KHOẢNG CÁCH HÌNH KHÔNG GIAN

KHOẢNG CÁC HÌNH KHÔNG GIAN CÓ LỜI GIẢI , LÀM TÀI LIỆU ÔN TẬP CHO CÁC EM HỌC SINH THI THPT QG, QUÍ THẦY CÔ CÓ TÀI LIỆU THAM KHẢO,KHOẢNG CÁC HÌNH KHÔNG GIAN CÓ LỜI GIẢI , LÀM TÀI LIỆU ÔN TẬP CHO CÁC EM HỌC SINH THI THPT QG, QUÍ THẦY CÔ CÓ TÀI LIỆU THAM KHẢO,

KHO NG CÁCH Ả

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a

d(M, ) = MH, , trong đó H là hình chiếu của M trên 

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ()

d(O, ( )) OH  , trong đó H là hình chiếu của O trên ()

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên ( ) và tính OH

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()



Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì

1d(M;( )) d(N;( ))

2

+ nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( )) d(N;( ))  

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

OAOB,OB OC,OC OA) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)

MA ud(M, )

u

�

 

uuuur rr với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương ur

+

u u '.AA 'd( , ')

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

+ d(, ()) = d(M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên 

+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ d((),( ) ) = d(M,( ) ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()

+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b.+ Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b

+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đóvới mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó



d

C

4a 19565



d

D

8a 195195



d

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

G i các đi m nh hình vẽọ ể ư

Câu 3: Kh i chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân t i B và ố ạ AB a SA ABC Góc gi a c nh bên  ữ ạ

SB và m t ph ng (ABC) b ng 60ặ ẳ ằ 0 Khi đó kho ng cách t A đ n (SBC) là:ả ừ ế

22

a

C

33

a

D

32

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 2a , �ABC1200, SA = 3a và SA

vuông góc v i m t ph ng đáy Tính kho ng cách ớ ặ ẳ ả d t đi m ừ ể A đ n m t ph ng (ế ặ ẳ SBC).

A d  2a

B

34

;

3

+ V y, kho ng cách t ậ ả ừ A đ n m t ph ng ế ặ ẳ SBC là 

3

2

.2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có c nh bên SA vuông góc v i m t đá; ạ ớ ặ BC9 ,m AB10 ,m AC17m

Bi t th tích kh i chóp S.ABC b ng 73mế ể ố ằ 3 Tính kho ng cách ả d t đi m A đ n m t ph ng (SBC).ừ ể ế ặ ẳ



d

C

14



d

D

245

a

C

314

a

D

87

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh ạ a 3 SA vuông góc v i đáy và SC = ớ3a Kho ng cách t đi m A đ n mp(SCD) là:ả ừ ể ế

a

C

62

a

D

26

Câu 8: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông t i ạ A, AB a AC , a 3 Tam giác

SBC đ u và n m trong m t ph ng vuông v i đáy Tính kho ng cách t ề ằ ặ ẳ ớ ả ừ B đ n m t ph ngế ặ ẳ

a

D.

3.2

a

V

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

G i ọ H là trung đi m c a ể ủ BC , suy ra SH BC�SH ABC 

G i ọ K là trung đi m ể AC , suy ra HK  AC

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh ạ a , � D600và SA vuông góc v iớ



k a

C

25

 a

k

D

23

 a

d

C

62

Câu 11: Cho lăng tr ụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình ' ' ' '

ch nh t ữ ậ AB a AD a ,  3 Hình chi u vuông góc c a đi m A' trên m t ph ng (ABCD) trùng ế ủ ể ặ ẳ

v i giao đi m AC và ớ ể BD. Tính kho ng cách t đi m B' đ n m t ph ng (A'BD) theo a là:ả ừ ể ế ặ ẳ

C

32

a

D

36

 a

h

C.

3926

 a

h

D.

3952

Câu 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a Hình chi u c a S lên m t ạ ế ủ ặ

ph ng (ABCD) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABD M t bên SAB t o v i đáy m t góc 60ẳ ớ ọ ủ ặ ạ ớ ộ 0 Tính theo a kho ng cách t B đ n m t ph ng (SAD)?ả ừ ế ặ ẳ

 a

d

C

32

a

d

D

32

G i O là tâm c a hình vuông ABCD.ọ ủ

Ta có d B SAD ,   2d O SAD ,   4d H SAD ,  

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, ạ AB1,AC 3 Tam giác SBC

đ u và n m trong m t ph ng vuông v i đáy Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng (SAC).ề ằ ặ ẳ ớ ả ừ ế ặ ẳ

a

a 32

 a

h

B

30.10

 a

h

C

66.11

 a

h

D

30.5

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh ạ a Góc BAC600, hình chi u c a ế ủ

đ nh ỉ S trên m t ph ng (ặ ẳ ABCD) trùng v i tr ng tâm tam giác ớ ọ ABC, góc t o b i hai m t ph ng ạ ở ặ ẳ

(SAC) và (ABCD) là 600 Tính kho ng cách t ả ừ B đ n m t ph ng (ế ặ ẳ SCD) theo a.

Trong m t ph ng (ặ ẳ SBD) k ẻ OE song song SH và c t ắ

SD t i ạ E Khi đó ta có t di n ứ ệ OECD vuông t i ạ O và

a

C

63

a

D

36

a

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

+ Kho ng cách t A đ n m t ph ng (SCD) là đ dài đo n HKả ừ ế ặ ẳ ộ ạ

Trang 11

 a

h

C

22

 a

h

D

2a 55

d AD SBC d A SBC d O SBC v i O là tâm hình vuông ABCD.ớ

G i I là trung đi m ọ ể BC��� �BC BC OI SO�BCSOI � SBC  SOI

62

a

C

2 5117

a

D

8 5117

H

CI

BM

a

C

3 32

a

D

7 34

V y ậ AH là kho ng cách t A đ n (ả ừ ế SMN),

3,4

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

Bài toán này có công th c tính nhtôi, nh ng tôi không trình b y đây Tôi sẽ trình b y ứ ư ầ ở ầ

cách t duy đ làm ra bài toán này nhé ! ư ể

Đ bài cho các gócề ASCASB BSC 600 và các c nh ạ SA3,SB4,SC5 áp d ng công ụ

th c ứ c2 a2  b2 2 cos ,ab  a b ta tính đ c đ dài các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC l n ượ ộ ạ ủ ầ

lượt là 13, 21, 19 Ta tính được

1cos

13



SAB

G i H là chân đọ ường cao t C xu ng m t ph ng (SAB), K ừ ố ặ ẳ ẻ HK SA HI,  AB (nh hình vẽ) ư

Đ t ặ CH x Quan sát hình vẽ ta th y : tính đ c đ dài các đo n th ng CK, CI, sau đó ta bi u ấ ượ ộ ạ ẳ ể

di n đễ ược HK, HI theo CH, và ta tìm được m i quan h gi a HK, HIố ệ ữ

Câu 26: Cho hình chóp t giác ứ S.ABCD có đáy là hình vuông c nh b ngạ ằ 2a Tam giác SAD cân t iạ

S và m t bên (ặ SAD) vuông góc v i m t ph ng đáy Bi t th tích kh i chóp ớ ặ ẳ ế ể ố S.ABCD b ng ằ

3

4

3a Kho ng cách ả h t ừ B đ n m t ph ng (ế ặ ẳ SCD) là:

-Ta có

2 2

Ch n ọ đáp án B.

Câu 27: Cho lăng tr ụ ABCD A B C D có đáy 1 1 1 1

ABCD là hình ch nh t AB = a, AD = ữ ậ a 3 Hình chi u vuông góc c a đi m Aế ủ ể 1 trên m t ph ngặ ẳ(ABCD) trùng v i giao đi m AC và ớ ể BD Góc gi a hai m t ph ng (ADD. ữ ặ ẳ 1A1) và (ABCD) b ng 60ằ 0.Tính kho ng cách t đi m Bả ừ ể 1 đ n m t ph ng (Aế ặ ẳ 1BD) theo a

a

C

34

a

D

36

Câu 2: Cho lăng tr đ ng ụ ứ ABC A B C có đáy ABC là tam giác ’ ’ ’

vuông t i B v i ạ ớ AB4 ,a BC3a,AC5a, c nh bên ạ BB' 9a

G i M là đi m thu c BB’ sao cho BB' = 3B'M Kho ng cách gi a B’C và AM làọ ể ộ ả ữ



C

35

a

D

27

a

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

(SBC) ch a SC và song song v i AD Đứ ớ ường th ngẳ

qua O vuông góc v i BC c t BC,ớ ắ AD l n lầ ượ ạt t i E, F

Vì O là trung đi m c a È nên ta có:ể ủ

d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) K OH vuôngẻ

G i M sao cho ABMC là hình bình hành ọ

Vẽ AH vuông góc v i BM t i H, AK vuông góc SH t i Kớ ạ ạ Suy ra, AK vuông góc (SBM)

Câu 5: Cho lăng tr tam giác ụ ABC A B C có t t c các c nh b ng a, góc t i b i c nh bên và m t 1 1 1 ấ ả ạ ằ ạ ở ạ ặ

ph ng đáy b ng ẳ ằ 300 Hình chi u H c a đi m A trên m t ph ng ế ủ ể ặ ẳ A B C thu c đ ng th ng1 1 1 ộ ườ ẳ

a

C

34

a

D a 3

Trang 17

C

34

a

D

23

ABC

V3a

a

C

617

a

D

217

Vì BDAC, BDCC’ BD(OCC’) (BC’D)(OCC’)

Trong (OCC’),k CHẻ OC’(H thu c OC’)ộ => CH(BC’D)d C BC D , ’   CH

AB SC

a d

C  , 

23



AB SC

a d

D  , 

24



AB SC

a d

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh b ng ạ ằ a 3;�ABC 1200 và c nh bên ạ

SA vuông góc v i m t ph ng đáy Bi t r ng s đo c a góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) ớ ặ ẳ ế ằ ố ủ ữ ặ ẳ

b ng 60ằ 0 Kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng BD và SC b ng:ẳ ằ

a

C

3 2913

a

D

146

Trang 19

 a

d

C

53

a

d

D

153

Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, c nh ạ a C nh bên ạ SA

vuông góc v i đáy, góc ớ SBD =� 60 0 Tính theo a kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng ẳ AB và SO

a

2.2

a

D

5.5

Trong tam giác vuông SAB , ta có SA SB2 AB2 a

G i ọ E là trung đi m ể AD, suy ra OE ABP và AEOE

C

21.5

a

D

3.5



�HJ a

Ch n ọ đáp án D.

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, m t bên SAB là tam giác đ u vàạ ặ ề

n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ABC), g i M là đi m thu c c nh SC sao choằ ặ ẳ ớ ặ ẳ ọ ể ộ ạ2

D

C B

A

B

3 32.

2 cos60 7

77

d 

17

T di n BEAM có các c nh BE, BM, BA đôi m t vuông gócứ ệ ạ ộ

nên là bài toán quen thu c.ộ

Câu 16: Cho lăng tr tam giác ụ ABC A B C có t t c các c nh b ng a, góc t o b i c nh bên và 1 1 1 ấ ả ạ ằ ạ ở ạ

m t ph ng đáy b ng 30ặ ẳ ằ 0 Hình chi u H c a đi m A lên m t ph ng ế ủ ể ặ ẳ A B C thu c đ ng th ng 1 1 1 ộ ườ ẳ

B1C1 Kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng AAẳ 1 và BC1 theo a là:

a

C

23

a

D

43

a

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

Câu 17: Cho hình lăng tr đ ng ụ ứ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đ u c nh a Góc gi a ' ' ' ề ạ ữ CA và'

m t ặ (AA B B' ' ) b ng ằ 30� G i d(AI’,AC) là kho ng cách gi a ọ ả ữ A I' và AC, k t qu tính d(AI’,AC)ế ảtheo a v i I là trung đi m AB làớ ể

a

2 21035

a

3 21035

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A , m t bên SAB là tam giác đ u ạ ặ ề

và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M là đi m thu c SC sao cho ằ ặ ẳ ớ ặ ẳ ọ ể ộMC=2MS Bi t AB=3, BC=ế 3 3 Kho ng cách gi a hai đ ng th ng AC và BM là:ả ữ ườ ẳ

3 32

2 cos60 7

77

Ch n ọ đáp án A.

Câu 19: Cho hình lăng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có c nh AB=a, góc gi a hai m t ph ng (A’BC) ụ ề ạ ữ ặ ẳ

và (ABC) b ng 60ằ o Tính theo a th tích t di n B’ABC và kho ng cách t B đ n m t ph ng ể ứ ệ ả ừ ế ặ ẳ(AB’C)

A

3 '

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

Theo nh đ bài d ki n thì ta có th d dàng tính đư ề ữ ệ ể ễ ược thể

tích c a kh i lăng tr tam giác đ u ban đ u, t đó suy ra thủ ố ụ ề ầ ừ ể

tích c a kh i t di n AB’BC Đ tính đủ ố ứ ệ ể ược kho ng cách t Bả ừ

đ n (AB’C) th c ch t là tìm chi u cao c a t di n, đ n đâyế ự ấ ề ủ ứ ệ ế

bài toán sẽ được gi i quy t n u quý đ c gi tìm đả ế ế ộ ả ược di nệ

tích tam giác AB’C

Vì đ bài cho d ki n ((A’BC), (ABC))=60ề ữ ệ o, nên ta sẽ đi xác

đ nh góc này b ng cách g i H là trung đi m c a BC Tam giácị ằ ọ ể ủ

ABC đ u nên AHề BC (1).

A’A(ABC) ⟹A’ABC (2)

T (1) và (2) ừ ⟹BCA’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o

⟹A’A = AH.tan 60o=

32

MH

D th y di n tích tam giác AB’C có th đễ ấ ệ ể ược do B’AC cân t i B’ cóạ

Câu 20: Cho lăng tr đ ng ụ ứ ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, �ACB 120o Đường th ng ẳ A’C t o v iạ ớ

m t ph ng ặ ẳ (ABB’A’) góc 300 G i ọ M là trung đi m c a ể ủ BB’ Tính th tích kh i lăng tr ể ố ụ ABCA’B’C’ và

kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng ẳ AM và CC’ theo a.

a

C

37

a

D

37

a

Hướ ng d n gi i: ẫ ả

+ K đẻ ường cao CH c a tam giác ủ ABC. Có CH

 AB ;CH AA’ suy ra CH (ABB’A’),Do đó góc

gi a A’C và mp(ABB’A’) là góc ữ CA H�' 300

+ Ta có

2 0

a

Ch n ọ đáp án D.

Câu 21: Cho lăng tr ụ ABC A B C các m t đ u là hình vuông c nh a G i D là trung đi m c a ’ ’ ’ ặ ề ạ ọ ể ủ

c nh ạ BC Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng A’B’ và DC’ theo a. ả ữ ườ ẳ

a

C

24

a

D

36

G i ọ D' là trung đi m ể B C ta có ' ' DD DC DA'; ; đôi m tộ

vuông góc v i nhauớ

Ghép h t a đ nh hình vẽ v i ệ ọ ộ ư ớ D là g c t a đ ố ọ ộ

Ta có

3(0;0;0), ;0;0 , ' ;0; , ' 0; ;

( ' , ') ( ,( ))

42



�

a a

3) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q), 

a HI

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

G i K là hình chi u vuông góc c a A lên SB Ta có AHọ ế ủ SC,AHCB(Do CB(SAC)) AH(SBC) AHSB

Trang 27

L i có: SBạ AK SB(AHK) V y góc gi a gi a hai m t ph ng ậ ữ ữ ặ ẳ SAB , SBC là � HKA

AK a

Ch n ọ đáp án A.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, ạ SAB  ABCD H là trung đi m  ể

c a AB, ủ SH HC SA AB,  G i ọ  là góc gi a đ ng th ng SC và m t ph ng (ABCD) Giá tr c aữ ườ ẳ ặ ẳ ị ủtan là:

Câu 6: Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác SAB cân t i S và n m ố ạ ạ ằ

trong m t ph ng vuông góc v i đáy Bi t th tích c a hình chóp S.ABCD là ặ ẳ ớ ế ể ủ

3 156

Do đó SAABCD nên  SC ABCD�,  SCA�

Trong tam giác vuông SAC, có

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh 2a, có SA vuông góc v i (ABC), ề ạ ớ

tam giác SBC cân t i S Đ th tích c a kh i chóp S.ABC là ạ ể ể ủ ố

2

a

thì góc gi a hai m t ph ng ữ ặ ẳ(SBC) và (ABC) là:

3tan2

G i ọ  là góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (ABữ ặ ẳ ’I) Tam giác ABC là

hình chi u vuông góc c a tam giác ABế ủ ’I



d

C d  7 D

17

G i E là trung đi m c a BB’.ọ ể ủ

 ' ;   ( ' ;( )) ( ';( )) ( ;( ))

d B C AM d B C AME d B AME d B AME

Ta có: d B AME( ;( ))h

T di n BEAM có các c nh BE, BM, BA đôi m t vuông gócứ ệ ạ ộ

nên là bài toán quen thu c Ta cóộ

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có m t bên SAC là tam giác cânặ

t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, đáy là tamạ ằ ặ ẳ ớ

giác ABC vuông cân t i B, ạ AB a 2 Bi t góc t o b i SC vàế ạ ở

a

D

52

CM được SH  ABC �SC ABC,   �SCH 450 �SH a

 tam giác SHB vuông cân t i H ạ � SB a 2

E

Câu 14: Cho hình vuông ABCD c nh 4a L y H, K l n lạ ấ ầ ượt trên AB, AD sao cho BH=3HA,

AK=3KD Trên đường th ng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) t i H l y S sao cho góc SBH =ẳ ớ ặ ẳ ạ ấ 30o

G i E là giao đi m c a CH và BK Tính cosin góc gi a SE và BC ọ ể ủ ữ

uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Câu 15: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, tâm c a đáy là O G i M và N l n ứ ề ạ ằ ủ ọ ầ

lượt là trung đi m c a SA và BC.ể ủ Bi t r ng góc gi a MN và (ABCD) b ng ế ằ ữ ằ 600, cosin góc gi a MN ữ

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

G i P là trung đi m AO; Q là giao đi m c a MC và SO, t Q kẽ tia song song v i MN trong ọ ể ể ủ ừ ớmp(MBC) c t BC t i R, trong m t ph ng đáy t R kẽ tia song song v i AC c t BD t i S.ắ ạ ặ ẳ ừ ớ ắ ạ

MP//SO nên MPABCD , suy ra � MNP600

Ta tính PN b ng cách vẽ thêm hình ph nh bên, theo đ nh lí Ta-lét ằ ụ ư ị

 a

PN

.Tam giác MPN vuông t i P có ạ �

102

 NP a

MN cosMNP

D th y Q là tr ng tâm tam giác SAC nên ễ ấ ọ

23



CQ MC

Vì QR//MN nên theo đ nh lý Ta-lét ta suy ra ị