MẶT nón mặt TRỤ mặt cầu lớp 12 thầy sơn 2018

- Diện tích xung quanh của mặt trụ bằng diện tích hình chữ nhật có hai kích thước là chu vi đường tròn đáy và độ dài đường sinh.. - Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đều trùng

ÔN CHƯƠNG II : MẶT NÓN, MẶT TRỤ,MẶT CẦU

Phần 1: MẶT NÓN, MẶT TRỤ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Mặt nón tròn xoay

+ Diện tích xung quanh của mặt nón: S xq rl

+ Diện tích toàn phần của mặt nón: 2  

TP

S rlr r lr

+ Thể tích của khối nón: 1 1 2

n

V  Bh r h Trong đó B là diện tích đáy( Tóm lại V bằng 1/3 diện tích đáy nhân chiều cao) Vì đáy là hình tròn nên B= π.r2

Và nhớ chiều cao h là đoạn OI

2 Mặt trụ tròn xoay

+ Diện tích xung quanh của mặt trụ: S xq 2rl( đường sinh l chính là đoạn

CD)

+ Diện tích toàn phần của mặt trụ : 2  

TP

S  rl r  r lr

+ Thể tích của khối trụ : VTr  Bh   r h2 ( Tóm lại V bằng diện tích đáy

nhân chiều cao) Và nhớ đường sinh CD thì bằng chiều cao h là đoạn AB

* Chú ý : “Bắt buộc phải đọc thì làm hình mới nhanh và giỏi”

- Mặt trụ có độ dài đường sinh bằng chiều cao

- Diện tích xung quanh của mặt trụ bằng diện tích hình chữ nhật có hai kích thước là chu vi đường tròn đáy và độ dài đường sinh

- Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm của tam giác đều

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trùng với trung điểm cạnh huyền

- Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình vuông trùng với tâm của hình vuông

- Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật trùng với tâm của hình chữ nhật

B BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1) Mặt nón

Bài tập 1: Trong không gian, cho tam giác ABC

vuông tại , A AC 2 , a ABC 30 Tính độ dài đưòng

sinh của hình nón nhận được khi quay tam

giác ABC quanh trục AB

Lời giải: Độ dài đường sinh 4

sin

AC

B

2a

30°

B

Bài tập 2: Cho hình nón, mặt phẳng qua trục và cắt hình nón

tạo ra thiết diện là tam giác đều cạnh 2a Tính diện tích xung

quanh của hình nón và thể tích của khối nón

Lời giải

Mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra tam giác đều cạnh 2a

 2R2a  2 2 2 2

h R  a a a

Diện tích xung quanh : S xqRl  .2a a2a2

Thể tích khối trụ : ( )  2  .2 3 3 3

non

V

Bài tập 3: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và thiết diện qua trục là tam giác vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

Lời giải

a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A

 = B

 = 450

 SO = OA = h=R= 2

2

a



 Sxq = R   a 2 2 a  2 2  a2

 Stp = Sxq + Sđáy =2 2a22a2 (2 2 2) a2

b) V =

3

a

Bài tập 4: Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, gọi O là tâm của đáy, 0

60

SAO a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Lời giải

a) Vì S.ABCD đều nên SO(ABCD)

Ta có :S ABCD a2;

SOA

 vuông tại O có :

0

SO AO SAO  

3 2

b) Gọi l, r lần lượt là đường sinh,bán kính đáy của hình nón

2

a

rOA ;

2

          

2 xq

a 2

2

Các em có thắc mắc hoặc góp ý gì liên hệ FB thầy: Ngô Bá Sơn

=2a

S

B A

O

=2a

45o

S

B A

O

S

A

D

O

Bài tập 5: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o

a) Tính thể tích khối chóp

b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Lời giải

a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  SO  (ABCD)

6

a

V

b) Ta có R =OA, l =SA= a Vậy  2  2 2

xq

2) Mặt trụ

Bài tập 1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có

diện tích bằng 6a2

Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ

Lời giải

Mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một hình chữ nhật  S = 2R6a2

 6 2 3

2

a

a R

xq

S  Rl  a a a

Thể tích khối trụ : 2 2 3

( )T .3 3

V R h a a a

Bài tập 2: Một thùng hình trụ có thể tích là 48 , chiều cao là 3 Tính diện tích

xung quanh của thùng đó

3

      

xq

S    2 Rl 2 4.324 (do lh)

Bài tập 3: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với

chiều cao 200cm , độ dày của thành ống là 15cm, đường kính

của ống là 80cm Tính lượng bê tông cần phải đổ

Lời giải:

Gọi V ,V 1 2 lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và bên trong

Do đó lượng bê tông cần phải đổ là:

1 2 40 200 25 200 195000 0,195

V  V V    cm  m

Bài tập 4: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O’;r) Khoảng cách giữa hai đáy là

OO 'r 3 Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là đường tròn (O;r) Gọi S1 là diện tích xung quanh hình trụ, S2 là diện tích xung quanh hình nón Tính tỉ số 1

2

S S

Lời giải :

3 V=48π

200 cm

40 cm

15 cm

S  r r  r

Gọi O’M đường sinh của hình nón 2 2

O M  OO OM  r

2

S r r r

Vậy

2 1

2 2

3 2





Bài tập 5: Trong không gian cho hình lập phương cạnh bằng a

a) Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a Tính

thể tích của khối trụ đó

b) Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a

Tính thể tích của khối trụ đó

Lời giải:

a) Ta có: r = a; h a

2

 

.( ) 2

  a 

3

4

a V

b) Ta có: r = a 2; h a

2

Vậy 2 ( 2) 2

2

a

V r h a 3

2

a

V 



Bài tập 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạch bằng a, mặt phẳng A’BC

hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 600

a) Một trụ tròn ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

b) Một trụ tròn nội tiếp hình lăng trụ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Lời giải

a) Ta có: AM a 3 r AG a 3

    ; h = AA’ = AM.tan 600 3a

2



Vậy Sxq = 2 r.l 2 a 3 3a a2 3

3 2

     ; V =

2

3

    

b) Ta có: r GM a 3

6

 

Vậy Sxq =

2

a 3 3a a 3

2 r.l 2



2

3

    

 

Các em có thắc mắc hoặc góp ý gì liên hệ FB thầy: Ngô Bá Sơn

Đón xem cách bấm máy tính casio trên FB của thầy

O

’’

’’

’’

’’

’’

’

O

M

3 r r

_

D ' _ C '

_

B '

_

A '

_

_

B

_

A

_

a

_

C' _

B'

_

A'

_

C

_

B

_

A

_

M

_

G

PHẦN 2: MẶT CẦU

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa mặt cầu

 Mặt cầu: S(O;R)M OMR  Khối cầu: V(O; R)M OMR

2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))

 Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính

r R d

 Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) được gọi là tiếp diện của (S))

 Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung

Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R được gọi là đường tròn lớn

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng  Gọi d = d(O; )

 Nếu d < R thì  cắt (S) tại hai điểm phân biệt

 Nếu d = R thì  tiếp xúc với (S) (được gọi là tiếp tuyến của (S))

 Nếu d > R thì  và (S) không có điểm chung

4 Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

+ Diện tích của mặt cầu : 2

4

C

S  r

+ Thể tích của khối cầu : 4 3

3

C

V  r

“BẮT BUỘC CÁC EM PHẢI THUỘC CÔNG THỨC TRÊN”

Các em có thắc mắc hoặc góp ý gì liên hệ FB thầy: Ngô Bá Sơn

I J

M A

C

B S

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

a) Cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

– Xác định trục  của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên

– Giao điểm của (P) và  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

b) Cách tìm bán kính của mặt cầu ngoại hình chóp

- Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy thì áp dụng công thức Pitago

- Nếu hình chóp là hình chóp đều thì áp dụng tỉ lệ đồng dạng của hai tam giác

2 Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng:

- Xác định trục  của hai đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

- Trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

C BÀI TẬP TỰ LUẬN:

Bài tập 1: Cho mặt cầu có bán kính Ra 3 Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Lời giải : Ta có  2

S 4 R  4 a 3  12 a

V =  3

3  3  

Bài tập 2: Cho hình chóp S ABC , đáy là tam giác vuông tại A, AB3,AC 4, SA vuông góc với

đáy, SA2 14. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC Từ M kẻ đường thẳng / /SA

Khi đó  là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC Đường

trung trực của cạnh bên SA qua trung điểm J và cắt  tại I

Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Có bán kính

9

SA BC

RIA     

   

   

Vậy

3

V      

 

Bài tập 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với

mặt đáy một góc 600

Một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích mặt cầu và

thể tích khối cầu đó

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Từ O

kẻ đường thẳng  (ABCD) Khi đó 

là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông

ABCD Đường trung trực của cạnh bên SA

qua trung điểm J và cắt  tại I

Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC D

và bán kính R = IS

Ta có: OA a 2

2

S

A

B

C

D

O

I

J

M

Do SJI đồng dạng với SOA ta có:

SI SJ SJ.SA SA a a 3

SI

SA SO  SO 2.SO  a 3  3 Vậy

2

      

3

     

Bài tập 4: Trong không gian cho hình lập phương cạnh bằng a

a) Một mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a

Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu

b) Một mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a

Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu

Lời giải

Ta có tâm I của mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình

lập phương ABCDA’B’C’D’ là giao của hai đường

chéo A’C với D’B

a) Ta có BDa 2; DD ' a BD ' BD2DD '2 a 3

Bán kính R 1BD ' a 3

Vậy

2

2

      

3

 

     

  b) Ta có OO ' a R IO a

2

    Vậy

2

2

 

      

  ; V =

3

 

     

 

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ( Đáp án liên hệ FB: Ngô Bá Sơn)

Câu 1 Cho điểm O cố định và điểm M thỏa mãn OM6cm Phát biểu nào sau đây là đúng

A M thuộc đường tròn tâm O bán kính 3cm B M thuộc mặt cầu tâm O bán kính 3cm

C M thuộc mặt cầu tâm O bán kính 6cm D M thuộc mặt cầu tâm O bán kính 12cm

Câu 2 Cho mặt cầu tâm O bán kính 10cm Điểm M cách O một khoảng bằng 5cm Phát biểu nào sau

đây là đúng ?

A Điểm M nằm ngoài mặt cầu B Điểm M nằm trong mặt cầu

C Điểm M nằm trên mặt cầu D Khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn bán kính mặt cầu

Câu 3 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và điểm H thỏa mãn OH R, mp(P) chứa H và vuông góc với đường thẳng OH Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

B Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung

C Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến là một đường thẳng

D Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến là một đường tròn

Câu 4 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và điểm I thỏa mãn OIR, (P) là mặt phẳng chứa I Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

B Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung

_

D ' _ C '

_

B '

_

A '

_

_

B

_

O’

I

C Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến là một đường thẳng

D Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S), giao tuyến là một đường tròn

Câu 5 Cho mặt cầu tâm O đi qua hai điểm phân biệt A, B Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A OAOB

B O thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

C O, A, B là ba đỉnh của một tam giác vuông

D O, A, B là ba đỉnh của một tam giác cân

Câu 6 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và điểm I thỏa mãn OI R, đường thẳng (d) chứa điểm I Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S)

B Đường thẳng (d) và mặt cầu (S) không có điểm chung

C Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S), (d) và mặt cầu có hai điểm chung

D Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S), (d) và mặt cầu có duy nhất một điểm chung

Câu 7 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính 3cm Điểm A nằm ngoài mặt cầu và cách O một khoảng

5cm Đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu, B là tiếp điểm Độ dài đoạn thẳng AB là

A 3cm B 4cm C 5cm D 3 2cm

Câu 8 Cho mặt cầu tâm O đi qua ba điểm phân biệt A, B, C Hình chiếu vuông góc của O lên

mp(ABC) là :

A Trọng tâm tam giác ABC B Trực tâm tam giác ABC

C Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC D Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 9 Cho hai điểm A, B thuộc mặt cầu tâm O bán kính R (O không thuộc đoạn thẳng AB), H là

hình chiếu vuông góc của O lên AB Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A AB2OH2 R2 B AB2OH2 4R2

C AB24OH2 4R2 D AB24OH2 R2

Câu 10 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A Bất kỳ một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

B Bất kỳ một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

C Bất kỳ một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

D Bất kỳ một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

Câu 11 Mp(P) cắt mặt cầu (O, R) theo một đường tròn Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A O là tâm đường tròn giao tuyến

B Tâm đường tròn giao tuyến không thuộc (P)

C Tâm đường tròn giao tuyến là điểm đối xứng với O qua (P)

D Tâm đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của O lên (P)

Câu 12 Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính R tại A Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A Đường thẳng OA vuông góc với mp(P) B Hình chiếu vuông góc của O lên (P) khác A

C Khoảng cách từ O đến (P) khác R D OA OM , với M là điểm bất kỳ thuộc (P)

Các em có thắc mắc hoặc góp ý gì liên hệ FB thầy: Ngô Bá Sơn