Ôn tập chương 2 hình học 11 đt và MP trong không gian quan hệ song song phần 1

CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh ba điểm thẳng hàng  Cách 1: Chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt do đó chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

ht

A MỘT SỐ BÀI TOÁN CẦN NHỚ BÀI TOÁN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt:    

       

A P Q

P Q AB

B P Q

  



 



Cách 2: Tìm phương của giao tuyến

+ Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng (giả sử điểm M)

+ Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương giao tuyến (giả sử giao tuyến // )

Khi đó, giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung M và song song với đường

thẳng )

Một số định lí về giao tuyến và kết quả cần nhớ:

  //       // //



  //       //









   

 

//

M P Q

a Q

  









   

   

   

//

//

R P a a b

R Q b



   



  



*    

//

//

a Q

a P







BÀI TOÁN 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng d P , để tìm giao điểm của

đường thẳng d và mặt phẳng  P ta có 2 cách làm sau:

 Bước 1: Chọn một mặt phẳng  Q chứa d (mặt

phẳng này thường được xác định bởi d và một

điểm thuộc mặt phẳng  P )

 Bước 2: Tìm giao tuyến     P  Q

 Bước 3: Trong mặt phẳng  Q , gọi  M   d

 

d

P

Q

M

ÔN TẬP “CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG”

GV luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán, Lí tại HN:

Số nhà 93, ngõ 173, đường Hoàng Hoa Thám

ht

BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Cách 1: Chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt

phẳng phân biệt (do đó chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó)

 Cách 2: Dùng tính chất của hình học phẳng

Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy

 Bước 1: Chứng minh  

 .

 







Gọi  M   a b M   P  Q  1

b

a

P

Q

M

 Bước 2: Chứng minh     P  Q  2

Từ  1 và  2 M hay , ,a b  cùng đi qua điểm Mđpcm

BÀI TOÁN 4: TÌM THIẾT DIỆN DO MẶT PHẲNG CẮT HÌNH CHÓP

Thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng là phần

chung của hình chóp với mặt phẳng đó

Để tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng, ta lần

lượt tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đó với các

mặt của hình chóp

B

S

P Q

BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng

minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talet đảo, trong tam giác)

Cách 2: CM hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3: // //

//

a b

 







Cách 3: Áp dụng một trong các định lí hoặc hệ quả sau:

+

     

   

   

// //







c a b R Q

P M

b

c a

P

Q

R

+

     

   

// //

// //

//



ht

+    

   

//

//



a Q

P

+

 

 

   

//

// //

a P

P Q b





  

a

P Q

+

   

   

   

//

//

R P a a b

R Q b



   



  



b a

R Q

P

BÀI TOÁN 6: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Cách 1: a P   a //  P

Cách 2:  

//

//

a b P

a P

a P

 





a

P

Cách 3:    

//

//







a Q

P

BÀI TOÁN 7: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Cách 1:

//

// //

P a Q

a b M

 

  



  



ht

Cách 2:    

       

//

// //





R Q P

Cách 3:    P  Q      P // Q

B BÀI TẬP TỰ LUẬN RÈN LUYỆN

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy AD là đáy lớn Gọi

O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của

OD, SD và SA

a) Chứng minh rằng: SO // IMN b) Xác định giao điểm của CI với SBD c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng IMN Thiết diện là hình  gì?

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD và AB2CD Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho 1

2

SM

MA và O là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MCD và SAB b) Chứng minh rằng: OM // SCD

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng SD và mặt phẳng MBC Tính tỉ số SI

ID

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD,

O là giao điểm của AC và BD

a) Tìm giao điểm I của BN và SAC ; giao điểm J của MN và  SAC 

b) Giả sử K là giao điểm của DM và AC Chứng minh CJ, SO, BN đồng quy

c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng BCN

Bài 4 Cho tứ diện ABCD, gọi I, J, K, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, DA, CD Gọi

,

B A  lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD

a) Tìm các giao tuyến AJD  BKC; ABA’  BCK b) Tìm giao điểm của AA với  IJK , từ đó suy ra AA, BB, JK đồng quy

c) Chứng minh: AC //  IJK , A B  // ABC, A B  // ABD d) Gọi  G AABB Tính GA

AA



, chứng minh G là trung điểm của IE

ht

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi G là trọng tâm

tam giác SCD

a) Chứng minh SB // ACG và xác định  ACG  SBC

b) Tìm SAD  SBCd Xác định   K  ACGd Chứng minh ba điểm O, G, K

thẳng hàng

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD và AD2BC , M

là một điểm tùy ý nằm trên cạnh BC, mp  đi qua M và song song với CD và SC;

 

mp  cắt AD, SA, SB lần lượt tại N, P, Q

a) Chứng minh NQ // SCD và NP // SD

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của SD và AD Chứng minh: CHK  // SAB và

c) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tìm IBGSAC, tính tỉ số IG

IB

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của

SC, N là trọng tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh SB // AMN

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng AMN với mặt phẳng SAB

c) Tìm giao điểm I SD AMN

d) Gọi Q là trung điểm của ID Chứng minh QC // mp AMN .

Bài 8 Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC Gọi M, N là hai điểm

trên cạnh SA sao cho SMMNNA

a) Chứng minh GM // SBC

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G Chứng minh MCD  // NBG

c) Gọi HMDSBC Chứng minh H là trọng tâm của tam giác SBC

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của AB, AD, SC

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MNP với các mặt phẳng SDC , SAC.

b) Gọi dSBD  MNP Chứng minh // d MN

c) Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng MNP

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của AD, BC, SC

a) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP

b) Gọi Q SD MNP; I MQNP Chứng minh SA // MNP và tứ giác SINB là 

hình bình hành

c) Gọi H là trung điểm của MC, KMPNQ Chứng minh K SH

ht

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD Gọi E, F lần lượt

là trung điểm của SA, SD; KAB CD

a) Tìm M SB CDE.

b) Tìm N SC EFM Tứ giác EFNM là hình gì?

c) Chứng minh các đường thẳng AM, DN, SK đồng quy

d) Cho biết AD2BC Tính tỉ số diện tích của hai tam giác KMN KEF ,

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi I, K, M lần lượt

là trung điểm của SA, SC, OD

a) Xác định SAD  SBC   ; BIK  SCD.

b) Chứng minh: SD // IKM.

c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng IKM.

Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của SC, SD; OAC BD

a) Tìm giao tuyến của ADM và  SBC  b) Tìm PBMSAD.

c) Gọi KAM BN Chứng minh các điểm S, K, O thẳng hàng

Bài 14 Cho tứ diện ABCD Gọi   là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn luôn đi qua trung

điểm I, K của các cạnh AD và BD   cắt AB, BC lần lượt tại M và N

a) Tứ giác MNKI có tính chất gì? Khi nào nó là hình bình hành

b) Gọi O IM NK  Chứng tỏ O luôn nằm trên một đường thẳng cố định

c) Gọi d    OAB Chứng minh d luôn nằm trong một mặt phẳng cố định và d

có phương không đổi

Bài 15 Cho hình chóp S ABCD có AB CD E AD  , BCF AC, BD G Gọi   cắt

a) Tìm D SD  b) Tìm điều kiện của   để tứ giác A B C D    có A B  // C D  c) Tìm điều kiện của   để tứ giác A B C D    là hình bình hành Có bao nhiêu mặt

phẳng   thỏa mãn điều kiện đó?

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng  P lần

lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A B C  , , Gọi OACBD, IA C SO

a) Tìm giao điểm D của  P với cạnh SD

b) Chứng minh rằng: SA SC 2SO

SA SC  SI

 

c) Chứng minh rằng: SA SC SB SD

SA SC SB SD

   

ht

Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Cho AB a ,

AD SA b  ; SC SD b  3 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC

a) Chứng minh MNP  // SDC.

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và MNP.

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp MNP Thiết diện là hình gì?  

Tính diện tích thiết diện theo a và b

Bài 18 Cho hình hộp ABCD A B C D     Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi

qua hai trung điểm M, N lần lượt của các cạnh AB, BC và tâm O của hình chũ nhật

CDD C 

Bài 19 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    Đáy là tam giác đều cạnh a Các mặt bên

ABB A , ACC A  là hình vuông Gọi I, J là tâm các mặt nói trên và O là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

a) Chứng minh IJ // ABC

b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng  IJO

Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung

điểm của SC

a) Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mp ABM .

b) Gọi N là trung điểm của BO, hãy xác định ISDAMN CMR: 2

3

SI

ID 

Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang AD // BC Điểm M di động bên

trong hình thang ABCD Qua M dựng các đường thẳng Mx // SA My; // SB

a) Tìm NMxSBC và PMySAD

b) Chứng minh: MN MP

SA  SB không đổi

Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với hai đáy AB2CD Gọi E là trung

điểm của AB

a) Tìm SAD  SBC, chứng minh rằng: AD // SCE

b) M là một điểm di động trên cạnh AD, mặt phẳng   đi qua M song song với SA

và CD Xác định thiết diện của hình chóp với   , thiết diện là hình gì? Chứng

minh giao điểm của hai cạnh bên của thiết diện thuộc đường thẳng cố định

Bài 23 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC Mặt

phẳng  P qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q

a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình

thang cân

b) Đặt AMx AN, y CMR: a x y  3xy HD: S DAMN S AMIS ANI

Suy ra: 4 3

x y

  

ht

Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G Mặt phẳng  P cắt SA, SB, SC lần lượt tại A B C  , , a) Tìm giao điểm D của SD với  P

b) Tìm điều kiện của  P để A B  // C D  c) Với điều kiện nào của (P) thì A B C D    là hình bình hành? Chứng minh rằng:

SA SC SB SD

SA SC SB SD

   

   d) Tính diện tích tứ giác A B C D   

HD:

b)  P // SE c)   P // SEF Gọi GA C B D  Chứng minh: SA SC SB SD 2SG

SA SC SB SD SG

    d)

32

A B C D

a

Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành M và P là hai điểm lần lượt di động trên AD và SC sao cho: MA PS x, x 0 

MD  PC  

a) Chứng minh rằng: MP luôn song song với một mặt phẳng cố định  P

b) Tìm giao điểm I của SBD với MP

c) Mặt phẳng qua M và song song với  P cắt hình chóp S ABCD theo một thiết diện

và cắt BD tại J Chứng minh IJ có phương không đổi Tìm x để PJ song song với

SAD

d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích DSAB, k0  HD:

a) Mặt phẳng SAB c) Phương của SB x; 1 d) x 1 k 1 k , 0 1



Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O

SA SB SC SD a    Gọi M là một điểm trên đoạn AO  P là mặt phẳng qua M và song song với AD và SO Đặt AM k, 0 1 

AO   k a) Chứng minh thiết diện của hình chóp với (P) là hình thang cân

b) Tính các cạnh của thiết diện theo a và k

c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được một đường tròn Khi đó hãy tính diện tích thiết diện theo a

HD: b) a; 1 – k a ; 3

2

ka

c)

2

6

3 1;

9

a

ht

Bài 27 Cho lăng trụ ABC.ABC Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn

, ,

AB AC CB



  

  

a) Tìm x để MNP  // A BC  Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi

b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi

HD: a)

2

1 2 3

3 9

a

x b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC và AB

Bài 28 Cho lăng trụ ABCD A B C D    , có đáy là hình thang với AD CD BC a   ,

2

AB a Mặt phẳng  P qua A cắt các cạnh BB CC DD, ,  lần lượt tại M, N, P

a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP

b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi  P di động

c) Chứng minh rằng: BM2DP2CN

HD: a) Hình thang AM2NP

b) Đoạn thẳng song song với cạnh bên

c) 5

4

DP a

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ĐỀ SỐ 1 Câu 1 Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Qua ba điểm không thẳng hang luôn xác định được duy nhất một mặt phẳng

B. Bốn điểm trong không gian luôn đồng phẳng

C. Hai đường thẳng cắt nhau xác định được duy nhất một mặt phẳng

D. Hai đường thẳng song song xác định được duy nhất một mặt phẳng

Câu 2 Ba mặt phẳng cắt nhau đôi một thì ba giao tuyến có tính chất:

A. Luôn đồng quy tại một điểm

B. Luôn song song với nhau

C. Cắt nhau từng đôi môt tạo thành một tam giác

D. Hoặc song song hoặc đồng quy

Câu 3 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai đường thảng song song trong không gian luôn đồng phẳng

B. Một đường thẳng nếu không cắt một mặt phẳng cho trước thì sẽ được chứa

trong mặt phẳng đó

C. Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì sẽ có một đường thẳng

chung

D. Một điểm và một đường thẳng luôn xác định được một mặt phẳng

Câu 4 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Tứ diện có bốn cạnh bằng nhau là tứ diện đều

B. Tứ diện có bốn mặt là bốn tam giác đều là tứ diện đều

ht

Câu 5 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

B. Một đường thẳng đi qua một điểm của mặt phẳng thì đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng

C. Đường thẳng và mặt phẳng không thể song song với nhau

D. Đường thẳng và mặt phẳng cho trước luôn có ít nhất hai điểm chung

Câu 6 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Trong không gian nếu hai đường thẳng không có điểm chúng thì chúng song song với nhau

B. Trong không gian nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo nhau

C. Trong không gian nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo nhau hoặc song song với nhau

D. Hai đường thẳng phân biệt nếu không song song thì chéo nhau

Câu 7 Cho tứ diện ABCD và ba điểm E, F, G lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng với các đỉnh Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt EFG là

A. Một đoạn thẳng B. Một tam giác

C. Một tứ giác D. Một tam giác hoặc một tứ giác

Câu 8 Cho tứ diện ABCD và ba điểm I, J, K lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD mà không trùng với các đỉnh Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt  IJK là

A. Một tam giác B. Một tứ giác

C. Một ngũ giác D. Một tam giác hoặc một tứ giác

Câu 9 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD Chỉ ra mệnh

đề sai trong các mệnh đề sau

Câu 10 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC Chọn mệnh đề

đúng trong các mệnh đề sau

A. Giao tuyến của  IJD với ACD là đường thẳng qua D và song song với AC

B. Giao tuyến của  IJD với ABD là đường thẳng qua A và song song với ID

C. Giao tuyến của  IJD với BCD là đường thẳng qua C và song song với JD 

D. Cả ba câu trên đều đúng

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đát là hình bình hành ABCD tâm O Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. OEF  // ABCD B. OEF  // SAB

C. OEF  // SBC D. OEF  // SAD

Câu 12 Cho tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm của BC Thiết diện qua I, song song với cạnh AB và CD của tứ diện là

A. Tam giác B. Tứ giác

C. Hình thang D. Hình bình hành