Bài toán khoảng cách trong không gian , hình học không gian.

A. Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Định n[r]

Trang 1

Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 5: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P (đến đường thẳng  d ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  P (trên đường thẳng  d )

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P song song với a là khoảng cách

từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng  P

Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của

mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b , luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và

b , và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đường thẳng d được gọi là đường vuông góc chung của a

và b

Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng đó

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d , ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Trong mặt phẳng O d,  hạ OH d với Hd

+ Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài OH dựa trên hệ thức

lượng trong tam giác, tứ giác và đường tròn

Chú ý: + Nếu tồn tại đường thẳng a qua O và song song với d thì

d O d d A d , với Aa

+ Nếu AOd I thì  

, ,

d O d OI

d A d  AI

H

O

d

K

A

d

O

a

K

A

d

O

H I

Trang 2

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SAa và vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC , AB

a) Chứng minh rằng OI ABCD

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM , từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM

Giải:

a) Trong SAC, ta có: OI là đường trung bình

OI SA

  OI ABCD

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên CM, ta có:









 CM IOHCM OH

Trong ABC có K là trọng tâm, ta có: 1 2

a

OB AC ,

a

OK  OB

OH OK OC a  a  a

20

a OH

2

IH OI OH     

30 10

a IH

Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng 30

10

a

Vì SICM C nên

,

2 ,

5

a

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SA2a và vuông góc với mặt phẳng ABC, ABC vuông tại C với AB2a ,  0

30

BAC  Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM

a) Chứng minh rằng AH BM

b) Đặt AM x , với 0x 3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo

a và x Tìm các giá trị của x để khoảng cách này có giá trị nhỏ

nhất, lớn nhất

Giải:

D

C A

B

S

O

I

M

H

H K

S

C H

M

Trang 3

a) Vì SAABC nên AH là hình chiếu vuông góc của SH trên ABC, do đó AH BM theo định lý

ba đường vuông góc

b) Ta thấy ngay khoảng cách từ S đến BM chính là SH và trong SAH ta có: SH2 SA2AH2 Trong ABC vuông tại C có  0

30

BAC  nên

2

AB

Trong BCM vuông tại C, ta có:

Nhận xét rằng AMH và CMB là hai tam giác vuông có AMH CMB nên chúng đồng dạng, suy ra:

AH

Do đó

2 2

4

SH

Do SA2a không đổi, ta có nhận xét:

+ SH đạt giá trị lớn nhất khi: AHmax  AMmax M Cxa 3

+ SH đạt giá trị nhỏ nhất khi: AHmin  AMmin M Ax 0

 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng  P , ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Để dựng OH với H là hình chiếu vuông góc của

O lên  P ,ta thực hiện:

 Lấy đường thẳng a nằm trong  P

 Dựng mặt phẳng  Q qua O vuông góc với a cắt  P

theo giao tuyến b (cần chọn a sao cho mặt phẳng  Q

dễ dựng)

 Trong  Q , hạ OH b tại H

+ Bước 2: OH là khoảng cách từ O đến  P Tính độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ O đến

 P

Ví dụ 3: Hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc  0

60

BAD  Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và 3

4

a

SO  Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của

BE

a) Chứng minh SOF  SBC

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng SBC

Giải:

P

Q

H

O

a b

Trang 4

a) Với giả thiết, ta có: OBE đều OF BC

Mặt khác, ta cũng có: SOABCDSOBC

Suy ra SOSOFSOF  SBC

b) Trong SOF hạ OH SF, suy ra

OH  SBC OH d O SBC ,  

Trong SOF vuông tại O, ta có:

OH OS OF

3 8

a OH

Vì AO  SBCC nên:    

2 ,

AC

4

a

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a , SAa 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông góc với mặt phẳng ABCD b) Hãy dựng đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng SBC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

c) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC

d) Tính khoảng cách từ trọng tâm của SAB đến SAC

Giải:

a) Gọi M là trung điểm của SC Trong SAC, ta có: OM là

đường trung bình OM SAOM ABCD

Vậy OM là đường thẳng cần dựng

b) Nhận xét rằng:

BC SA









 BCSABSAB  SBC

Hạ AH SB, ta có ngay AH SBC

Vậy AH là đường thẳng cần dựng

Trong SAB vuông tại A, ta có:

 2

3 3

AH  SA  AB  a a  a

3 2

a AH

c) Vì AOSBCC nên

2 ,

AC

a

D

C

A

B

S

O

H

D

C

A

B

S

O E

H

M

F

Trang 5

d) Gọi E là trung điểm AB, hạ EF AC, ta được: EF AC

EF SA









 EF SAC

Do đó EF chính là khoảng cách từ E tới SAC

Trong OAB, ta có: EF là đường trung bình 1 2

a

Gọi G là trọng tâm SAB, vì EGSACS nên:

3 ,

ES

a

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song

song

Phương pháp:

1 Cho đường thẳng d  , để tính khoảng cách giữa d và   ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d , sao cho khoảng cách từ A đến   có thể được xác định

dễ nhất

+ Bước 2: Kết luận d d ,  d A ,  

2 Cho hai mặt phẳng song song  P và  Q , để tính khoảng cách giữa  P và  Q ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên  P , sao cho khoảng cách từ A đến  Q có thể được xác định dễ nhất

+ Bước 2: Kết luận d    P , Q d A Q ,  

Ví dụ 5: Cho hình hộp thoi ABCD A B C D     có các cạnh đều bằng a và    0

60

BADBAADAA Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy ABCD và A B C D   

Giải:

Hạ A H  AC, ta có nhận xét:

BD A O











 BDOAABDA H

A H ABCD

Và vì ABCD  A B C D    nên A H chính là khoảng

cách giữa hai mặt phẳng đáy

Nhận xét rằng hình chóp A ABD là hình chóp đều, nên ta

2 2

3

a

A H

D

C A

B

O

D'

C'

A'

B'

H

Trang 6

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có SAa 6 và vuông góc với mặt phẳng ABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD2a

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng SCD

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SBC

c) Tính diện tích của thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng   song song với mặt phẳng

SAD và cách một khoảng bằng 3

4

a

Giải:

a) Nhận xét rằng:









 CDSACSCD  SAC

Hạ AH SC, ta có ngay AH SCD

Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới SCD

  2 2

2

AH  SA  AC  a  a  a AH a 2

Gọi I là trung điểm của AD, suy ra: BI CD BISCDd B SCD ,  d I SCD ,  

Mặt khác, ta lại có AISCDD nên:

2 ,

AD

a

b) Nhận xét rằng: AD CB ADSCB d AD SBC ,  d A SBC ,  

Hạ AK BC, ta được: BC AK

BC SA









 BCSAKSBC  SAK và SBC  SAKSK

Hạ AGSK, ta có ngay AGSBC

Vậy AG là khoảng cách từ điểm A đến SBC

Trong SAK vuông tại A, ta có:

2 3 6

2

AG  SA  AK  a a   a

6 3

a AG

c) Nhận xét rằng: AK AD

AK SA









 AK SAD Giả sử mặt phẳng   song song với SAD cắt AK tại E, khi đó:    ,   3 1

a

E

 là trung điểm của AK

N K

E

C A

S

B

H I

M

Trang 7

Ta đi xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng   qua E và song song với SAD như sau:

SAD















Và Ex cắt AB, CD theo thứ tự tại M , N là trung điểm của mỗi đoạn

Trong SAB, dựng My SA và cắt SB tại Q là trung điểm của SB

Trong SCD, dựng Nz SD và cắt SC tại P là trung điểm của SC

Vậy thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng   là MNPQ , ngoài ra vì: MN CD PQ  MNPQlà hình thang

MQ SA MQABCDMQMN MNPQ là hình thang vuông

Từ đó, ta được 1 

2

MNPQ

S  MNPQ MQ

a

MN  ADBC  vì MN là đường trung bình của tứ giác ABCD,

1

a

PQ BC vì PQ là đường trung bình của SBC,

a

MQ SA vì MQ là đường trung bình của SAB

Suy ra

2

MNPQ

 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

Phương pháp:

1 Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b song song với a

+ Bước 2: Chọn M trên a , dựng MH  P tại H

+ Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng a1a và cắt b tại B

+ Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt a

tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P vuông góc với a tại O

+ Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc b của 1 b trên  P

Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b 1

a'

a

B P

H A

b M

O

P

H

b'

Trang 8

+ Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng song song với a , cắt b tại B

+ Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với OH , cắt a tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 3: Áp dụng cho trường hợp ab Ta thực hiện theo các

bước sau:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b , vuông góc với

a tại A

+ Bước 2: Dựng ABb tại b Đoạn AB là đoạn vuông

góc chung của a và b

2 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta

lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có)

Cách 2: Tính d a ,   với   là mặt phẳng chứa b song song với a

Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABAAa , AC 2a

a) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ACD

b) Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC và CD

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy

Giải:

a) Tứ diện DACD có DA, DC, DD đôi một vuông góc với nhau, do

đó gọi hd D ACD ,   thì: 12 12 1 2 1 2

h  DA  DC DD 10

5

a

h

b) Gọi I là giao điểm của C D và CD, hạ IK AC Ta đi chứng

minh IK chính là đoạn vuông góc chung của AC và CD, thật vậy:

CD C D

CD B C

 





  

 CDADC B  CDIK

Vì hai tam giác C IK và C AD đồng dạng, nên: IK C I

AD C A







2

AD C I a IK

C A



Ví dụ 8: Tứ diện OABC có OAOBOCa và   0

60

AOBAOC ,  0

90

BOC  a) Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OABC

b) Tìm đường vuông góc chung I J của OA và BC , tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng OA và BC

c) Chứng minh rằng ABC  OBC

Giải:

a) Ta có: AB ACa vì OAB và OAC đều

A

P

B

a

b

D

C

A

B

D'

C'

A'

B'

I K

C

A B

O

J I

Trang 9

Trong OBC vuông tại O ta có:

BC OB OC a a AB AC

ABC

 vuông cân tại A

Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của BC và OA, ta có: BC JO

BC JA









 BC OAJBCOA b) Với kết quả trong câu a) ta có ngay: BCIJ

1

2

OJ AJ  BC IJ OA

Vậy I J chính là đoạn vuông góc chung của OA và BC

Trong JBI vuông tại J ta có:

2

IJ BI BJ     

a IJ

c) Nhận thấy OJA là một trong bốn góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABC và OBC

Khi đó, trong OJA ta thấy trung tuyến JI thỏa mãn: 1

a

90

OJA

  ABC  OBC

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABC có SA2a và vuông góc với mặt phẳng ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với ABa Gọi M là trung điểm của AC

a) Hãy dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC

b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC

Giải:

a) Để dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC, ta có thể lựa chọn

một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Gọi N là trung điểm của AB, suy ra

BC MN BCSMN









 MN SABSMN  SAB và

SMN  SABSN

Hạ BH SN BH SMN

Từ H dựng Hx BC và cắt SM tại E

Từ E dựng Ey BH và cắt BC tại F

Đoạn EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC

Cách 2: Nhận xét rằng BC AB

BC SA









 BCSAB

Do đó SAB chính là mặt phẳng qua B thuộc BC và vuông góc với BC

Gọi N là trung điểm của AB, suy ra MNBC MN SAB

Suy ra SN chính là hình chiếu vuông góc của SM trên SAB

Hạ BH SN BH SMN

B

C A

S

M

N

E

Trang 10

Từ H dựng Hx BC và cắt SM tại E

Từ E dựng Ey BH và cắt BC tại F

Đoạn EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC

b) Nhận xét rằng SAN và BHN là hai tam giác vuông có hai góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra BH BN

SA  SN

SA BN BH

SN

Trong đó: 1

a

2

SN SA AN  a   

 

17 2

a SN

17

a

BH  Vậy khoảng cách giữa SM và BC bằng 2 17

17

a

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc  0

60

A  và có đường cao SOa

a) Tính khoảng cách từ O đến SBC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Giải:

a) Hạ OI BC và kéo dài OI cắt AD tại J

Ta có: BC OI









 BCSOISBC  SOI và

SBC  SOISI

Hạ OH SI OH SBC Vậy OH là khoảng cách từ O

đến SBC

Với hình thoi ABCD, ta có: BDa vì ABD đều

2

a

OB

2

a

Trong OBC vuông tại O, ta có:

 

3 3 2

OI OB OC a  a  a

 

 

39 13

a OI

Trong SAE vuông tại A, ta có: 1 2 12 12 12 1 2 162

3 39 13

OH  SO OI  a a   a

3 4

a OH

Vậy khoảng cách từ O đến SBC bằng 3

4

a

b) Nhận xét rằng:

AD BC  ADSBCd AD SB , d AD SBC ,  d J SBC ,  

Mặt khác, ta lại có JOSBCI nên:

B

C

A

D

S

O J

I H

C D

O I

J

Trang 11

,

2 ,

d J SBC IJ

OI

2

a

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng 3

2

a

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AD mp (ABCD), AC = AD = 4, AB = 3, BC = 5 Tính khoảng cách từ A

17

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB = a, AD = a, AA’ = c Tính khoảng cách:

2 2

ab

a b

b) Giữa hai đường thẳng BB’ và AC’ ĐS:

2 2

ab

a b

c) Giữa hai mp(AB’C) và (A’C’D) ĐS:

2 2 2 2 2 2

abc

a b b c c a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA đáy và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

2

a

6

a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đếu cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = h

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a và h ĐS:

2 2

3

ah

a  h

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác SBC Chứng minh rằng OH  (SBC)

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,  0

60

A  , góc giữa đường chéo A’C và mặt phẳng đáy bằng 600

a) Tính đường cao của hình hộp

b) Tìm đoạn vuông góc chung của A’C và BB’ Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	782,49 KB