HE TOA DO TRONG KHONG GIAN

TÀI LIỆU HÌNH 12 CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN GỒM CÓ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI, GIÚP CHO CÁC EM HỌC SINH ÔN TẬP, QUÍ THẦY CÔ CÓ TÀI LIỆU THAM KHẢO, TÀI LIỆU HÌNH 12 CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN GỒM CÓ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI, GIÚP CHO CÁC EM HỌC SINH ÔN TẬP, QUÍ THẦY CÔ CÓ TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHỦ ĐỀ 1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

một và chung một điểm gốc O Gọi , ,r r ri j k

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên

trong không gian

r

r (với , a br r r�0)

3 Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa:M x y z( ; ; )�OMuuuur x i y j z k.r r r (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  M�Oxy �z0;M�Oyz� x0;M�Oxz� y0

4 Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ar( ; ; )a a a1 2 3 ,

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai

cùng phương � [ , ]a br r 0r (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: , a br r

và cr đồng phẳng [ , ].a b cr r r0

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường

thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam

giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơđồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương

Câu 6. Trong không gian Oxyz , gọi , ,r r ri j k

là các vectơ đơn vị, khi đó với

 ; ; 

M x y z thì OMuuuur bằng

A  xi y j zkr r r B xi y j zkr r r C x j yi zkr r r D. xi y j zkr r r

Câu 7. Tích có hướng của hai vectơ ar( ; ; )a a a1 2 3 ,br( ; ; )b b b1 2 3 là một vectơ, kí

hiệu � �a br,r , được xác định bằng tọa độ

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M

không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng

A. M a ;0;0 , a� B 0 M0; ;0 ,b  b� C 0 M0;0; ,c c � D.0

 ;1;1 , 0

M a a�

Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho

M không trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox Oy , khi ,

đó tọa độ điểm M là ( , , a b c� )0

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Độ dài

các cạnh AB AC BC của tam giác , , ABC lần lượt là

A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D.

21, 13, 35

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2;4; 1 ,  C 2; 2;0  Tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5  Để 4

điểm , , ,A B C D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho ba vecto ar ( ; ; ),1 2 3 br ( ; ; ),2 0 1 cr ( ; ; )1 0 1

Tìm tọa độ của vectơ n a br r r  2cr3ri

A nr 6; 2;6 B nr 6; 2; 6  C nr0; 2;6 D. nr   6; 2;6

.

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có (1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4) A B  C

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Câu 20. Cho 3 điểm M2;0;0 ,  N 0; 3;0 ,  0;0;4   P  Nếu MNPQ là hình bình hành

thì tọa độ của điểm Q là

Q  2; 3; 4  

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7;7;5 Để

tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A Q6;5; 2. B Q6;5; 2 C Q6; 5;2 . D.

 6; 5; 2

Câu 22. Cho 3 điểm A1;2;0 ,  1;0; 1 ,  0; 1;2  B   C   Tam giác ABC là

C tam giác vuông đỉnh A D tam giác đều

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A1; 2;2 , B 0;1;3 , C 3;4;0

A D4;5; 1  B D4;5; 1  C D   4; 5; 1 D D4; 5;1 

Câu 24. Cho hai vectơ ar và br tạo với nhau góc 0

60 và ar 2;br 4 Khi đó a br rbằng

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng

thức nào sau đây là đẳng thức đúng

A IA IB ICuur uur uur  B uur uur uur rIA IB CI  0 C uur uur uur rIA BI IC  0 D.

0

IA IB IC  

uur uur uur r

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ �a  1;1;0; b�1;1;0; �c 1;1;1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A � 3 B 2� 3 C 1� 3 D 3

Câu 34. Cho A1; 2;0 ,  B 3;3;2 , C 1;2;2 , D 3;3;1 Thể tích của tứ diện ABCD

bằng

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ D

AB AC AD h

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1;2;1), (2; 1;2) A B  Điểm M trên

trục Ox và cách đều hai điểm ,A B có tọa độ là

1 30; ;

2 2

Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1;2;1), (3; 1;2) A B  Điểm M trên

trục Oz và cách đều hai điểm ,A B có tọa độ là

Câu 43. Cho ur2; 1;1 ,  vrm;3; 1 , w  uur1; 2;1 Với giá trị nào của m thì ba vectơ

C tam giác vuông cân tại A D Tam giác đều.

Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABCcó (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C Tam

2 Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là1;1;1 , 2;3; 4 , 7;7;5 Diện     

Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ ar 3; 2;4 ,  �b5;1;6 , �c  3;0; 2

Tìm vectơ xr sao cho vectơ xr đồng thời vuông góc với , ,a b cr r r

Câu 51. Trong không gianOxyz , cho 2 điểm (1;2; 3) B  , (7;4; 2)C  Nếu E là điểm

thỏa mãn đẳng thức CEuuur2EBuuur thì tọa độ điểm E là

B  , ( 2;3;3)C  ĐiểmM a b c là đỉnh thứ tư của hình bình hành ; ; 

ABCM, khi đó P a 2  có giá trị bằngb2 c2

Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm (1;2; 1) A  ,

(2; 1;3)

góc A của tam giác ABC

A (0;1;3)D B (0;3;1)D C (0; 3;1)D  . D (0;3; 1)D 

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) ,

C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ ura  1;1;0 ,  br1;1;0 ,  cr1;1;1 Cho

hình hộp OABC O A B C ���� thỏa mãn điều kiện OA a OB b OCuuur r, uuur r, uuuur'cr Thể tíchcủa hình hộp nói trên bằng:

B. 1

.13

C. 13

.2

D. 3 13

.13

Câu 59. Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng

thức nào sau đây là đẳng thức đúng

.2

SI  SA SB SC 

.3

SI  SA SB SC 

C SIuur uur uur uuurSA SB SC  D SI SA SB SCuur uur uur uuur r   0

Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có

SA SB a SC   a ASB CSB  CSA Gọi

và điểm M m m m , để  ; ;  MBuuur2uuurAC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A2;5;1 , B  2; 6; 2 , C 1; 2; 1 

A 3 B 4 C 2 D 1

Câu 64. Cho hình chóp S ABCD biết A2;2;6 , B 3;1;8 , C 1;0;7 , D 1; 2;3 Gọi H

là trung điểm của CD , SH ABCD Để khối chóp S ABCD có thể tích

2 (đvtt) thì có hai điểm S S thỏa mãn yêu cầu bài toán Tìm 1, 2

tọa độ trung điểm I của SS 1 2

A I0; 1; 3   B I1;0;3 C.I0;1;3 D I1;0; 3  

Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2; 1;7), (4;5; 2) A  B  Đường thẳng

AB cắt mặt phẳng ( Oyz tại điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo )

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có (2;1; 1), (3;0;1),C(2; 1;3)A  B 

và D thuộc trục Oy Biết V ABCD  và có hai điểm 5 D10; ;0 ,y1  D20; ;0y2 

thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó y y1 bằng 2

Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có ( 1;2;4), (3;0; 2),C(1;3;7)A  B  .

Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A Tính độ dài ODuuur

Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có (3;1;0)A , B

và (2;1;1)H là trực tâm của tam giác ABC Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

số nguyên, khi đó CA CBuuur uuur bằng:

Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (2;3;1) A , ( 1;2;0)B 

, (1;1; 2)C  Gọi I a b c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  ; ;  ABC Tính giá trị biểu thức P15a30b75c

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 6 Trong không gian Oxyz , gọi , ,r r ri j k

là các vectơ đơn vị, khi đó với

 ; ; 

M x y z thì OMuuuur bằng

A  xi y j zkr r r B xi y j zkr r r C x j yi zkr r r D. xi y j zkr r r

Câu 7 Tích có hướng của hai vectơ ar( ; ; )a a a1 2 3 ,br( ; ; )b b b1 2 3 là một vectơ, kí

hiệu � �a br,r , được xác định bằng tọa độ

A. a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 B a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M

không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng

A. M a ;0;0 , a� B 0 M0; ;0 ,b  b� C 0 M0;0; ,c c � D.0

 ;1;1 , 0

M a a�

Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao 

khi đó tọa độ điểm M là ( , , a b c� )0

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Độ

dài các cạnh AB AC BC của tam giác , , ABC lần lượt là

A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D.

21, 13, 35

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0 

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5  Để

4 điểm , , ,A B C D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. D2;5;0. B D1;2;3 C D1; 1;6  . D D0;0; 2.

Hướng dẫn giải

Cách 1:Tính ��uuur uuur uuurAB AC AD, �� 0

Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm

được

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho ba vecto

1 2 3 2 0 1 1 0 1( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )

ar  br  cr  Tìm tọa độ của vectơ n a br r r  2cr3ri

Câu 20. Cho 3 điểm M2;0;0 ,  N 0; 3;0 ,  0;0;4   P  Nếu MNPQ là hình bình

hành thì tọa độ của điểm Q là

4 0

x y z

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7;7;5

Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

Vì MNPQ là hình bình hành nên MN QPuuuur uuur �Q6;5;2

Câu 22. Cho 3 điểm A1;2;0 ,  1;0; 1 ,  0; 1;2  B   C   Tam giác ABC là

C tam giác vuông đỉnh A D tam giác đều

Hướng dẫn giải

(0; 2; 1); ( 1; 3;2)

AB   AC  

uuur uuur

Ta thấy uuur uuurAB AC. � �0 ABCkhông vuông

uuurAB �uuurAC �ABCkhông cân

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm

Vì ABCD là hình bình hành nên uuur uuurAB DC �D4;5; 1 

Câu 24. Cho hai vectơ ar và br tạo với nhau góc 0

Với M a b c ; ; � hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M10; ;0b 

Câu 27. Cho điểm M1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm  M trên mặt

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC

Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng

A IA IB ICuur uur uur  . B uur uur uur rIA IB CI  0. C uur uur uur rIA BI IC  0. D.

0

IA IB IC  

uur uur uur r

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a�  1;1;0; �b1;1;0; �c 1;1;1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

Với M a b c ; ; � điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là  M a b c ; ; 

Câu 32. Cho điểm M3;2; 1 , điểm  M a b c� ; ;  đối xứng của M qua trục Oy,

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ

D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

A. 1 , .

AB AC AD h

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1;2;1), (2; 1;2) A B  Điểm M trên

trục Oxvà cách đều hai điểm ,A B có tọa độ là

1 30; ;

Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1;2;1), (3; 1;2) A B  Điểm M trên

trục Ozvà cách đều hai điểm ,A B có tọa độ là

Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm ( 1; 2;3), (0;3;1), (4;2;2) A   B C Cosin

C tam giác vuông cân tại A D Tam giác đều.

Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABCcó (1;0;0), (0;0;1), (2;1;1)A B C

2 Hướng dẫn giải

Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ ar 3; 2; 4 ,  �b5;1;6 ,

Dễ thấy chỉ có xr(0;0;0)thỏa mãn x a x b x cr r r r r r  0

Câu 51. Trong không gianOxyz , cho 2 điểm (1;2; 3) B  , (7;4; 2)C  Nếu E là

điểm thỏa mãn đẳng thức CEuuur2uuurEB thì tọa độ điểm E là

383

B  , ( 2;3;3)C  ĐiểmM a b c là đỉnh thứ tư của hình bình hành ; ; 

ABCM, khi đó P a 2  có giá trị bằngb2 c2

góc A của tam giác ABC

A (0;1;3)D B (0;3;1)D C (0; 3;1)D  D (0;3; 1)D 

Hướng dẫn giải

BC �D(0;1;3)

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) ,

B( 4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam

3 3 3

I �� ��

� �.

Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ ura  1;1;0 ,  br1;1;0 ,  cr1;1;1

Cho hình hộp OABC O A B C ���� thỏa mãn điều kiện OA a OB b OCuuur r, uuur r, uuuur'cr Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm

2; 1;1 ,  1;0;0 ,  

Các mệnh đề đúng là:

A. 2) B 3) C 1); 3) D 2),

1)

Câu 57. Trong không gianOxyz , cho ba vectơ ar   1,1,0 ; br(1,1,0);cr1,1,1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

.cos( , )

D. 3 13

.13

Hướng dẫn giải

13

AB AC AD h

Câu 59. Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC

Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng

.2

SI  SA SB SC 

.3

SI  SA SB SC 

C SIuur uur uur uuurSA SB SC  . D SI SA SB SCuur uur uur uuur r   0.

uur uur uur

uur uuur uur

3

ABC�uur uur uur rAI BI CI   �SIuur SA SB SCuur uur uuur 

Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có

6

ABCD

V  ��AB AC AD��

uuur uuur uuur

Câu 61. Cho hình chóp S ABC có SA SB a SC  , 3 ,a ASB CSB� � 60 ,0 CSA� 900

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó khoảng cách SG bằng

Câu 64. Cho hình chóp S ABCD biết A2;2;6 , B 3;1;8 , C 1;0;7 , D 1; 2;3 Gọi

H là trung điểm của CD , SH ABCD Để khối chóp S ABCD có thể tích

2 (đvtt) thì có hai điểm S S thỏa mãn yêu cầu bài toán Tìm 1, 2

tọa độ trung điểm I của SS 1 2

Lại có H là trung điểm của CD�H0;1;5

Gọi S a b c ; ;  �SHuuur  a;1b;5c �SHuuurk AB AC��uuur uuur, ��k3;3;3  3 ;3 ;3k k k

Suy ra 3 3 9k29k29k2 �k� 1

+) Với k 1�SHuuur3;3;3�S 3; 2; 2

+) Với k  1�SHuuur    3; 3; 3�S3;4;8

Suy ra I0;1;3

Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2; 1;7), (4;5; 2) A  B  Đường

điểm D10; ;0 ,y1  D20; ;0y2  thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó y y1 2bằng

Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC, biết (1;1;1)A

, (5;1; 2)B  , (7;9;1)C Tính độ dài phân giác trong AD của góc A

Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba

điểm (2;3;1)A , ( 1;2;0)B  , (1;1; 2)C  H là trực tâm tam giác ABC, khi đó,

Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có (3;1;0) A ,

B nằm trên mặt phẳng ( Oxy và có hoành độ dương, C nằm trên trục)

Ozvà (2;1;1)H là trực tâm của tam giác ABC Toạ độ các điểm B , C

thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

H là trực tâm của tam giác ABC 

B , ( 5; 4;0)D   Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy ) và có tọa độ là

những số nguyên, khi đó CA CBuuur uuur bằng:

a b

a b

B  , (1;1; 2)C  Gọi I a b c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ; ; 

ABC Tính giá trị biểu thức P15a30b75c