C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN.. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ.[r]
Trang 1C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN
I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
.1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vị i j k r r ur, , (r r r )
i j k 1 .2 a a a au r( 1; ;2 3)⇔ =au r a i1r+a j2r+a k ; M(x;y;z)⇔3ur uuurOM =xir+y jr+zk ur
.3 Tọa độ của vectơ: cho ru x y z v x y z( ; ; ), ( '; '; ')r
2 u vr± =r (x±x y'; ±y z z'; ± ')
5 ur⊥ ⇔rv xx'+ yy'+ zz'= 0 6 r = 2+ 2+ 2
7 u vr r, cùng phương⇔[ , ]r ru v =r0 9 ( )r r ur r
r r
.
cos , u v
u v
.4 TÝch cã h-íng cho a r = ( ; a a a1 2; 3), b r = ( ; ; ) b b b1 2 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
a a a a a a
b b b b b b
Nếu (P) có cặp vtcpa r r , b (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) )
thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định n uurp = ∧ = a r b r a b r r ,
.5 Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
1.uuuABr =(xB−xA;yB−y zA; B−zA) 2.AB= (xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
3.G là trọng tâm ∆ABC:x G=xA +xB+xC
A B C
A B C
3
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: = A + B; = A + B; = A + B.
M x x yM y y M z z
5 ABC là một tam giác⇔AB ACuuu r∧uuu r≠r0 khi đó S=1 uuuAB ACr∧uuu r
2
6 ABCD là một tứ diện⇔uuuAB AC r∧uuu r uuuADr ≠0, V ABCD= (uuu r uur) uuu r
∧AC ,
1
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), nr = ( ; ; )A B C } Cã pttq:
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0 D=-(Ax0+By0+Cz0 )
một số mặt phẳng thường gặp:
1 a/ M ặt phẳng (Oxy): z=0;
b/ mặt phẳng (Oxz): y=0;
c/ mặt phẳng (Oyz): x=0
2 Mpđi qua 3điểm A,B,C: có nr(ABC) =[AB ACuuu r uuu, r]
3 α //β⇒uunαr=uu n rβ 4 α⊥ β⇒ uunαr =uu u vµ ng-îc l¹i rβ
5 α //d ⇒uuu rα =uuu rd 6 α ⊥ d ⇒ nuuαr =uuu rd
(1; 0; 0)
ir
(0;1; 0)
j
r
(0; 0;1)
kr
O
z
x
y
Trang 2+Đường thẳng ∆ được xỏc định bởi: {M(x0;y0;z0),uuur∆ =(a;b;c)}
1 .Phương trỡnh tham số:
= +
= +
0
0
0
;
2 .Phương trỡnh chớnh tắc:x x− 0 = y y− 0 = z z− 0
3 Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: ++ ++ ++ ==
trong đú urn1= ( ; ; )A B C ,1 1 1 uunr2 = ( ; ; )A B C là hai VTPT và VTCP 2 2 2 uuur∆ = [uur uun n 1 r2]
+Chỳ ý: a / Đường thẳng Ox: =
=
y 0
z 0 ; Oy: =
=
x 0
z 0 ; Oz: =
=
x 0
y 0
b/ (AB): ruAB =uuu AB; c/ ∆ r 1//∆2⇒ .
u∆ =k u∆
uu r uu r
; d/ ∆1⊥∆2⇒ .
1 2
uuu r uu∆ ur∆ =0
Gúc giữa 2 đ thẳng
*cos(∆,∆’)=cosϕ=
ur uu r
r ur '
'
u u
u u ;
Gúc giữa hai mp
*cos(α,α’)=cosϕ=
ur uu r
r ur '
'
n n
n n ;
Gúc giữa đ t và mp
*sin(∆,α)=sinψ=
ur r
r r.
.
n u
n u .
III KHOẢNG CÁCH
Cho M (xM;yM;zM), (α):Ax+By+Cz+D=0, ∆:{M0(x0;y0;z0), ru∆},∆’ {M’0(x0';y0';z0'), uur'∆}
* Kh/ c từ M đến mp(α):
2 2 2
* K/ c từ M đến đ t ∆:
d(M,∆)= [uuuur rMMr1, ]u
u
* K/C giữa hai đường thẳng:
d(∆,∆’)= [ , '].r ur uuuuuur ur ur '
[ , ']
u u
IV PH-ơng trình d-ờng vuông góc chung
1 2
KH là đ- ờng vuông góc chung của d và d
d1 d2
⇔
=
uuur r uuur r
• ur =urd1 ∧u là VTCP của đ- ờng vuông goc chung của 2 đt chéo nhau d và drd2 ∆ 1 2
• ∆đi qua A=(P)I d trongđó (P) là mp đi qua M(x ;y ;z ) và có că p vtcp là u và u2 1 1 1 r rd1
d 2
2 2 2
(P) là mp đi qua M(x ;y ;z ) và có că p vtcp là u và u
=(P) (Q) trongđó
(Q)là mp đi qua M(x ;y ;z ) và có că p vtcp là u và u
V PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){tõm I(a;b;c),bỏn kớnh R}
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)
Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 ( 2 2 2 )
a +b + − >c d 0 khi đú R= 2+ 2+ −2
1 d(I, α)>R: α∩(S)=∅
2 d(I, α)=R: α∩(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xỳc mặt cầu (S): d(I, α)=R ( tại M khi đú uun =rα IM ) uur
3 Nếu d(I, α)<R thỡ α sẽ cắt mc(S) theo đường trũn (C) cú phương trỡnh là giao của α
và (S ) Để tỡm tõm H và bỏn kớnh r của (C) ta làm như sau:
a Tỡm r = R2-d I2( , )α
b Tỡm H: +Vi ết phương trỡnh đường thẳng ∆ qua I, vuụng gúc với α
+H=∆∩α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trỡnh ∆ với α)