Vẽ hai tiếp tuyến CN và CM đến (O) (tiếp điểm N thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm M thuộc cung lớn AB). a) Chứng minh tứ giác OICM nội tiếp. Chứng minh ΔCEN cân. d) Đường thẳng OP cắt đườ[r]
Trang 1THÁI THỤY
- Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
1
x A
x
và
4
B
x
với x0, x4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x2
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm x sao cho biểu thức P A B nhận giá trị là số nguyên
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình: 0
1
x my
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x > 0; y > 0
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho hàm số (d): ymx2 (m là tham số)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) đi qua điểm A(2; 1)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số (d) luôn cắt parabol
:
P y x tại hai điểm phân biệt Gọi x x1, 2(x1x2) là hoành độ các giao điểm, tìm m sao
cho x1 x2 2
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm C khác điểm A Vẽ hai tiếp tuyến CN và CM đến (O) (tiếp điểm N thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm M thuộc cung lớn AB)
a) Chứng minh tứ giác OICM nội tiếp
b) Chứng minh: CM = CA.CB 2
c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm P, giao điểm của hai đường thẳng
MP và CB là E Chứng minh ΔCEN cân
d) Đường thẳng OP cắt đường thẳng MN tại Q Chứng minh: 1 12 4 2
+ = OI.OQ CE MN
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1
Chứng minh rằng: 3 x2 xy 3 y2 3 y2 yz 3z2 3z2 zx 3x2 7
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
1
(2,0đ)
1
x A x
và
4
B
x
với x0,x4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x2
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm x sao cho biểu thức P A B nhận giá trị là số nguyên
2,00
1a
(0,5đ)
2
x thỏa mãn điều kiện xác định, thay vào A ta có
2 2
2 1
A
2(1 2)
2
2 1
1a
(1,0đ)
B
0,25
2
x
Vậy 3
2
x B
x
1c
(0,5đ)
Với x0, x4 thì 3
1
x
P A B
x
Do x 0 x 1 1 0; x 0, x 0, x 4 P 0, x 0, x4
Xét x = 0 thì P = 0
Xét x > 0 ta có 3 3
3, 0, 4 1
3
3 1
x x
Trang 3Câu Nội dung Điểm
Mà mà P nhận giá trị nguyên nên P = 2, 1,0
x +1 t m
1
4
3 x
x +1
3 x
x x 4 ((
x +1
t m
ông t m
Kh
Vậy x = 0; x = 1
2
(2,0đ)
Cho hệ phương trình: 0
1
x my
mx y m
a) Giải hệ phương trình với m3
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn
x > 0 và y > 0
2a
(1,0đ)
Khi m = 3 ta có hệ phương trình 3 0
x y
3 3.3 4
y y
3 3
1
8 4
2
3 2 1 2
x
y
Kết luận: Với m = 3 hệ có nghiệm
3 2 1 2
x y
0,25
2b
(1,0đ)
Xét hệ phương trình 0 (1)
1 (2)
x my
mx y m
Từ (1) ta có xmy (*)
Thế vào (2) ta có 2
m my y m m y m
Hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất
Khi m 1,(3) 2 1 1
0,25
Trang 4Hệ có nghiệm duy nhất 1
1 1
m x m y m
0
1
0 1
m x
m
y m
Vậy với m > 1
Thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 0,25
3
(2,0đ)
Cho hàm số (d): ymx2 (m là tham số)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (d)đi qua điểm A(2; 1)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số (d) luôn cắt parabol
:
P y x tại hai điểm phân biệt Gọi x x1, 2(x1x2)là hoành độ các giao
điểm, tìm m sao cho x1 x2 2
3a
(0,75đ)
Đồ thị hàm số (d) đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ của A là x = 2 và y = 1 thỏa
1 2 2
2
0,25 Vậy 1
2
m
thì đồ thị hàm số (d) đi qua điểm A(2; 1);
0,25
3b
(1,25đ)
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình
2
2
y x
y mx
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 2
x mx x mx
Ta có a = 1 > 0 và c =2 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt và hai
Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 0,25
Vì x x1, 2trái dấu và x 1 < x 2 nên x 1 <0 và x 2 > 0 hay x2 x x2, 1 x1
Theo hệ thức Vi-et 1 2 b
a
Suy ra m = 2 (thỏa mãn)
Vậy khi m = 2 thì x1 x2 2 0,25
Trang 5Câu Nội dung Điểm
4
Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm
của dây AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm C khác điểm A Vẽ hai tiếp tuyến
CN và CM đến (O) (tiếp điểm N thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm M thuộc cung
lớn AB)
a) Chứng minh tứ giác OICM nội tiếp
b) Chứng minh:CM = CA.CB 2
c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm P, giao điểm của hai
đường thẳng MP và CB là E Chứng minh ΔCEN cân
d) Đường thẳng OP cắt đường thẳng MN tại Q
Chứng minh: 1 12 4 2
+ = OI.OQ CE MN
4a
(1,0đ)
(O) có dây AB không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB
Tứ giác OICM có: 0 0 0
OIC OMC 90 90 180 0,25
Tứ giác OICM nội tiếp được đường tròn 0,25
4b
(1,0đ)
(O) có:CMA là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AM
CBM là góc nội tiếp chắnAM CMA CBM 0,5
CMA và CBM có: MCB chung, CMA CBM
2
CM CA
CB CM
CM CA.CB
4c
(1,0đ)
Vì CME là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn MP nên
2
(O) có OP dây ABPAPB (liên hệ giữa cung và dây) 0,25
E
H
N
B
A
Q
P
C
I
O
M
Trang 6Vì CEM là góc có đỉnh ở bên trong (O) nên: 1
2
Mà PA PB
MCE cân tại C CM = CE
0,25
mà CM = CN (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
4d
(0,5đ)
Gọi H là giao điểm của OC và MN
Ta có: OM = ON và CM = CN
OC là đường trung trực của MN
OC MN
tại H
OIC và OHQ cóCOQ chung, 0
OIC OHQ 90
OIC OHQ (g.g) OI OC
OI.OQ OH.OC
OH OQ
0,25
OCM vuông tại M, đường cao MH
2
OH.OC OM
Mà OI.OQOH.OCOM2, CM = CE, MH = 1
+ = OI.OQ CE MN
0,25
5
(0,5đ)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng :
3 x xy 3 y 3 y yz 3z 3z zx 3x 7
Ta có: 4(3x 2 + xy + 3y 2 ) = 7(x + y) 2 + 5(x y) 2 7(x + y) 2
Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x = y
Vì x, y > 0 nên 2 2 7
2
Chứng minh tương tự ta có:
2
y yz z y z Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi y = z
2
z zx x z x Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi z = x
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
3 x xy 3 y 3 y yz 3z 3z zx 3x 7( x y z )
Do x+ y+ z = 1, suy ra:
3 x xy 3 y 3 y yz 3z 3z zx 3x 7
Dấu ‘‘=’’xảy ra khi x = y = z =
3 1
0,25
Trang 7biến đổi hợp lí và có lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo thang điểm
+) Câu 4 nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không chấm điểm
+) Mọi cách giải khác trên mà đúng cho điểm tối đa theo thang điểm
+) Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn