Bổ trợ lượng giác (công thức biến đổi)

Công thức biến đổi :a.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1.Công thức cộng:

tga tgb

tg a b

tga tgb

+ + =

−

cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

cos(a-b) = cosacosb +

sinasinb sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa

sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa

tga tgb

tg a b

tga tgb

−

− =

+

Nhớ :

cos thời cos cos, sin sin

sin thời sin cos, cos sin là cùng

tg tổng thì tổng tg ta

phép chia của một trừ thừa tg ra

Cụ thể : VT và VP ngược dấu

VT và VP cùng dấu

( )

1

tg tg tg

tg tg

+ + =

−

tg hiệu là hiệu tg ngươi phép chia của một cộng thừa tg vô ( ) 1

tg tg tg

tg tg

−

− =

+

cotg tg

O

+

-1

-1

1

1

B

A A’

B’

M

P Q

sin

K α

N

E

Vận dụng kiến thức đã học :

( ) cos ;

u vr r = u vr r u vr r

.

u r = p i q j r + r

1

i = = j

r r

( ON OMuuur uuuur; ) = − + α β k2 π

j

r

i

r

y

1

( )1;0

i

r

( ) 0;1

j

r

( ; )

ur = p q

2 2

ur = p + q

( ) ;

v r = a b

u v r r = p a q b +

Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :

x y

( cos ;sin )

OMuuuur = β β

( cos ;sin )

OM ONuuuur uuur = OM ONuuuur uuur OM ONuuuur uuur

( )

cos cos α β + sin sin α β = 1 1.cos  α β − + k2 π 

cos cos α β + sin sin α β = cos 2 α + sin 2 α cos 2 β + sin 2 β cos(α β − + k2 π )

( )

cos cos α β + sin sin α β = cos α β −

( )

cos α β + = cos α − −( )β  =

cos α β + = cos cos α β cos cos − sin sin α α ( )− + β β sin sin α ( )− β

( ) cossin( ( ) ) sin coscos cos sin cossin sin

α β

sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos

+

=

−

sin sin cos cos sin sin

cos cos

+

=

tg tg

α β

+

=

−

( ) 1tg tg

tg

tg tg

α β

α β

+

−

tg α β − = tg α + − β  = ( )

( )

1

tg tg

tg tg

=

tg tg

tg tg

α β

− +

Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tg

0

cos15 = cos 45( 0 −300 ) = cos 45 cos300 0 + sin 45 sin 300 0

sin 15 = − 1 cos 15

2

4 2 2

− +

sin 15

4

−

= sin150 = 2 −4 2 = 2 −2 2

2 0

2 0

1

sin 15

( )

4

Giải

Ví dụ : Tính sin

8 π

cos cos sin

π = π − π 1 sin2 sin2

2

cos 1 2sin

4

π

2 2 sin

Giải

2 Công thức nhân đôi :

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos2α – sin2α

= 1 – 2sin2α

2

2 2

1

tg tg

tg

α α

α

=

−

Nhớ :

sin cặp thì cặp sin cô

cos hai lấy hiệu bình cô sin bình

thêm hai cos bình trừ duy nhất

duy nhất trừ đi hai sin bình

tg nhị là nhị tg anh phép chia của một trừ bình tg thôi

Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β)

và tg(α+β) Cụ thể :

cos 2α = cos(α α+ ) = cos cosα α −sin sinα α = cos2 α −sin2 α sin 2α = sin( α α + ) = sin cos α α + sin cos α α = 2sin cosα α

2

2 2

tg

α

+

a Hệ quả 1:

2

2

2

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2

1 cos 2

tg

α α

α α

α α

α

+

=

−

=

−

=

+

Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα

2

t tg= α α π ≠ + k π

2 2 2

2

2 sin

1 1 cos

1 2 1

t t t t t tg

t

α α α

=

+

−

=

+

=

−

Chứng minh :

Chứng minh :

Vận dụng các công thức nhân

đôi ta được hệ qủa một

b Hệ quả 2:

cos bình không biết bằng chi ?

mẫu hai, tử tổng một và cos hai

Nhớ :

sin 2sin cos

2 2

2sin cos

1

=

2

2sin cos

cos

2

α α α

α + α

2sin cos

2 2 sin cos

2

2

2

sin

1

2

tg

tg

α

2 sin

1

t t

+

2

2

1

2

cos

1

2

tg

tg

α

+

cos sin

cos sin cos sin cos cos

cos cos sin

cos cos

−

+

+

2 2

1 cos

1

t t

α = −

+

Ta có :

Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :

2

5 cos

2 7sin

x M

x

−

=

+

1

x

2 7sin 2 7sin

M

2 2

1 2

sin

1

2

t x

t

+  ÷ 

2

4 4

58

5

4 95

2 7

5

M

  +  ÷ 

+

Giải

Áp dụng hệ qủa 2 : đặt 1

x

t tg = =

3 Công thức biến đổi :

a Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng :

1

2 1

2 1

2

Nhớ :

tích sin là tích nửa âm

cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ

hoặc trừ vế theo vế

Ví dụ : Tính cos cos 2

3 2sin cos cos

5

M

π

=

3 2sin cos 2sin cos

5

π

4sin

5

4 sin sin

5 5

π

 − 

Giải

5

4 4sin

5

M

π π

b Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác

thành tích :

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

sin cos cos sin

cos cos

tg tg

tg tg

α β

α β

+

−

Nhớ : cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos

cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin

sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos

sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin

Cụ thể :

Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệu

Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôi

Chứng minh :

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb

{

Đặt :

α = a + b

β = a – b

2 2

a b

α β

α β

+

=

−

=

α β α β + − α β α β + − α β + α β −

Áp dụng tương tự với các hàm khác

Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau

M = sinx – sin2x + sin3x

M = sin3x + sinx – sin2x 3 3 – sin2x

2sin cos

x x+ x x−

=

Giải

2cos 2cos sin

x x x x

M = x + − 

M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)

3 4sin cos cos

M = x

Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150

Giải

( 0 0 ) 0

sin 75 15 sin 60 cos 75 cos15 cos 75 cos15

Mở rộng cho các công thức sau :

sin cos 2 sin 2 cos

α + α = α + ÷= α − ÷

α − α = α − ÷= − α + ÷

i

ii

iii sin3α = 3sinα – 4sin3α

iv cos3α = 4cos3α – 3cosα

Vận dụng công thức : cos cos 1 cos( ) cos( )

2

α β =  α β + + α β − 

Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :

0

sin 60 1

2

0

2sin 60 cos 90 cos 60

=

+

0

0 0

2sin 60

2 60 2 3 cos 60

Chứng minh :

sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α

= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)

= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)

= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α sin3α = 3sinα – 4sin3α

Tương tự cho cos3α

VT = 2 2

2 ( sinα + cosα ) = 2 2 sin 2 cos

+

2 cos sin sin cos

π α

2 sin sin cos cos

VT =  π α + π α 

π α

Tương tự cho sinα - cosα

i

ii

iii

[

iv

Bài tập củng cố :

1 Tính: A = sin100sin300sin500sin700

A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300

.cos10 sin 20 cos 20 cos 40

2

A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)

A = sin100sin300 cos400cos200

.cos10 sin 40 cos 40

4

.cos10 sin 80

8

.cos10 sin(90 80 )

8

.cos10 cos10

8

8

Giải :

2 Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800

B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 +

cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800

B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800

B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) +

(cos800 – cos800 ) + cos1800

B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1

3.Ví dụ :CMR :

tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =

Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:

A + B + C = π A + B = π – C

tg(A + B) = tg(π – C)

Giải :

Giải :

( )

1

tgA tgB+ = −tgC −tgA tgB

.

tgA tgB+ = −tgC tgC tgA tgB+

tgA tgB

tgC tgA tgB

−

(đpcm)

4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:

sin

2cos sin

B

A

C =

sin B = 2sin cosC A 2.1 sin ( ) sin ( )

Mà : A + B + C = π C + A = π – B

sin C A+ = sin π − B = sin B

( )

sin C A− = 0

µA C= µ

(1)

Giải :

(1)

sin B = sin B + sin C A−

Do đó :

Tam giác ABC cân tại B