Tài liệu TOÁN LỚP 11

[r]

Ch :

HÀM S LIÊN T C

Ch bám sát (l p 11 ban CB)

Biên so n: THANH HÂN

- - -

A/ M C TIÊU:

- Cung c p cho h c sinh m t s d ng bài t p th ng g p có liên quan n s liên t c cu hàm s và ph ng pháp gi i các d ng bài ó

- Rèn k n ng bi n i, di n t ch t ch

- Góp ph n xây d ng n ng l c t duy lôgic, t duy c l p sáng t o

B/ TH I L NG:

3 ti t

C/ N I DUNG:

Ch g m có 3 ph n:

- Ph n A: Tóm t t lí thuy t

- Ph n B: Các d ng bài t p th ng g p

- Ph n C: Câu h i tr c nghi m

D/ CHÚ THÍCH V M C YÊU C U:

- Ch này thu c lo i ch bám sát, nh m h th ng m t s d ng bài t p c b n và k n ng gi i các d ng bài ó, giúp nâng cao kh n ng

t h c c a h c sinh d i s h ng d n c a giáo viên

- ây là tài li u t h c có h ng d n nh m t c m c tiêu nh ã nêu trên

- Có b sung m t s ít bài t p nâng cao giúp các em h c sinh khá có thêm tài li u tham kh o

- - -

A/ TÓM T T LÍ THUY T:

I nh ngh a hàm s liên t c:

1) nh ngh a 1:

Gi s! hàm s f x( ) xác "nh trên kho ng ( )a b; và x0 ∈( )a b;

Hàm s f c g i là liên t c t i i#m x 0 n u ( ) ( )

lim

Hàm s không liên t c t i i#m x 0 c g i là gián o n t i x 0

2) nh ngh a 2:

Hàm s f liên t c trên kho ng ( )a b; n u nó liên t c t i m i i#m

thu c kho ng ó

Hàm s f liên t c trên o n [ ]a b; n u nó liên t c trên kho ng

( )a b; và lim ( ) ( ), lim ( ) ( ).

II M t s nh lí c b n v hàm s liên t c:

1) nh lí 1:

a) Hàm a th$c liên t c trên t p R

b) Hàm phân th$c h%u t& và các hàm s l ng giác liên t c trên t'ng kho ng cu t p xác "nh c a chúng

2) nh lí 2:

Gi s! y= f x( ) và y g x= ( )là hai hàm s liên t c t i i#m x 0 Khi

ó:

a) Các hàm s y= f x( ) ( )+g x y, = f x( ) ( )−g x y, = f x g x( ) ( ). liên t c t i

i#m x 0 b) Hàm s ( )

( )

f x y

g x

= liên t c t i i#m x 0 n u g x( )0 ≠ 0.

3) nh lí 3:

N u hàm s y= f x( ) liên t c trên o n [ ]a b; và f a f b( ) ( ) < 0, thì t n

t i ít nh t m t i#m c∈( )a b; sao cho f c( )= 0

Nói cách khác: N u hàm s y= f x( ) liên t c trên o n [ ]a b; và

( ) ( ) 0

f a f b < , thì ph ng trình f x( )= 0 có ít nh t m t nghi m

( )

0 ;

x ∈ a b

B/ CÁC D NG BÀI T P TH NG G P:

D ng1: Xét tính liên t c c a hàm s t i i m x 0

Ph ng pháp gi i:

• Tính f x( )0

• Tìm ( )

0

lim

x x f x

→ và áp d ng "nh ngh a 1)

Ví d 1: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x 0 = 2

( )

3 2

8

x 2 2

10

x = 2 3

x

khi

x x

f x

khi

− −

L i gi i:

Ta có ( )2 10

3

f =

2

2

V y hàm s f liên t c t i i#m x 0 = 2

- - -

Ví d 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x 0 = 1

( ) 11 x 1

x khi

f x x

khi

L i gi i:

Ta có f ( )1 1 =

1 1 1 1

V y hàm s f không liên t c t i i#m x 0 = 1

- - -

Ví d 3: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x 0 = 2

( )

2

x x khi

x khi

− −

− ≤

L i gi i:

Ta có f ( )2 = 3

2

x x

− −

lim2 ( ) lim 52 ( ) 3

Suy ra lim2 ( ) ( )2

V y hàm s f liên t c t i i#m x 0 = 2

- - -

Bài t p t gi i:

Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x 0

a) ( )

2 2

x 3 9

1

x = 3 4

x x

khi x

f x

khi

−

b) ( )

1

4

x

f x

khi

−

c) ( )

5 x > 5

x

f x

−

− −

=

− + ≤ (x 0 = 5)

- - -

D ng2: nh f x( )0 hàm s f liên t c t i i m x 0

Ph ng pháp gi i

Tìm ( )

0

lim

x x f x

→ và l y ( ) ( )

0

0 lim

x x

→

Ví d 1: "nh f ( )0 # hàm s sau liên t c t i x = 0

f x( ) 2 4 x (x 0)

x

= ≠

L i gi i:

4

x x

f x

− −

V y hàm s ã cho liên t c t i x = 0 khi ( )0 1.

4

f =

- - -

Ví d 2: Cho hàm s ( ) 1 23 x 3

x = 3

a khi

L i gi i:

Ta có f ( )3 =a

f x

V y hàm s ã cho liên t c t i x = 3 khi 1.

4

a=

- - -

Bài t p t gi i:

a) "nh f( )9 # hàm s sau liên t c t i x = 9

( ) 3 ( 9 )

9

x

x

−

−

b) Cho hàm s ( )

2 1 1

x 0 3

x = 0

x x

khi

=

"nh a # hàm s ã cho liên t c t i x = 0

- - -

D ng 3: Xét tính liên t c c a hàm s trên kho ng, o n

Ph ng pháp gi i:

• Dùng "nh ngh a

• Dùng "nh lí c b n

Ví d 1: Ch$ng minh hàm s f x( )= 8 2 − x2 liên t c trên o n [− 2;2 ]

L i gi i:

Hàm s f x( )= 8 2 − x2 xác "nh trên o n [− 2;2 ]

0 2;2

x

2 2

0 0

V y hàm s ã cho liên t c trên kho ng (− 2;2 )

( 2) ( 2)

2 2

Do ó hàm s ã cho liên t c trên o n [− 2;2 ]

- - -

Ví d 2: Ch$ng minh hàm s ( )

3 1

x 1 1

x

khi

f x x

khi

L i gi i:

Hàm s xác "nh trên R

+ N u x≠ 1 thì f x( ) x3 11

x

−

=

−

Do f x( ) là hàm phân th$c có t p xác "nh D= −∞ ∪ +∞( ;1) (1; ) nên

( )

f x liên t c trên các kho ng (−∞ ;1 ; 1;) ( +∞)

+ N u x= 1 thì f( )1 = 3

1 1 1

1

1

x

x

−

−

Suy ra f x( ) liên t c t i x= 1

T' hai k t qu trên ta có f x( ) liên t c trên R

- - -

Bài t p t gi i:

a) Ch$ng minh hàm s ( ) 1

2

f x

x

=

− liên t c trên kho ng(−∞ ;2 )

b) Ch$ng minh hàm s ( )

2 3 2

x 2 2

x x

khi

khi

c) Ch$ng minh hàm s f x( )= x− + 3 1 liên t c trên kho ng[3; +∞ ).

d) Cho hàm s ( )

2 2

1

x = -1

x x

khi

a khi

"nh a # hàm s ã cho liên t c trên R

- - -

D ng 4: Ch ng minh m t ph ng trình có nghi m

Ph ng pháp gi i:

S! d ng k t qu : N u hàm s y= f x( ) liên t c trên o n [ ]a b; và

( ) ( ) 0

f a f b < , thì ph ng trình f x( )= 0 có ít nh t m t nghi m

( )

0 ;

x ∈ a b

Ví d 1: Ch$ng minh r ng ph ng trình x7 + 3x5 − = 2 0 có ít nh t m t nghi m

L i gi i:

Xét hàm s f x( )=x7 + 3x5 − 2

Ta có f x( ) liên t c trên R

Và ( )

0 1 0

f

f f f

= − <

<

= >

Nên ph ng trình f x( )= 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈( )0;1 , v y bài toán

c ch$ng minh

- - -

Ví d 2: Ch$ng minh ph ng trình x2 sinx x+ cosx+ = 1 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈( )0; π

L i gi i:

Ta có hàm s f x( )=x2 sinx x+ cosx+ 1 liên t c trên R

Và ( )

f

f f

= >

<

= − + <

Nên ph ng trình f x( )= 0 có ít nh t m t nghi m x0 ∈( )0; π ( pcm)

- - -

Ví d 3: Ch$ng minh ph ng trình ( ) (3 )

m x− x− + x− = luôn có

nghi m v i m i giá tr" c a m

L i gi i:

Ta có hàm s ( ) ( ) (3 )

f x =m x− x− + x− liên t c trên R

Và ( )

( )12 1 01 0 ( ) ( )1 2 0

f

f

= − <

= >

Nên ph ng trình ( ) (3 )

m x− x− + x− = luôn có nghi m v i m i giá

tr" c a m ( pcm)

- - -

Ví d 4: Ch$ng minh ph ng trình 2sinx m+ sin 2x+ = 1 0 luôn có

nghi m v i m i giá tr" c a m

L i gi i:

Ta có hàm s f x( )= 2sinx m+ sin 2x+ 1 liên t c trên R

Và

3 0 2

1 0 2

f

f

π

π

= >

− = − <

Nên ph ng trình 2sinx m+ sin 2x+ = 1 0 luôn có nghi m v i m i giá tr"

c a m ( pcm)

- - -

Bài t p t gi i:

1) Ch$ng minh ph ng trình x3 − + = 3x 1 0 có 3 nghi m phân bi t

2) Ch$ng minh ph ng trình x4 − − =x 3 0 có nghi m x0 ∈( )1;2 và

7

0 12.

x >

3) Ch$ng minh v i m i giá tr" c a m, các ph ng trình sau luôn có

nghi m:

a) ( ) (3 )

m x− x+ + x+ =

b) x4 +mx2 − 2mx− = 2 0

c) 2cosx m+ cos 2x− = 1 0

- - -

Chú ý: N u i u ki n liên t c c a hàm s f trên o n [ ]a b; không còn thì không th# k t lu n v s t n t i nghi m c a ph ng trình f x( )= 0 trên kho ng ( )a b;

Ví d : Hàm s f x( ) 1

x

= có f ( ) ( )− 1 1f = − < 1 0, nh ng ph ng trình 1 0

x =

vô nghi m

- - -

C/ CÂU H I TR C NGHI M:

1) Cho hàm s f x( ) x 1 1 (x 0)

x

+ −

= ≠ Hàm s ó liên t c t i x= 0 khi

( )0

f có giá tr" là:

A -1 B 1

2 C 1 D 2

2) Cho hàm s ( ) 3 1 2 3

3

x khi x

m khi x

=

Hàm s ó liên t c t i 3

x= khi m có giá tr" là:

A -4 B -1 C 1 D 4 3) Cho hàm s f x( ) 1 khi x 00

x a khi x

<

= + ≥ Hàm s ó liên t c t i x= 0 khi a có giá tr" là:

A -2 B -1 C 0 D 1

4) Hàm s nào trong các hàm s sau ây không liên t c trên R?

A f x( )=x4 − 2x2 + 1 B f x( )= sinx+ 2cosx

x

khi x

khi x

=

D ( )

2 1 1 1

x khi x

f x x

khi x

= −

5) Hàm s nào trong các hàm s sau ây gián o n t i x= 0?

A f x( )= cotx B ( ) 0

0

x khi x

f x

x khi x

≥

=

− <

C ( )

2

x

f x

khi x

=

=

D ( )

2

0

x x khi x

khi x

=

=

6) Tìm kh(ng "nh sai trong các kh(ng "nh sau:

A Ph ng trình sinx m+ cosx= 1 có nghi m ∀ ∈m R.

B Ph ng trình x3 +ax2 + − =bx 1 0 có nghi m ∀a b R, ∈

C Hàm s f x( )= x+ − 1 1 liên t c trên kho ng [ 1; − +∞ )

D N u hàm s f x( ) có f a f b( ) ( ) < 0, thì ph ng trình f x( )= 0 có

ít nh t m t nghi m x0 ∈( )a b;

7) Cho ph ng trình x3 + 4x− = 1 0, kh(ng "nh nào sau ây sai?

A Hàm s f x( )= +x3 4x− 1 liên t c trên R

B Ph ng trình x3 + 4x− = 1 0 luôn có ít nh t m t nghi m

C Ph ng trình x3 + 4x− = 1 0 có nghi m x0 ∈ −∞( ;0)

D Ph ng trình x3 + 4x− = 1 0 có nghi m x0 ∈ −( 1;1)

8) Cho hàm s f x( )=x4 +mx2 − 1, kh(ng "nh nào sau ây sai?

A Hàm s f x( ) liên t c trên R

B Ph ng trình f x( )= 0 có nghi m ∀ ∈m R.

C Ph ng trình f x( )= 0 có ít nh t hai nghi m ∀ ∈m R.

D T n t i m R∈ sao cho ph ng trình f x( )= 0 vô nghi m

- - - H)T - - -