104 viết phương trình mặt cầu tổ 12 phạm thị hồng minh daxem

Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính và mặt phẳng Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và Mặt cầu và không có điểm chung.. 7 Lời giải _Quy

Chương 3 : Bài 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tên FB: Phạm Thị Hồng Minh Email: phamthihongminh2308dl@gmail.com

Dạng 105: Viết phương trình mặt cầu

_ Tóm tắt lý thuyết cơ bản

 Phương trình mặt cầu

Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính

Phương trình mặt cầu là: (1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu

Đặc biệt, khi thì phương trình là

 Phương trình mặt cầu dạng khai triển

là phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính

 Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng

Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính và mặt phẳng

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và

Mặt cầu và

không có điểm chung

Mặt cầu tiếp xúc với tại ( là tiếp điểm)

cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn

có tâm , bán kính

.  Tương giao giữa mặt cầu và đường thẳng

Trong không gian cho mặt cầu có tâm , bán kính và đường thẳng

 S x a 2 y b 2z c 2 R2

I O  S x2y2z2 R2

x y z  ax by cz d  a2 b2 c2  d  0

 ; ; 

I a b c R a2b2c2 d

 P

d R

 S  P

d R

 S

dR

2 2

r R  d



2020

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và

+ : Mặt cầu và không có điểm chung

+ : Mặt cầu tiếp xúc với tại ( là tiếp điểm)

+ : cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt và

_Phương pháp Casio

1 Kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng (P) hay mặt cầu (S) hay không?

Bước 2: Sử dụng phím r

x = > nhập hoành độ, sau đó nhấn phím =

y = > nhập tung độ, sau đó nhấn phím =

z = > nhập cao độ, sau đó nhấn phím = Nhấn tiếp phím =, nếu kết quả bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt phẳng hay mặt cầu

2 Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng

Bước 1: Nhập công thức tính khoảng cách vào MTCT :

Bước 2: Sử dụng phím r

y = > nhập tung độ điểm M, sau đó nhấn phím =

z = > nhập cao độ điểm M, sau đó nhấn phím = Nhấn tiếp phím = Màn hình sẽ hiện lên kết quả

_ Phương pháp tính nhanh:

Trong không gian , cho mặt cầu có tâm , bán kính

 Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng tiếp xúc với ; mp tiếp xúc với

 Tìm bán kính của mặt cầu (S) khi biết (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

 M; M; zM

2 2 2

Ax By Cz D

 

Oxyz  S Ix ; ;I y z I I R

  S  d I ;  R  P  S

 

d I P R

tiếp xúc với

tiếp xúc với

tiếp xúc với Oyz  Rx I

 Tìm bán kính của mặt cầu (S) khi biết (S) tiếp xúc với các trục tọa độ

 S tiếp xúc với Oy 2 2

  

 S tiếp xúc với Ox 2 2

  

 S tiếp xúc với Oz 2 2

  

_ Bài tập minh họa trong các đề đã thi của BGD

Câu 1: (THPTQG 2019 Mã đề 102) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

  S x : 2 y2 z2 2 x  2 y  7 0  Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A A 3 B. 9 C. 15 D 7

Lời giải

_Quy trình bấm máy

+ Tư duy: Từ phương trình mặt cầu dạng

khai triển, ta tìm tâm, sau đó áp dụng công

thức tìm bán kính

+ Công thức tính:

Mặt cầu (S):x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

có tâm I a b c ; ; 

và bán kính

2 2 2

R a b c  d

+ Tính toán Casio

s1+1+0+7=

> Chọn phương

án A

_Bài học kinh nghiệm

Ta lấy hệ số trước , ,x y z chia cho -2

để tìm tọa độ tâm, Tâm I  1; 1;0  

Bán kính R  1 1 0 7 3   

Câu 2: (Đề tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

1;1;1

I và A1; 2;3 Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là

A x12y12z12 29 B x12y12z12 5

 S Oxy  Rz I

 S Oxz  Ry I

 S

2020

C x12y12z12 25 D x12y12z12 5

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

Nhìn PTMC, dựa vào tọa độ tâm I loại được A và D,

chỉ còn B và D

Cách 1: Bán kính R IA

+ Công thức tính:

 A I2  I A2  I A2

IA x  x  y  y  z  z

+ Tính toán Casio

Cách 2: Mặt cầu đi qua A nên tọa độ A thỏa mãn

PTMC

Bước 1 : Nhập PTMC

(Q(p1)d+

(Q)p1)d

+(Qnp1)dp5

r1=2=3==

Chọn phương án B.

_Bài học kinh nghiệm

Vì mặt cầu có tâm I và đi qua

A nên bán kính R IA

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tìm R

Khi bấm MTCT, có thể tính ngay R2 IA2 5

+ Nhập PTMC vào máy tính, chuyển hết sang vế trái, sử dụng phím r để nhập tọa

độ điểm A vào

+ Nếu kết quả = 0 thì tọa độ

A thỏa

Câu 3: (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 110) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

2 2 2

x y z x y z m là phương trình của một mặt cầu

A m 6 B m 6 C m 6 D m 6

Lời giải

_Quy trình bấm máy

+ Tư duy:

Phương trình x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

là phương trình của mặt cầu

    

+ Công thức tính:

1;

a b1; c2; dm

a b c  d      m

_Bài học kinh nghiệm

Ta lấy hệ số trước , ,x y z chia cho -2

để tìm tọa độ tâm

Có thể nhập vế trái vào máy tính,

+ Tính toán Casio

Có thể nhẩm trực tiếp vì bài này đơn giản

Hướng dẫn nhập công thức

r6==

> Loại A, D

r5==

> Chọn phương

án C

nhấn phím r để kiểm tra kết quả, nếu kết quả là số dương thì nhận đáp án đó

Câu 4: (Đề chính thức BGD 2017 mã đề 104) Trong không gian với hệ trục tọa

độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm

2;3;3

M , N2; 1; 1  , P   2; 1;3 và có tâm thuộc mặt phẳng

  : 2x3y z  2 0

A x2y2z2 2x2y 2z10 0 B x2y2z2 4x2y 6z 2 0

C x2y2z24x 2y6z 2 0 D x2y2z2 2x2y 2z 2 0

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

 Tọa độ của 3 điểm M , N , P thỏa mãn PTMC.

 Tâm I thuộc   nên tọa độ của I thỏa mãn

phương trình   : 2x3y z  2 0

+ Công thức tính:

Mặt cầu (S): x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0 có

tâm I a b c ; ; 

+ Tính toán Casio

Bước 1: Nhập PTMC vào MT, kiểm tra tọa độ M, N,

P có thỏa mãn không

Q(d+Q)d+Qndp2

Q(+2Q)p2Qnp10

r2=3=3==

_Bài học kinh nghiệm

+ Nhập PTMC vào MTCT Thế tọa

độ của 3 điểm vào PTMC, sử dụng phím r để kiểm tra kết quả, loại trừ phương án nhiễu

+ Nhập PTMP  , thế tọa độ của

điểm I , sử dụng phím r , nếu

kết quả bẳng 0 là đúng

Ta lấy hệ số trước , ,x y z chia cho

-2 để tìm tọa độ tâm,

2020

Loại phương án A

r2=3=3==

Kiểm tra thấy tọa độ 3 điểm đều thỏa mãn PTMC

Giữ lại phương án B

Bước 2: Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu, kiểm tra

2Q(+3Q)pQn+2

r2=p1=3==

Chọn phương án B

Sử dụng phím Replay

để sửa lại PTMC và làm tương tự

Cần thử tọa độ cả 3 điểm vào PTMC

(S):x2y2z2 4x2y 6z 2 0

có tâm (2; 1;3)I  + Nhập PTMP

  : 2x3y z  2 0

Thế tọa độ của điểm I , sử dụng

phím r , nếu kết quả bẳng 0

là đúng

Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

điểm I1; 2; 3 và mặt phẳng  P : 2x 2y z  4 0 Mặt cầu tâm I tiếp xúc

với  P tại điểm H Tìm tọa độ điểm H

A H3; 0; 2  B H1; 4; 4 C H3; 0; 2 D H1; 1; 0 

Lời giải

_Quy trình bấm máy

+ Tư duy:

Điểm H thuộc P nên tọa độ H thỏa mãn

phương trình  P : 2x 2y z  4 0

 P tiếp xúc với  S tại H  IH  P

+ Công thức tính:

 M; M; M

M x y z ;  P Ax By Cz D:    0

 



 

+ Tính toán Casio

Bước 1: Kiểm tra xem tọa độ H thỏa PTMP

không

2[p2Q)pQnp4

rp3=0=p2==

_Bài học kinh nghiệm

Kiểm tra xem tọa độ điểm H ở đáp

án có thỏa mãn phương trình  P

không

> Loại phương án

A.

Tương tự, loại phương án B.

r3=0=2==

> Giữ lại phương

án A.

Kiểm tra thấy cả hai phương án A và D đều

thỏa

Bước 2: So sánhIH

và n P

 P có VTPT n  P 2; 2; 1  

1; 2; 3

I ,H3; 0; 2  IH 2; 2; 1  



Chọn đáp án C

 P tiếp xúc với  S tại H

 

IH P

 

1; 2; 3

I ,H3; 0; 2  IH 2; 2; 1  



1; 1; 0 

H  IH 0; 3; 3  



2020

4

y x  D 

3

8

y  x y  0 8x3  0 x0 y 0 1

lim

    lim

  

0;

_ Bài tập áp dụng rèn luyện trong các đề thi thử năm 2019

Câu 1: (NB) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M1;2;3 và N  1; 2; 1  Mặt cầu

đường kính MN có phương trình là

A x2y 22z12 20

C x2 y 22z12 5

Lời giải _ Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

Cách 1: Tọa độ M , N thỏa mãn PTMC

Cách 2: Mặt cầu có tâm I là trung điểm của

MN , bán kính 2

MN

R 

+ Công thức tính:

I là trung điểm của MNnên

I    

 N M2  N M2  N M 2

M N  x  x  y  y  z  z

+ Tính toán Casio

Cách 1:

Q(d+(Q)p2)d+

(Qnp1)dp20

_Bài học kinh nghiệm

Vì mặt cầu đi qua M , N nên tọa

độ M , N thỏa mãn PTMC

Nhập PTMC vào MTCT, chuyển vế

để vế phải bằng 0 Thế tọa độ của

2 điểm vào PTMC, sử dụng phím

r để kiểm tra kết quả, loại trừ phương án nhiễu

> Loại phương án A.

Làm tương tự, thấy chỉ mỗi phương án C

thỏa.

Chọn phương án C.

Cách 2:

aQz+QxR2

r1=p1==

(1+1)d+(2p2)

d+(3+1)d=

Chọn phương án C.

Sử dụng phím Replay

để sửa lại PTMC và làm tương tự

Cần thử tọa độ cả 2 điểm vào PTMC

Nhập công thức tính tọa độ trung điểm vào MTCT

Thế tọa độ của 2 điểm vào công thức, sử dụng phím r

A= > nhập hoành độ của M B= > nhập hoành độ của N Làm như vậy 3 lần để tìm tọa độ tâm

0;2;1

I

Tinh ý, nhìn vào đáp án trong bài này, ta không cần tìm tâm, vì tâm trong 4 đáp án là như nhau, chỉ cần tính nhanh MN là được

20

MN R

Câu 2: (NB)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây là

phương trình của một mặt cầu?

A.x2y2 z24x 2y6z 5 0 B. x2y2z24x 2y6z15 0

C x2y2z24x 2y z  1 0 D. x2y2z2 2x2xy6z 5 0

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy: PT x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

(*) là phương trình của mặt cầu khi

a b c  d 

+ Công thức tính:

Kiểm tra điều kiện a2b2c2 d 0

+ Tính toán Casio

_Bài học kinh nghiệm

Trong PT (*), hệ số của x , 2 y2, z 2

đều bằng nhau và bằng 1, không

chứa tích của xy , xz , yz > loại

phương án A, D

2020

trình mặt cầu

Câu 3: (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I2;1; 3 

và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

A      

x  y  z 

C      

x  y  z 

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

 S tiếp xúc với Oy  R d I Oy  ;   x2I z I2

+ Công thức tính: R x I2z2I

+ Tính toán Casio

s2d+(p3)d

Chọn phương án B

_Bài học kinh nghiệm

 S tiếp xúc với Oy

R d I Oy x z

(Trong công thức tính không có y I)

Câu 4: (TH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A3; 1;2  B1;1; 2 

và có tâm thuộc trục Oz là

A. x2y2z2 2z10 0 B. x12y2z2 11

C. x2y12z2 11 D.

x y z  y 

Lời giải

_Quy trình bấm máy

+ Tư duy:

Tâm I thuộc trục Oz nên I0;0;c

Tọa độ của 2 điểm A , B thỏa mãn PTMC.

+ Công thức tính:

0;0; 

I c > phương trình (S) là

 2

x y  z c R

+ Tính toán Casio

Q(d+Q)d+Qnd

p2Qnp10

r3=p1=2==

r1=1=p2==

_Bài học kinh nghiệm

Tâm I thuộc trục Oz nên trong

phương trình mặt cầu sẽ không có

biểu thức của x và y > Loại

phương án B, C

Cần thử tọa độ cả 2 điểm vào

Chọn phương án A

PTMC

Câu 5: (TH) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu  S đi qua bốn

điểm O, A1;0;0 B0; 2;0 và C0;0; 4.

A  S : x2y2z2 x 2y4z 0 B.

 S : x2y2z2 2x4y 8z 0

C  S : x2y2z2 x2y 4z 0 D  S : x2y2z22x 4y8z 0

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

Mặt cầu  S đi qua bốn điểm O, A, B, C nên

tọa độ của các điểm này thỏa mãn phương

trình mặt cầu

+ Công thức tính:

Nhập PTMC vào MTCT

Thế tọa độ của 4 điểm vào PTMC

+ Tính toán Casio

Q(d+Q)d+Qnd

pQ(+2Q)p4Qn

r0=p2=0==

Điểm A thuộc PTMC Tương tự, điểm B, C thuộc PTMC

Chọn phương án C

_Bài học kinh nghiệm

Nhập PTMC vào MTCT Thế tọa độ của 4 điểm vào PTMC, sử dụng phím r để kiểm tra kết quả, loại trừ phương án nhiễu

Sử dụng phím Replay

để sửa lại PTMC và làm tương tự

Cần thử tọa độ cả 3 điểm vào PTMC, không cần thử tọa độ của điểm O vì trong PTMC không có hệ

số tự do

Câu 6: (TH) Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho mặt phẳng  P :

2x 2y z  3 0  và điểm I1;2 3  Mặt cầu  S tâm I và tiếp xúc mp P  có phương trình

A ( ) : (S x1)2(y 2)2 (z 3)2 4 B.( ) : (S x1)2(y 2)2(z3)2 16

C ( ) : (S x1)2(y 2)2 (z3)2 4 D ( ) : (S x1)2(y 2)2(z3)2 2

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

_Bài học kinh nghiệm

Dựa vào PTMC và tọa độ tâm I, loại

2020

 P tiếp xúc với  S  d I P ;   R

+ Công thức tính:

 M; M; M

M x y z ;  P Ax By Cz D:    0

 



 

+ Tính toán Casio

aq(2Q(+2Q)p

Qnp3Rs4+4+1

r1=2=p3==

Chọn phương án C

được phương án A

Có thể thế trực tiếp tọa độ điểm I vào công thức để tìm bán kính, hoặc bấm công thức, rồi dùng phím r

Câu 7: (TH) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm

2;1; 4

I  và mặt phẳng  P x y:   2z 1 0 Biết rằng mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1 Viết phương trình mặt cầu  S

A   S : x 22y12z42 25 B.

  S : x22y12z 42 13

C   S : x22y12z 42 25 D   S : x 22y12z42 13

Lời giải

_Quy trình bấm máy

+ Tư duy:

 P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường

tròn  C có bán kính r  R2 d2 với

 

d d I P

Khi đó R2 d2r2

+ Công thức tính:

 M; M; M

M x y z ;  P Ax By Cz D:    0

 



 

+ Tính toán Casio

aq(Q(+Q)p2Qn

+1Rs1+1+4

r2=1=p4=

_Bài học kinh nghiệm

Dựa vào PTMC và tọa độ tâm I, loại được phương án B, C

Cần tính d d I P  ;  

 P cắt mặt cầu  S theo giao

tuyến là đường tròn  C có bán

kính r thỏa

2 2 2

R d r

2 6

d 

Md+1d=

Chọn phương án A

Có thể thế trực tiếp tọa độ điểm I vào công thức để tìm bán kính, hoặc bấm công thức, rồi dùng phím r

Câu 8: (TH) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;0; 1 

, B  3; 2;1 

Gọi  S là mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng Oxy, bán kính 11 và đi qua hai điểm

A , B Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu  S là

A x2 y2z26y 2 0 B x2y2z24y 7 0

C x2y2 z24y 7 0 D x2y2z26y 2 0

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

Kiểm tra xem điểm A, B thỏa mãn PTMC nào,

loại phương án nhiễu

Chọn ra mặt cầu có bán kính R  11

+ Công thức tính:

Mặt cầu (S): x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0 có

tâm I a b c ; ; 

và bán kính R a2b2c2 d

+ Tính toán Casio

Q(d+Q)d+Qnd

+6Q)p2

r1=0=p1==

Chọn phương án A

_Bài học kinh nghiệm

I thuộc mặt phẳng Oxy nên

 ; ;0

I x y , trong PTMT, hệ số trước z

bằng 0; I có tung độ âm nên y <

0, dấu trước hệ số của y trong PTMC là dấu “+”

Nhập PTMC vào MTCT Thế tọa độ của 2 điểm vào PTMC, sử dụng phím r để kiểm tra kết quả, loại trừ phương án nhiễu

Sử dụng phím Replay

để sửa lại PTMC và làm tương tự

Kiểm tra thấy tọa độ A, B thỏa phương án A, tính được bán kính 11

R 

Câu 9: (VDT) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2x y 2z 5 0 và các điểm A0;0;4, B2;0;0 Mặt cầu   S có bán kính

nhỏ nhất đi qua A B O, , và tiếp xúc với mặt phẳng   P có tâm là

2020

A 1;2;2

B

19 1; ;2 4



  C 1; 2;2 

D

19 1; ;2 4

 

Lời giải

_Quy trình bấm máy.

+ Tư duy:

Tìm Ithỏa IA IB d I P   ;   R

+ Công thức tính:

 M; M; M

M x y z ;  P Ax By Cz D:    0

 



 

+ Tính toán Casio

aq(2Q(pQ)

+2Qn+

5Rs4+1+4=

r1=2=2==

d I P  ;   3

IA 3

IB 3

Chọn phương án A

_Bài học kinh nghiệm

Tính d I P ;  

Chọn đáp án nào có

 

 ; 

IA IB d I P  R

Kiểm tra thấy chỉ phương án A thỏa đề

và có bán kính nhỏ nhất

Câu 10: (VDT) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P x:  2y 2z 3 0

và mặt phẳng  Q x:  2y 2z 6 0

Gọi  S

là một mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng Bán kính của  S bằng

9

3

2 D 9 Lời giải

4

y x  D 

3

8

y  x y  0 8x3  0 x0 y 0 1

lim

    lim

  