BT Hệ tọa độ trong không gian

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.. b Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.. b Viết phương trình mặt cầu ngoại

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Phương trình mặt cầu.

1 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.

b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

5 Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với A (a;0;0); B ( b0, ,0); C(0,0,c); O(0;0;0).

6 Cho S(−3;1;−4); A(−3;1;0); B(1;3;0); C(3;−1;0); D(−1;−3;0).

a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.

b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

7 Cho hai mặt cầu ( ): 2 2 2 9 0

Mặt cầu đi qua các điểm

8 Viết phương trình mặt cầu nếu biết:

a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R= 3.

b) Tâm I(5; -3; 7) bán kính R = 2.

c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3).

d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ.

e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)

f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).

g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).

h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).

i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).

j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).

k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).

9 Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).

10 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng ( d): 11 / 2 14

x = y + = z +

−

tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.

11 Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).

a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

12 Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:

a) x2 +y2+z2−6x+2y+4z+5=0, x + 2y + z -1 = 0.

b) x2 +y2+z2−6x+2y−2z+10=0, x + 2y + 2z = 0.

2

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

14 Viết phương trình mặt cầu:

a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0.

b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0.

c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.

d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0.

e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3).

f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy

và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0.

h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz.

15 Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ tiếp điểm.

16 Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.

b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P)

17 Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C Viết phương trình

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)

18 Viết phương trình mặt phẳng:

a) Tiếp xúc với mặt cầu: (x−3)2+(y−1)2 +(z+2)2 =24 tại điểm M(-1; 3; 0).

b) Tiếp xúc với mặt cầu: x2 +y2+z2 −6x−2y+4z+5=0 tại M(4; 3; 0).

c) Tiếp xúc với mặt cầu: (x−1)2 +(y+3)2 +(z−2)2 =49 tại M(7; -1; 5).

d) Tiếp xúc với mặt cầu: (x−a)2+(y−b)2 +(z−c)2 =R2 và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0 e) Tiếp xúc với mặt cầu: x2+ y2 +z2 −2x−2y−2z−22=0 và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0 f) Tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 +z2 −6x+4y+2z−11=0 và song song với mp: 4x +3z -17 = 0 g) Tiếp xúc với mặt cầu: x2+ y2 +z2 −2x−4y+4z=0 và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.

h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc: x2 +y2 +z2−2x+6y+2z+8=0

i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).

4

j) Tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 +z2 −10x+2y+26z−113=0 và song song với 2 đường thẳng:

b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B.

21 Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +2x−4y−6z+5=0 Viết phương trình tiếp diện của (S):

a) Đi qua T(1; 1; 1) b) Đi qua đường thẳng: ( ) : 1 2

11

z y

12

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

22.Cho mặt cầu (S): x2 + y2 +z2 −2x−4y+6z−2=0 Xét vị trí tương đối của (S) với (d):

a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3) b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4).

c) (d):

0

32

22

12

Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến)

26 Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3.

a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó:

27) Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2−2x−4y+2z−3=0 Viết phương trình tiếp tuyến của (S):

a) Có vectơ chỉ phương a=(4;1;1) và đi qua A(-4; 3; m).

b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n).

6

28 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng:

a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t.

b)

3

21

Vị trí tương đối của hai mặt cầu

29 Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S 1 ) và (S 2 ) sau:

16)1()7()

−+

x

b)

014623

022)(

22 2 2

=++

−

=

−++

−++

z y x

z y x z y x

c)

012

2

0102262 2

2

=+

−

+

=+

−+

−+

+

z y

x

z y x z y

x

d)

012

2

02464122 2 2

=+++

=+

−+

−++

z y x

z y x z

y x

e)

0122

5)3()3()

2

=++

−

=++++

−

z y

x

z y

x

f)

0122

0102262 2 2

=+

−

−

=+

−+

−++

z y x

z y x z y x

g)

092

2

0862462 2

2

=+

−+

+

z y

x

z y x z y

x

h)

092

2

100)

11()2()3

=+

−

−

=

−+++

−

z y x

z y

x

31 Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3).

a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó viết phương trình đường tròn.

b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1 Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm Tìm toạ

)(x−x0 +B y−y0 +C z−z0 =

A

c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: + + =1

c

z b

y a x

d) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng: A0x+B0y+C0z+D=0 với 2 1

0

2 0

a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó.

b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.

3 Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó.

4 Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến n=(−3;4;1).

b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp n=(3;2;0).

c) Đi qua M0(x0;y0;z0)và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy.

8

e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M 1 M 2 với M 1 (0; 2; -3) và M 2 (1; -4; 1) f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.

g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0.

h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.

i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.

j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ a=(3;−1;−4).

k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ u=(3;1;−1) và v=(1;−2;1).

l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.

m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).

n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P 1 ):x + 2y - 3z + 1 = 0 & (P 2 ):2x - 3y + z + 1 = 0 o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).

p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0.

q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P 1 ): 2x + y - z - 2 = 0 và (P 2 ): x - y - z - 3 = 0.

r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.

s) Qua A( 1; 0; 2), song song với a=(2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0.

t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ.

u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).

w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).

x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.

y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).

z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0.

5 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:

a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2) b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6).

0 0 0

0 0 0

114

OB OA OC

OB OA OC

+

=

+

=

c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2) d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1).

e) M 1 M 2 với M 1 (2; 3; -4), M 2 (4; -1; 0) f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1).

6 Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.

a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7)

b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2).

7 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Với:

b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A 0 , B 0 , C 0 sao cho:

9 Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5) G là trọng tâm của tứ diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

B, G, I.

10 Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3) Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR).

11 Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC) Tính OH.

c) Tính diện tích S của tam giác ABC.

d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn a2 +b2 +c2 =k2 không đổi Khi nào S đạt giác trị lớn nhất? Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất.

10

12 Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).

a) Viết phương trình các mặt của tứ diện.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB.

13 Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là: A0x+B0y+C0z−2=0và

A 0 , B 0 , C 0 thoả mãn điều kiện:

841

0 0

II Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.

1 Xác định m, n, λ để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:

a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0 b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0 c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0 d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0 e) 2x + λy + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0 f) (λ-2)x + (λ+1)y+λz+λ=0; x+my+λ(m+λ

)z+1=0

g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x +λy - 3z + 1 = 0 h) mx + 3y - 2z - 1 = 0; 2x - 5y -λz = 0.

2 Viết phương trình mặt phẳng:

a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + 1 = 0

b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - 7 = 0.

c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).

d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với 2 mp x - 3y + 2z + 5 = 0; 3x - 2y + 5z + 4 = 0.

e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với 2 mp 3y - 2z + 11 = 0; z = 0.

f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + 5 = 0.

g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz).

h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với 2 mp: 3x - 2y + 2z + 7 = 0; 5x - 4y + 3z + 1 = 0.

i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 mp: 2x - z + 1 = 0; y = 0.

3 Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:

a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15 b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - 1 = 0.

c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0 d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.

4 Cho ba mp:(P):(4 -λ)x- (λ-5)+λz+λ= 0,(Q):2x + 3y + mz + 5 = 0,(R):3x+ly+λ(l−λ)z+l=0

6 Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0.

Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau?

Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0.

7 Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:

a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mp 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0 b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc mp: 2x + y - 3z - 2 = 0 c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1).

d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và s song với mp: 2x - y+ 19 = 0 e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0 f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0.

g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1).

h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và s song với hai mp: 2x - z + 7 = 0 i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0.

j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mp: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0 k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z = 0.

8 Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2).

a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC).

b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương v1 =CD,

d) Định λ lđể (P) song song với mặt phẳng 4x+ y+lz+1=0.

9 Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật:

III Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

1 Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh

D của tứ diện ABCD.

2 Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O Xác định toạ độ đỉnh D Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD) Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD).

3 Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:

a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0 b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0 c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0 d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0.

e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0 f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0.

4 a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0.

b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0.

c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0.

d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5.

e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0.

f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0.

g)Tính khoảng cách từ các điểm M 1 (1; -1; 2), M 2 (3; 4;1), M 3 (-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= 0.

k) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 2x - y + 2z + 9 = 0 và 4x - 2y + 4z - 21 = 0.

5 Cho phương trình họ mặt phẳng (P m ): 2x + y + z -1 + m(x + y + z + 1) = 0 ( m là tham số).

a) Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng (P m ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.

b) Tìm m để (P m ) vuông góc với mặt phẳng (P 0 )có phương trình 2x + y + z - 1 = 0 Tính d(O,(d))

6 Cho mặt phẳng (α) đi qua các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c >0

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α).

b) Chứng minh hệ thức: 1 2 12 12 1 2

OC OB

OA

7 Cho mặt phẳng (α): 2x - 3y + z - 7 = 0 và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0).

a) Hai điểm nào cùng phía đối với (α).

b) Hai điểm nào khác phía đối với (α).

8 Xét xem các cặp điểm sau đây cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng (α).

a) M(2; 1; -3), N(2; 3; -1), mp(α): 2x - y - z + 4 = 0.

b) M(2; 0; 1), N(-1; 2; 0), mp(α) qua P(1; 3; 2) và có cặp vectơ chỉ phương a=(1;3;4); b=(−2;1;2).

IV Góc giữa hai mặt phẳng.

1 Tính cosin góc tạo bởi các vectơ sau: