y+ 1 = 0 ;d2: 2x− y− 2 = 0 1

d có véctơ pháp tuyến n1 = ( 1 ; 1 ) và d2có véctơ pháp tuyến n2 = ( 1 ; 1 )

• AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ chỉ phương n1 = ( 1 ; 1 )⇒ phương trình AC:

0

3 =

−

−y

⇒

∩

02 2

03

−−

⇒







=−

−

=−

−

C yx

yx

0,25

• Gọi B(x B;y B) ⇒ )

2

; 2

3

M + ( M là trung điểm AB)

Ta có B thuộc d1 và M thuộc d2 nên ta có: ( )0;1

0

2 2 3

0

1

−

⇒









=−

−+

=+

+

B y

x

y x

B B

B B

0,25

• Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng:

0 2

2 2

2 +y + ax+ by+c=

x Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có









−=

=

−=

⇔









−=+

−−

−=+

−

−=+

3 2

1

17 8 2

1 2

9 6

c b

a

cb a ca

ca

⇒Pt đường tròn qua A, B, C là:

0 3 4 2 2

2 +y − x+ y− =

0,5

2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)

•Gọi n = (a;b;c) ≠Olà véctơ pháp tuyến của (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0

Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c

Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0

0,25

) 2 (

2

2 2

+

− +

+

c c a a

c a







=

=

⇔

c a

c a

7

0,5

0,25

VII.a (1 đ) Tìm hệ số của khai triển

• Ta có x2 +x+ 1 = 1( 2x+ 1 ) 2 +3 nên

6